1、全章素养整合构网络提素养链高考类型一 函数的零点题型特点 在高考中有许多问题涉及函数的零点、方程的根，函数图像与 x 轴交点的横坐标之间的相互转化，应引起我们的重视方法归纳 根据函数零点的定义，函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f(x)0 是否有根，有几个根从图形上说，函数的零点就是函数 yf(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图像与 x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题例 1 若方程|ax|xa(a0)有两个解，则 a 的取值范围是()
2、A(1，)B(0,1)C(0，)D解析 分三种情况，在同一坐标系中画出 y|ax|和 y|xa|的图像如图：结合图像可知方程|ax|xa 有两个解时，有 a1.答案 A跟踪训练 1.设函数 f(x)2x，x0，x，x0.(1)f(x)有零点吗？(2)设 g(x)f(x)k，为了使方程 g(x)0 有且只有一个根，k 应该怎样限制？(3)当 k1 时，g(x)有零点吗？如果有，把它求出来，如果没有，请说明理由；(4)你给 k 规定一个范围，使得方程 g(x)0 总有两个根解析：(1)画出 f(x)的图像，如图，从图像可以看出，图像与 x 轴没有交点，f(x)没有零点(2)从图可以看出 f(x)0
3、.对于 g(x)f(x)k，为了使方程 g(x)0 有且只有一个根，f(x)的图像必须向下移动，但移动的幅度要小于 1，否则 g(x)0 就有两个根了k 应该限制为1k0.几何解释如图.(3)有，x0，它来源于 2x10；x1，它来源于x10.(4)规定 k 的范围是k|k1类型二 二分法及其应用题型特点 二分法是把函数 f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法，逼近思想也是高考考查的重点内容之一方法归纳 1.二分法适用于函数 yf(x)的图像在a，b上连续，f(a)f(b)0.同时满足这两个条件，才能利用二分法求函数零点的近似值2用二分法解题的步骤
4、为：首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算需注意题设中要求精确度不同，得到的近似值就不一定相同例 2 证明方程 63x2x 在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确到 0.1)解析：由于 f(1)60，f(2)16790，因此可取区间1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算见下表：区间中点的值中点函数近似值(1,2)1.5f(1.5)1.937 5(1.5,2)1.75f(1.75)2.378 9(1.5,1.75)1.625f(1.625)0.027
5、1(1.625,1.75)1.687 5f(1.687 5)1.109 1(1.625,1.687 5)1.656 25f(1.656 25)0.524 9(1.625,1.656 25)1.640 625f(1.640 625)0.245 0(1.625,1.640 625)1.632 812 5f(1.632 812 5)0.108 0(1.625,1.632 812 5)从表中可知|1.632 812 51.625|0.007 812 50.01，所以函数 yx47 的一个正零点可取 1.625.类型三 函数模型及应用题型特点 高考对实际应用的考查，主要考查数据分析、数学建模、决策预测等
6、学科素养，亦为热点之一方法归纳 针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画这当然需要我们深刻理解基本函数的图像和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图像的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果例 3 某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在 30 天内的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如下
7、表所示：第 t 天4101622Q(万股)36302418(1)根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式；(3)用 y 表示该股票日交易额(万元)，写出 y 关于 t 的函数关系式，并求在这 30 天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解析(1)由图像知，前 20 天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为 P15t2；从 20 天到 30 天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为 P 110t8，故 P(元)与
8、时间 t(天)所满足的函数关系式为：P15t2，0t20，tN，110t8，20t30，tN.(2)由图表易知 Q 与 t 满足一次函数关系，即 Qt40,0t30，tN(3)由(1)(2)可知y15t2 t40，0t20，tN，110t8 t40，20t30，tN，15t152125，0t20，tN，110t60240，20t30，tN.当 0t20，t15 时，ymax125，当 20t30 时，y 随 t 的增大而减小所以在 30 天中的第 15 天，日交易额的最大值为 125 万元跟踪训练 3.在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)的定义为 Mf(x)f(x1)f(x)某公司
9、每月最多生产 100 台报警系统装置，生产 x(x0)台的收入函数为 R(x)3 000 x20 x2(单位：元)，其成本函数为 C(x)500 x4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差(1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x)；(2)利润函数 P(x)与边际利润函数 MP(x)是否具有相同的最大值？(3)你认为本题中边际利润函数 MP(x)取得最大值的实际意义是什么？解析：由题意知，x1,100，且 xN.(1)P(x)R(x)C(x)3 000 x20 x2(500 x4 000)20 x22 500 x4 000，MP(x)P(x1)P(x)20(x1)22 500(x1
10、)4 000(20 x22 500 x4 000)2 48040 x.(2)P(x)20 x1252274 125，当 x62 或 x63 时，P(x)max74 120(元)因为 MP(x)2 48040 x 是减函数，所以当 x1 时，MP(x)max2 440(元)故 P(x)与 MP(x)不具有相同的最大值(3)边际利润函数 MP(x)在 x1 时取得最大值，说明生产第二台与生产第一台的利润差最大，即第二台报警系统利润最大MP(x)是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比在减少1(2018高考全国卷)已知函数 f(x)ex，x0，ln x，x0，g(x)f(x)xa，若
11、g(x)存在 2个零点，则 a 的取值范围是()A1,0)B0，)C1，)D1，)解析：由 g(x)0 得 f(x)xa，作出函数 f(x)和 yxa的图像如图当直线 yxa 的截距a1，即 a1 时，两个函数的图像都有 2 个交点，即函数 g(x)存在 2 个零点，故实数 a 的取值范围是1，)故选 C.答案：C2(2018高考天津卷)已知 a0，函数 f(x)x22axa，x0，x22ax2a，x0，若关于 x 的方程 f(x)ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是_解析：根据题意：当 x0 时，x22axaax，即 x2axa0，a24a0，a(a4)0，当 a4 时，方程
12、有两个实数解，当 a4 时，方程有一个实数解，当 0a4 时，方程无实数解当 x0 时，x22ax2aax，即 x2ax2a0，a28a0，a(a8)0，当 a8 时，方程有两个实数解，当 a8 时，方程有一个实数解，当 0a8 时，方程无实数解故当 a(4,8)时，方程有且仅有两个相异的实数根答案：(4,8)3(2018高考浙江卷)已知 R，函数 f(x)x4，x，x24x3，x，当 2 时，不等式 f(x)0 的解集是_，若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 的取值范围是_解析：(1)当 2 时，函数 f(x)x4，x2，x24x3，x2，显然 x2 时，不等式 f(x)0的解集为x|2x4；x2 时，不等式 f(x)0 化为 x24x30，解得 1x2，综上，不等式的解集为(1,4)(2)分别作出函数 yx4 和 yx24x3 的图像，如图所示，函数 f(x)x4，x，x24x3，x 恰有 2 个零点，则(1,3(4，)(2)分别作出函数 yx4 和 yx24x3 的图像，如图所示，函数 f(x)x4，x，x24x3，x 恰有 2 个零点，则(1,3(4，)答案：(1,4)(1,3(4，)
