1、高考资源网（） 您身边的高考专家20202021学年北京市新高三入学定位考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】列举法写出集合,再求集合交集得解【详解】，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2. 设复数：，则在复平面内复数对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第三象限C. 实轴上D. 虚轴上【答案】C【解析】【分析】先由复数的运算求得，再由复数的几何意义可得选项.【详解】，故对应点为，故选：C.【点睛】本题考查复数的运算
2、和复数的几何意义，属于基础题.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 8B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，由题中数据，即可求出结果.【详解】由三视图，在棱长为的正方体中还原该几何体如下，该几何体是底面为正方形，高为的正四棱锥，所以其体积为.故选：B.【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积，属于基础题型.4. 在的展开式中，常数项为（ ）A. 60B. 30C. 20D. 15【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理，得出展开式的通项，进而可得出结果.【详解】因为展开式的第项为，令，则，所以常数项为.故选：A.【点睛】本题主要考查求二项
3、展开式中的常数项，属于基础题型.5. 设为圆上一点，则点到直线距离的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出圆心坐标和半径后，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可得结果.【详解】圆，圆心，半径3，圆心到直线距离，所以点到直线距离的最短为0，最长为，故选：B.【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.6. 设函数，则是（ ）A. 奇函数，且存在使得B. 奇函数，且对任意都有C. 偶函数，且存在使得D. 偶函数，且对任意都有【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，可排除A，B，构造函数可得，构造函数可证，即可判断.【详解】可
4、知的定义域关于原点对称，且，所以是偶函数，故A，B错误；当时，令，则，在单调递减，则，即，令，则，在单调递增，则，即，即，当时，因为是偶函数，所以对任意都有.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.7. 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则以线段为直径的圆一定（ ）A. 经过原点B. 经过点C. 与直线相切D. 与直线相切【答案】C【解析】【分析】通过抛物线的焦半径公式可知，可得点到直线的距离为.【详解】设，利用焦半径公式可得：，又，所以到直线距离为，所以以线段为直径的圆一定直线相切.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式及运
5、用，考查抛物线中的一些常见结论，较简单.8. 设随机变量的分布列如下123456其中构成等差数列，则的（ ）A. 最大值为B. 最大值为C. 最小值为D. 最小值为【答案】B【解析】【分析】根据随机变量的分布列的概率和是1和等差数列的性质，得到，利用基本不等式可求得答案.【详解】，当且仅当时取等，故选：B.【点睛】本题主要考查随机变量的分布列的性质、等差数列的性质及基本不等式求最值的问题，涉及的知识点比较多.9. 在中，“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大
6、角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.【详解】余弦函数在区间上单调递减，且，由，可得，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.10. 设函数， 其中.若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）A. （0，2）B. （0，9）C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，分别令和，求解函数的零点，结合排除法，即可求解.详解】根据选项，可得：若时，函数，令，当时，令，解得或；当时，令，解得（舍去），此时函数有且仅有两个零点，排除A、B；若
7、时，函数，令，当时，令，解得或（舍去）；当时，令，解得，此时函数有且仅有两个零点，排除C.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中熟记函数的零点的定义，合理利用排除法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】利用偶次方根的被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求出答案.【详解】联立，得函数的定义域为.故答案为：【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.12. 设平面向量，若，且与方向相反，则实数_.【答案】【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示可求得
8、答案.【详解】因为，所以，解得，又与方向相反，故.故答案为：.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，以及两向量方向相反的条件，属于基础题.13. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据渐近线方程，可得，根据以及离心率公式可得答案.【详解】因为渐近线方程，所以，则，故离心率为.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程和离心率公式，属于基础题.14. 设函数对于任意，都有成立，则符合条件的的一个值为_.【答案】2【解析】【分析】化简函数，根据题设条件，得到，即，即可求解.【详解】由题意，函数，要使得函数对于任意，都有成立，则满足，即，当时，此时，故符合条
9、件的的其中一个值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的周期性，合理利用题设条件，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15. 蜂巢结构精密，是通过优胜劣汰的进化自然形成的.单蜂巢的横截面为正六边形，有人研究发现，蜂巢横截面结构和科学论证的最“经济”平面简单结构完全一致，最“经济”平面简单结构同时满足以下两点：（1）横截面图形由全等的正多边形组成，且能无限无缝隙拼接（称此正多边形具有同形结构）；（2）边长为1的单个正边形的面积与边数之比最大.已知具有同形结构的正（）边形的每个内角度数为，那么.给出下列四个结论：；正三角形具有同形结构；
10、具有同形结构的正多边形有4个；与满足的关系式为；其中所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】对于，由已知计算，可判断；由已知得， ，可以判断.【详解】对于，正确；对于，边形的内角和为，正边形的每个内角度数为，所以，又，故，故，所以，.所以正确，不正确，故答案为：.【点睛】本题考查数学文化，数学的应用性，数学的新定义，关键在于理解定义，将生活中的数据转化为数学中的数据，属于中档题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. 如图，在三棱柱中，底面，是的中点，且.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【
11、分析】（）根据线面平行的判断定理可得证；（）以，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，运用线面向量求解方法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（）如图，由三棱柱，得，又因为平面，平面，所以平面；（）因为底面，所以，两两垂直，故分别以，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量，由，得令，得.设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，线面角的向量求解方法，属于中档题.17. 在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求（）的大小；（）的面积 .条件：； 条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案
12、】（）（）.【解析】【分析】若选择条件：.（）根据余弦定理求出；（）根据正弦定理求出，根据三角形内角和定理以及两角和的正弦公式求出，再根据面积公式可得结果.若选择条件：（）根据正弦定理可求出；（）根据正弦定理求出，根据三角形内角和定理以及两角和的正弦公式求出，再根据面积公式可得结果.【详解】若选择条件：.（）因为，由余弦定理，因为，所以.（）由正弦定理，得，又因为，所以.若选择条件：.（）由正弦定理，得.又因为，所以，又因为，所以.（）由正弦定理，得，又因为，所以.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.18. 为了解某校学生的体
13、育锻炼情况，现采用随机抽样的方式从该校的，两个年级中各抽取6名学生进行体育水平测试测试，得分如下（满分100分） ：年级6名学生体育测试得分分别为：73，62，86，78，91，84.年级6名学生的体育测试得分分别为：92，61，85，87，77，72.已知在体育测试中，将得分大于84分的学生记为体育水平优秀.（）分别估计，两个年级的学生体育水平优秀的概率；（）从，两个年级分别随机抽取2名学生，估计这4名学生中至少有2人体育水平优秀的概率；（）记，两个年级6名样本学生体育测试得分数据的方差分别为，试比较与的大小.（结论不要求证明）【答案】（）；（）；（）.【解析】分析】（）根据数据，结合古典概
14、型的概率计算公式，即可求解；（）分别求得“这4名学生中恰有0人体育水平优秀的概率.和“这4名学生中恰有1人体育水平优秀”的概率，进而求得这4名学生中至少有2人体育水平优秀的概率；（）由题设中的数据，利用平均数和期望的公式，即可求解.【详解】（）根据数据，年级6名学生的体育测试得分中有2个大于84分，用频率估计概率，可得年级的学生体育水平优秀的概率约为；年级6名学生的体育测试得分中有3个大于84分，可得年级的学生体育水平优秀的概率约为.（）记事件“从，两个年级分别随机抽取2名学生，这4名学生中至少有2人体育水平优秀”为.“这4名学生中恰有0人体育水平优秀的概率.事件“这4名学生中恰有1人体育水平
15、优秀”的概率，则，答：估计这4名学生中至少有2人体育水平优秀的概率.（）由题设中的数据，可得，求得可得.【点睛】本题主要考查了古典概型及概率的计算，独立事件概率的求解，以及数据的平均数与期望的求解，注重考查分析问题和解答问题的能力.19. 设函数，其中.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若函数在上有极大值，求的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）求导得，令，则，则可证明在上恒成立，则在递减，即在上单调递减，若函数在上有极大值，则只需即可.【详解】（）由题意，求导得.所以，所以曲线在点处的切线方程为.（），令，则.因为对于，恒成立，所以在上单调
16、递减，即在上单调递减，因为在上有极大值，所以在上存在“左正右负”变号零点.由零点存在性定理：只需，即所以.所以函数在上有极大值时，的取值范围为.【点睛】本题考查曲线的切线方程求解，考查根据函数的极值点求参数的取值范围问题，难度较大.解答时分析清楚函数的单调性是核心.20. 已知椭圆：，圆：，过点作直线交椭圆于另一点，交圆于另一点.过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，.（）设，为的中点，求椭圆的方程；（）若，求的最大值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）求出，然后带入椭圆的方程求出即可；（）设直线的方程为，分别联立直线与椭圆、直线与圆的方程求出，的横坐标，然后可求出的最大值.【详解】（）由为
17、的中点，得，代入椭圆的方程，得，所以椭圆的方程为.（）由题意得直线的斜率存在.当直线的斜率为0时，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，.联立方程，消去，得.则，所以.联立方程消去，得.则，所以.于是.当且仅当，即时，取最大值.综上所述，当时，取最大值.【点睛】本题考查的是直线与圆、直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力和转化能力，属于较难题.21. 已知是无穷数列，且.给出两个性质：对于任意的，都有；存在一个正整数，使得，对于任意的都成立.（）试写出一个满足性质的公差不为0的等差数列（结论不需要证明）（）若，判断数列是否同时满足性质和性质，并说明理由；（）设为等比数列，且满足性质，证
18、明：数列满足性质.【答案】（）答案见解析；（）答案见解析，理由见解析；（）证明见解析.【解析】【分析】（）设等差数列的公差为，由性质，得出只需取，即可；（）先由，得，推出时满足性质；得出为递增数列，推出满足性质，即可得出结论；（）设等比数列的公比为，分别讨论，两种情况，根据性质，得到等比数列的公比，推出，得到，即可证明结论成立.【详解】（）答案不唯一，如.因为，即，即，只需取，即可；（）数列同时满足性质和性质.理由如下：由，得，且.所以，使得，对于任意的都成立.所以数列满足性质.由，得数列为递增数列.又因为，所以对于任意的，.即数列满足性质.（）设等比数列的公比为，当时，由，得，由题意，知，即，所以，即.故.当时，由，得.由性质，知，即，所以，即.故，这与性质不符，所以不成立.综上，等比数列的公比.所以，即数列为递增数列，且.故对于任意的，.即数列满足性质.【点睛】本题主要考查数列新定义，考查等差数列与等比数列的综合，属于中档题型.- 20 - 版权所有高考资源网
