1、北京二十四中2015届高三上学期开学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1（5分）复数等于（）A1+iB1+iC2+2iD2+2i2（5分）已知命题p：xR，2x0，那么命题p为（）AxR，2x0BxR，2x0CxR，2x0DxR，2x03（5分）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），那么f（x）的解析式为（）Af（x）=2xBf（x）=x2Cf（x）=2xDf（x）=x+24（5分）甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示，若甲、乙两人的平均成绩分别用表示，则下列结论正确的是（）A，且甲比乙成绩稳
2、定B，且乙比甲成绩稳定C，且甲比乙成绩稳定D，且乙比甲成绩稳定5（5分）如图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）Ai10Bi10Ci9Di96（5分）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A1B2C3D47（5分）已知两点M（1，0），N（1，0）若直线3x4y+m=0上存在点P满足，则实数m的取值范围是（）A（，55，+）B（，2525，+）C25，25D5，58（5分）设集合I=1，2，3，4，5，6，集合AI，BI，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中所有数均不小于A中最大的数，则满足条件的集合A，B有（）A33组B29组C
3、16组D7组二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）已知圆C的极坐标方程是=2sin，那么该圆的直角坐标方程为 ，半径长是 10（5分）已知向量=（1，n），=（1，n），2与垂直，|=11（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，C=150，a=1，则c=12（5分）如图，已知O的直径AB=5，C为圆周上一点，BC=4，过点C作O的切线l，过点A作l的垂线AD，垂足为D，则CD=13（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）m有3个零点，则实数m的取值范围是14（5分）在数列an中，a1=a，a2=b，且an=|an1|an2，n=3，4，5，给出下列命题
4、：a，bR，使得a1，a2，a3均为负数；a，bR，使得a1，a2，a3均为正数；若a=5，b=1，则a88=3其中真命题的序号为（填出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（I）求f（x）的最小正周期；（II）设，判断函数g（x）的奇偶性，并加以证明16（14分）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，BAC=90，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点（）证明：ABAC1；（）证明：MN平面ACC1A1；（）求二面角MANB的余弦值17（13分
5、）如图，一圆形靶分成A，B，C三部分，其面积之比为1：1：2某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的（）求该同学在一次投掷中投中A区域的概率；（）设x表示该同学在3次投掷中投中A区域的次数，求x的分布列及数学期望；（）若该同学投中A，B，C三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率18（13分）设aR，函数f（x）=（x2axa）ex（）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）在2，2上的最小值19（13分）已知两点F1（2，0），F2（2，0），曲线C上的动点M满足|MF1|+|MF2|=2|
6、F1F2|，直线MF2与曲线C交于另一点P（）求曲线C的方程；（）设N（4，0），若=3：2，求直线MN的方程20（14分）数列an满足：an+1=3an3an2，n=1，2，3，（）若数列an为常数列，求a1的值；（）若，求证：；（）在（）的条件下，求证：数列a2n单调递减北京二十四中2015届高三上学期开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1（5分）复数等于（）A1+iB1+iC2+2iD2+2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：先在分式的分、分母上同时乘以分母的共扼复数1i，
7、然后再进行化简可求解答：解：=1+i故选B点评：本题主要考查了复数的乘除运算的综合，属于基础试题送分题2（5分）已知命题p：xR，2x0，那么命题p为（）AxR，2x0BxR，2x0CxR，2x0DxR，2x0考点：命题的否定 专题：常规题型分析：存在性命题”的否定一定是“全称命题”解答：解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，命题p：xR，2x0，的否定是：xR，2x0故选C点评：命题的否定即命题的对立面“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定
8、是“全称命题”3（5分）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），那么f（x）的解析式为（）Af（x）=2xBf（x）=x2Cf（x）=2xDf（x）=x+2考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域 分析：根据幂函数一般式f（x）=x且过点（2，4）代入即得答案解答：解：设f（x）=x，f（2）=2=4，=2f（x）=x2故选B点评：本题主要考查已知幂函数f（x）的图象经过一点求解析式，是基础题4（5分）甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示，若甲、乙两人的平均成绩分别用表示，则下列结论正确的是（）A，且甲比乙成绩稳定B，且乙比甲成绩稳定C，且甲比乙成绩稳定D，且乙比甲成绩稳定考
9、点：茎叶图；极差、方差与标准差 专题：概率与统计分析：根据茎叶图得到平均值，根据取值的分布取得甲乙的稳定性大小解答：解：由茎叶图可知，甲的数据为88，89，90，91，92，所以甲的平均值为乙的数据为83，88，89，89，91，所以乙的平均值为，所以由茎叶图可知，甲的数据主要集中在90附近，所以甲比乙稳定故选A点评：本题主要考查茎叶图的应用，要求掌握平均值的计算公式，比较基础5（5分）如图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）Ai10Bi10Ci9Di9考点：程序框图 专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出
10、S的值解答：解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一圈：S=1，n=3，i=2，第二圈：S=1+，n=5，i=3，第三圈：S=1+，n=7，i=4，依此类推，第十圈：S=，n=21，i=11退出循环其中判断框内应填入的条件是：i10，故选A点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误6（5分）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A1B2C3D4考点：由三
11、视图求面积、体积 专题：计算题；图表型分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可解答：解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再
12、根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为底面积高三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的2015届高考中有加强的可能7（5分）已知两点M（1，0），N（1，0）若直线3x4y+m=0上存在点P满足，则实数m的取值范围是（）A（，55，+）B（，2525，+）C25，25D5，5考点：向量在几何中的应用 专题：计算题分析：根据直线3x4y+m=0上存在点P满足，知此题转化为直线3x4y+m=0与圆x2+y2=1相交时m的范围即可解答：解：两点M（1，0），N（1，0）若直线3x4y+m=0上存在点P
13、满足此题转化为直线3x4y+m=0与圆x2+y2=1相交时m的范围即原点（0，0）到直线3x4y+m=0的距离小于等于半径即解得：5m5故选D点评：本题考查了向量在几何中的应用，直线与圆的位置关系，属于基础题8（5分）设集合I=1，2，3，4，5，6，集合AI，BI，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中所有数均不小于A中最大的数，则满足条件的集合A，B有（）A33组B29组C16组D7组考点：元素与集合关系的判断 专题：计算题分析：根据集合A中只含有3个元素，则可对集合A进行分类讨论，逐一求出集合B的所以情况即可解答：解：当集合A=1，2，3时，集合B若两个元素有6种，如3个元素有
14、4种，若4个元素有1种，当集合A=1，2，4时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种当集合A=1，3，4时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种当集合A=2，3，4时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种当集合A=1，2，5时，集合B若两个元素有1种，当集合A=1，3，5时，集合B若两个元素有1种，当集合A=1，4，5时，集合B若两个元素有1种，当集合A=2，3，5时，集合B若两个元素有1种，当集合A=2，4，5时，集合B若两个元素有1种，当集合A=3，4，5时，集合B若两个元素有1种，合计29组，故选B点评：此题考查了元素与集合关系的判断，利用了分类讨论的思想，是一道基本题型二、
15、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）已知圆C的极坐标方程是=2sin，那么该圆的直角坐标方程为 x2+（y1）2=1，半径长是 1考点：点的极坐标和直角坐标的互化 专题：计算题分析：把极坐标方程是=2sin的两边同时乘以得：2=2sin，x2+y2=2y，化简可得结果解答：解：把极坐标方程是=2sin的两边同时乘以得：2=2sin，x2+y2=2y，即 x2+（y1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于 1 的圆，故答案为：x2+（y1）2=1；1点评：本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法，点的极坐标与直角坐标的互化，圆的标准方程的形式10（5分）已知向量=（1，n）
16、，=（1，n），2与垂直，|=2考点：平面向量数量积坐标表示的应用 专题：计算题分析：由两个向量垂直可得他们的数量积等于0，利用两个向量的坐标运算法则，求出这两个向量的坐标，代入数量积公式，解出 n2，从而得到|解答：解：向量，与垂直，（）=0，（3，n）（1，n）=3+n2=0，n2=3，|=2，故答案为：2点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算11（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，C=150，a=1，则c=考点：正弦定理的应用 专题：计算题分析：先根据同角三角函数的基本关系求出sinA的值，再由正弦定理可求出c的值解答：
17、解：sinA=由正弦定理可知，c=故答案为：点评：本题主要考查正弦定理的应用属基础题12（5分）如图，已知O的直径AB=5，C为圆周上一点，BC=4，过点C作O的切线l，过点A作l的垂线AD，垂足为D，则CD=考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明 专题：计算题；综合题；压轴题；数形结合；数形结合法分析：如图，在图象中连接OC，由题意L是切线，则有OCDC，再过A作AEOC于E，可证得AE=CD，再由等面积法求出AE的长度即可得出CD的长度解答：解：如图，连接OC，由题意DC是切线可得出OCDC，再过过A作AEOC于E，故有四边形AECD是矩形，可得AE=CD又O的直径AB=5，C
18、为圆周上一点，BC=4，AC=3故SAOC=SABC=43=3又OC=，故AE=3解得AE=所以CD=故答案为：点评：本题考查与圆有关的比例线段，解题的关键是根据图形的几何特征，转化为求别的线段的长度从而达到求出CD的长度，本题考查了转化求值的能力13（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）考点：函数的零点与方程根的关系；分段函数的解析式求法及其图象的作法 专题：数形结合分析：将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围解答：解：令g（x）=f（x）m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）
19、m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0m1，故答案为：（0，1）点评：本题考查等价转化的能力、利用数学结合解题的数学思想方法是重点，要重视14（5分）在数列an中，a1=a，a2=b，且an=|an1|an2，n=3，4，5，给出下列命题：a，bR，使得a1，a2，a3均为负数；a，bR，使得a1，a2，a3均为正数；若a=5，b=1，则a88=3其中真命题的序号为（填出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；数列递推式 专题：创新题型分析：对于，我们只要找到满足条件的数字就可以说其为真命题，对于需要按定义来推解答：解：若a1，a2均为负数，则a10，|a2|
20、0，所以a30，错取a=1，b=3即可验证其成立，对由a=5，b=1，可以求出a3=4，a4=3，a5=7，a6=4，a7=3，a8=1，a9=4，a10=5，可以知道其为周期为9的数列，所以a88=a7=3，对 故答案为：点评：为特称命题，存在一个成立即为真，都不成立为假，而由要 求的结论可知，这一数列必有规律，见到这一类型题要认真的把其规律找到，就可解决三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（I）求f（x）的最小正周期；（II）设，判断函数g（x）的奇偶性，并加以证明考点：三角函数中的恒等
21、变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性 专题：计算题分析：（I）利用二倍角与两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求f（x）的最小正周期；（II）求出的表达式，通过函数的奇偶性的定义，直接证明即可解答：解：（I）由f（x）=cosxsinx+cos2x=sin2x+cos2x+=f（x）的最小正周期是（II）因为=，=g（x），函数g（x）是偶函数点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性的判断，考查计算能力16（14分）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，BAC=90，AB=AA1=2，AC=1，M，N分
22、别是A1B1，BC的中点（）证明：ABAC1；（）证明：MN平面ACC1A1；（）求二面角MANB的余弦值考点：平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题 专题：证明题；综合题；转化思想分析：（）要证明：ABAC1，只要证明AB垂直平面ACC1A1内的两条相交直线AC和A1A，即可证明AB平面ACC1A1，从而证明ABAC1（）设AC的中点为D，连接DN，A1D，只要证明A1DMN，即可证明MN平面ACC1A1；（）法一：作出二面角MANB的平面角，通过解三角形可求二面角MANB的余弦值法二：建立空间直角坐标系，利用向量的数量积，求解二面角MANB的余弦
23、值解答：解法一：（）证明：因为CC1平面ABC，所以AC是AC1在平面ABC内的射影，（2分）由条件可知ABAC，所以ABAC1（4分）（）证明：设AC的中点为D，连接DN，A1D因为D，N分别是AC，BC的中点，所以DN平行等于AB又A1M=A1B1，A1B1平行等于AB，所以A1M平行等于DN所以四边形A1DNM是平行四边形所以A1DMN（7分）因为A1D平面ACC1A1，MN平面ACC1A1，所以MN平面ACC1A1（9分）（）如图，设AB的中点为H，连接MH，所以MHBB1因为BB1底面ABC，所以MH底面ABC在平面ABC内，过点H做HGAN，垂足为G连接MG，则MGAN所以MGH是
24、二面角MANB的平面角（12分）因为MH=BB1=2，由AGHBAC，得HG=所以MG=所以cosMGH=二面角MANB的余弦值是（14分）解法二：依条件可知AB，AC，AA1两两垂直如图，以点A为原点建立空间直角坐标系Axyz根据条件容易求出如下各点坐标：A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），A1（0，0，2），B1（0，2，2），C1（1，0，2），M（0，1，2），证明：（）：因为，所以=0（1）+20+02=0（2分）所以即ABAC1（4分）（）证明：因为，是平面ACC1A1的一个法向量，且=，所以（7分）又MN平面ACC1A1，所以MN平面ACC1A1（9分）（）设n
25、=（x，y，z）是平面AMN的法向量，因为，由得解得平面AMN的一个法向量n=（4，2，1）由已知，平面ABC的一个法向量为m=（0，0，1）（12分）设二面角MANB的大小为，则=二面角MANB的余弦值是（14分）点评：本题考查直线与直线的垂直，直线与平面的平行，二面角的知识，考查学生的空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题17（13分）如图，一圆形靶分成A，B，C三部分，其面积之比为1：1：2某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的（）求该同学在一次投掷中投中A区域的概率；（）设x表示该同学在3次投掷中投中A区域的次数，求x的分布列及数学期望；（）若
26、该同学投中A，B，C三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率考点：几何概型；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题：计算题分析：（1）题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件A的区域面积和总面积之间的关系，再根据几何概型计算公式给出答案；（2）根据（1）中投中A区域的概率，不难列出x的分布列并进行数学期望；（3）考查的是古典概型，我们可以列举出三次投掷总的基本事件个数及恰得4分的事件个数，代入古典概型计算公式求解解答：解：（）设该同学在一次投掷中投中A区域的概率为P（A），依题意，（）依题意知，（k=0，1，2，3）从而X的分布列为：（）设
27、Bi表示事件“第i次击中目标时，击中B区域”，Ci表示事件“第i次击中目标时，击中C区域”，i=1，2，3依题意知点评：求古典概型的概率的基本步骤为：（1）算出所有基本事件的个数n（2）求出事件A包含的所有基本事件数m（3）代入公式，求出P（A）几何概型中的三种基本度量为长度、面积和体积，在解题时要准确把握，要把问题向它们作合理地转化，要注意古典概型与几何概型的区别（基本事件的有限性和无限性），正确选用几何概型解题18（13分）设aR，函数f（x）=（x2axa）ex（）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）在2，2上的最小值考点：利用导数求闭区间上函数
28、的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题分析：（）先求出函数的导函数令x的值为0代入其中得到f（0）=2即切线方程的斜率为2，而f（0）=a，当a为1时f（0）=1，即求曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程写出即可；（）求出函数的导函数并令其为零求出函数的驻点，在2，2内讨论函数的增减性求出函数的极值，判断大小求出函数的最小值即可解答：解：（）f（x）=（2xa）ex+（x2axa）ex=（x+2）（xa）ex当a=1时，f（0）=2，f（0）=1，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y（1）=2x，即2x+y+1=0（）令f（x）=0，解得x=2或x=aa2
29、，则当x（2，2）时，f（x）0，函数f（x）在（2，2）上单调递减，所以，当x=2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（2）=（43a）e22a2，则当x（2，2）时，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：所以，当x=a时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（a）=aeaa2，则当x（2，2）时，f（x）0，函数f（x）在（2，2）上单调递增，所以，当x=2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（2）=（4+a）e2综上，当a2时，f（x）的最小值为（4+a）e2；当2a2时，f（x）的最小值为aea；当a2时，f（x）的最小值为（43a）e2点评：考查学生利用导数求函数在闭区间
30、上的最值的能力，以及利用导数研究曲线上某点的切线方程的能力19（13分）已知两点F1（2，0），F2（2，0），曲线C上的动点M满足|MF1|+|MF2|=2|F1F2|，直线MF2与曲线C交于另一点P（）求曲线C的方程；（）设N（4，0），若=3：2，求直线MN的方程考点：椭圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆锥曲线的综合问题 分析：（）由题意知|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=84，所以曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆由此可知曲线C的方程；（）设M（xM，yM），P（xP，yP），直线MN方程为y=k（x+4），其中k0由得（3+4k2）y224ky=0解得y=0或依
31、题意，；由此可知直线MN的方程解答：解：（）因为|F1F2|=4，|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=84，所以曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆曲线C的方程为（4分）（）显然直线MN不垂直于x轴，也不与x轴重合或平行（5分）设M（xM，yM），P（xP，yP），直线MN方程为y=k（x+4），其中k0由得（3+4k2）y224ky=0解得y=0或依题意，（7分）因为，所以，则于是所以（9分）因为点P在椭圆上，所以整理得48k4+8k221=0，解得或（舍去），从而（11分）所以直线MN的方程为（12分）点评：本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解题20（14分）数
32、列an满足：an+1=3an3an2，n=1，2，3，（）若数列an为常数列，求a1的值；（）若，求证：；（）在（）的条件下，求证：数列a2n单调递减考点：数列的应用 专题：计算题；证明题分析：（）由题意知an+1=an，由此可推导出a=0，或（）用数学归纳法证明（）因为a2na2n2=3（3a2n23a2n22）3（3a2n23a2n22）2a2n2=27a2n24+54a2n2336a2n22+8a2n2（n2），所以只要证明27a2n24+54a2n2336a2n22+8a2n20，然后用分析法能够证明数列a2n单调递减解答：解：（）因为数列an为常数列，所以an+1=an，解得an=0
33、或，由n的任意性知，a1=0或，所以a=0，或；（）用数学归纳法证明，1当n=1时，符合上式，假设当n=k（k1）时，因为，所以，即，从而，即，因为，所以，当n=k+1时，成立，由，知，；（）因为a2na2n2=3（3a2n23a2n22）3（3a2n23a2n22）2a2n2=27a2n24+54a2n2336a2n22+8a2n2（n2），所以只要证明27a2n24+54a2n2336a2n22+8a2n20，由（）可知，a2n20，所以只要证明27a2n23+54a2n2236a2n2+80，即只要证明27a2n2354a2n22+36a2n280，令f（x）=27x354x2+36x8，f（x）=273x2542x+36=9（9x212x+4）=9（3x2）20，所以函数f（x）在R上单调递增，因为，所以，即27a2n2354a2n22+36a2n280成立，故a2na2n2，所以数列a2n单调递减点评：本题以数列为载体，考查不等式的证明，解题时要注意数列归纳法和分析法的证明技巧
