1、平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例层级(一)“四基”落实练1人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为 ()Av1v2Bv1v2C|v1|v2| D.解析：选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量故选B.2在ABC中，若20，则ABC是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰直角三角形解析：选C因为20，所以()0，所以0，所以，所以BAC是直角，ABC是直角三角形3.如图所示，力F作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成30角，当小车向前运动10 m时，力F做的功为()A100 J B50 JC50 J D
2、200 J解析：选C设小车的位移为s，则|s|10 m，WFs|F|s|cos 30101050(J)4若O是ABC所在平面上一点，满足|2|2|2|2，则点O()A在过点C且与AB垂直的直线上B在角A的平分线所在的直线上C在边AB的中线所在的直线上D以上都不对解析：选A设a，b，c，则cb，ac.又|2|2|2|2，|a|2|cb|2|b|2|ac|2，化简可得bcac，即(ba)c0，即ABOC，故选A.5(多选)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量，且满足a与b不共线，ac，|a|c|，则|bc|的值一定等于()A以a，b为邻边的平行四边形的面积B以b，c为邻边的平行
3、四边形的面积C以a，b为两边的三角形面积的2倍D以b，c为两边的三角形面积解析：选AC设b与c的夹角为，a与b的夹角为，则|bc|b|c|cos |b|a|cos(90)|b|a|sin ，故选A、C.6坐标平面内一只小蚂蚁以速度v(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为_解析：设所用时间长短为t，则tv，即(3,6)t(1,2)，所以t3.答案：37如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cosDOE的值为_解析：，|，|，221，cosDOE.答案：8已知在静水中船速为5 m/s，且知船速大于水速，河宽为20 m，船从A点垂直到达对岸
4、的B点用的时间为5 s，试用向量法求水流的速度大小解：如图，设水流的速度为v水，船在静水中的速度为v0，船的实际行驶速度为v，则|v0|5，|v|4.vv水，|v水|3，即水流的速度为3 m/s.层级(二)能力提升练1已知点O，N，P在ABC所在平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC的 ()A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心解析：选C由|，知点O为ABC的外心如图，D为BC的中点，因为0，所以.由向量加法的平行四边形法则，知|2|ND|，故点N为ABC的重心因为，所以()0.同理0，0，所以点P为ABC的垂心2在直角梯形ABCD中，ABAD，AB2，
5、DC1，ABDC，则当ACBC时，AD_.解析：建立如图的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)设ADa，则C(1, a)，(1, a)，(1, a)因为ACBC，所以. 所以1a20，所以a1(负值舍去)答案：13设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(2)()0，则ABC的形状一定是_解析：因为(2)()()()()()()22|2|20，所以|，所以ABC是等腰三角形答案：等腰三角形4已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线利用向量方法证明：ACBD.证明：因为，所以()()|2|20. 所以，即ACBD.5已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30，大小为50 N，
6、一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数0.02的水平面上运动了20 m问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g取10 m/s2)解：如图所示，设木块的位移为s，则WFFs|F|s|cos 305020500(J)将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|F|sin 305025(N)，所以摩擦力f的大小为|f|(GF1)|(8025)0.021.1(N)，因此Wffs|f|s|cos 1801.120(1)22(J)即F和f所做的功分别为500 J和22 J.层级(三)素养培优练1.如图所示，在倾斜角为37(sin 37取0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg 的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为_J，重力所做的功为_J(g取9.8 m/s2)解析：物体m的位移大小为|s|(m)，则支持力对物体m所做的功为W1Fs|F|s|cos 900(J)；重力对物体m所做的功为W2Gs|G|s|cos 5359.80.698(J)答案：0982.如图所示，在ABC中，BAC120，ABAC3，点D在线段BC上，且BDDC.求：(1)AD的长；(2)DAC的大小解：(1)设a，b，则()ab.|222a22abb29233cos 12093.故AD.(2)设DAC，则为向量与的夹角
