1、吉林省梅河口市第五中学2020届高三数学第五次模拟考试试题 文（含解析）注意事项：1.试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.本试卷满分150分，测试时间120分钟.5.考试范围：高考全部内容.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解关于的不等式，求出的补集.【详解】由已知或，故，故选B.【点睛】本题考查集合的补集运算，是一道基础题2.已知是
2、虚数单位，设，则复数对应的点位于复平面（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数除法法则计算出，再计算出，可得其对应点的坐标，得所在象限【详解】由已知，对应点为，在第一象限故选：A【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，掌握除法运算法则和共轭复数的概念是解题基础3.随着南京2月14日颁布修订后的积分落户实施办法，3月18日石家庄市推出“零门槛”人户政策实施，2019二线城市抢人大战再升级！某二线城市于2019年初制定人才引进与落户新政（即放宽政策，以下简称新政）硕士研究生及以上学历毕业生可直接落户并享有当地政府依法给予的住房补贴，
3、本科学历毕业生可以直接落户，专科学历毕业生在当地工作两年以上可以落户，高中及以下学历人员在当地工作十年可以落户.新政执行一年，2019年全年新增落户人口较2018年全年增加了一倍，为了深入了解新增落口结构及变化情况，相关部门统计了该市新政执行前一年（即2018年）与新政执行一年（即2019年）新户人口学历构成比例，得到如图所示的扇形图：则下面结论中错误的是（ ）A. 新政实施后，新增落户人口中本科生已经超过半数B. 新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口减少C. 新政对硕士研究生及以上学历的新增落户人口数量暂时未产生影响D. 新政对专科生在该市落户起到了积极的影响【答案】B【解析】【分析】
4、通过分析两个饼图中各个学历人数的变化情况，得出正确选项.【详解】设人数为，则年人数为，根据两个饼图可知：年份高中及以下专科本科硕士及以上20172018由表格可知，新政实施后，新增落户人口中本科生已经超过半数；高中及以下学历人员新增落户人口增加了；新政对硕士研究生及以上学历的新增落户人口数量暂时未产生影响新政对专科生在该市落户起到了积极的影响；故B选项判断错误.故选：B.【点睛】本题考查统计图之饼图的读取与理解，并对所反应的数据进行分析和判断，属于基础题.4.已知向量，若，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先可根据题意得出，然后根据得出，最后通过计算即可得出结果.
5、【详解】因为，所以，因为，所以，即，解得，故选：C.【点睛】本题考查向量运算的坐标表示以及向量垂直的相关性质，若，则，考查计算能力，是简单题.5.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在内的函数值，即可判断；【详解】解：因为，定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故AB错误；当时，所以，故D错误；故选：C【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的判断，属于基础题.6.已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先利用二倍角公式求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用两角和的正弦公
6、式计算可得；【详解】解：因为，所以，解得或，因为，所以，所以故选：B【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题.7.为了求得椭圆的面积，把该椭圆放入一个矩形当中，恰好与矩形相切，向矩形内随机投入共n个不同的点，其中在椭圆内的点恰好有个.若矩形的面积是2，则可以估计椭圆的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：依题意，根据几何概型的概率公式，所以椭圆的面积为故选：B【点睛】本题考查几何概型的概率公式的应用，属于基础题.8.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着
7、游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，使得最后退出循环时，即可得解.【详解】时，；时，；时，；时，退出循环.此时，解得.故选C【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确结论，属于基础题.9.记不等式组，表示的平面区域为D，命题，；命题，.下面给出四个命题：；.这四个命题中，所有真命题的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【
8、分析】先由约束条件画出可行域，由于表示可行域中的点到原点的距离的平方大于等于2，所以只需要求出可行域中到原点的距离的最小值作比较即可，由得，作直线，向上平移求目标函数的最小值即可.【详解】解：不等式组，表示的平面区域为D如图所示，令，则表示可行域中的点到原点的距离的平方，由图可知点A到原点的距离最小，由，得，所以点，所以，所以，所以命题，为真命题，则为假命题；令，则，作直线，向上平移直线过点时，截距最小，此时有最小值1，所以命题，为假命题，则为真命题，综上，和为真命题，和为假命题，故选：B【点睛】此题考查线性规划的简单应用和复合命题的真假判断，考查了数学转化思想，属于中档题.10.若正三棱柱的
9、各个顶点均在同一个半径为的球面上，且正三棱柱的侧面均为正方形，则该三棱柱的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题首先可以绘出正三棱柱的图像，然后设正三棱柱的底面边长为并求出、以及长，再然后根据求出的值，最后根据正三棱柱的表面积计算公式即可得出结果.【详解】如图，绘出正三棱柱的图像：记正三棱柱为三棱柱，为外接球的球心，为底面的重心，连接，则底面，连接、，设正三棱柱的底面边长为，因为正三棱柱的侧面均为正方形，所以，因为是等边三角形，为底面的重心，所以，因为，外接球的半径即，所以，解得，则正三棱柱的表面积：，故选：B.【点睛】本题考查正三棱柱的表面积的相关计算，考查正三
10、棱柱与圆相切的相关性质，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.11.已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点，若，为其左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若点，则当|取最小值时，点P的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求双曲线方程，根据双曲线定义转化，根据图象求得点的位置，再联立方程求点的坐标.【详解】由条件可知，即，解得：， ，当三点共线时取等号，此时直线的斜率，直线的方程为，联立 ，解得：， ，即点的坐标为.故选：C【点睛】本题考查双曲线方程，双曲线定义，双曲线的几何性质，重点考查数形结合分析问题，转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是
11、根据双曲线的定义转化.12.已知函数，若恒成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出函数的导数，再分别讨论的情况，得到，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求得的最大值.【详解】由题意，函数，则，当时，单调递增，此时函数无最小值，不符合题意，舍去；当时，令，解得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，因为恒成立，即，可得，则，设，则，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；所以当时，函数取得最大值，最大值为，故的最大值为.故选：B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归
12、思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2019年10月1日，盛大的阅兵仪式在北京举行.某班为增强民族自豪感，组织全班50名同学共同观看阅兵仪式.观看结束后，班主任采用系统抽样的方法抽取10名同学，分享观后感，将这50名学生随机编号150号，并分组，第一组15号，第二组610号，第十组4650号，若在第三组中抽得号码为12号学生，则在第八组抽得号码为_号的学生.【答案】37【解析】分析】系统抽样相邻两个
13、号码间隔相同，由此可得（或利用号码成等差数列求解）【详解】由题意得第三组抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为号的学生.故答案为：37【点睛】本题考查系统抽样，掌握系统抽样的概念是解题基础14.在中，则面积的最大值为_.【答案】2【解析】【分析】本题首先可以根据得出，然后根据三角形的相关性质得出，最后根据解三角形面积公式以及基本不等式即可得出结果.【详解】由及正弦定理可得，即，因为、为的内角，所以，因为，所以，则，当且仅当时“”成立，故答案为.【点睛】本题考查正弦定理边角互化、三角恒等变换、解三角形面积公式以及基本不等式，考查的公式有、，考查通过基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题
14、.15.已知函数,则使不等式成立的x的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】对自变进行分类讨论，解两个不等式，再取并集，即可得答案；【详解】，由得，当时，由，得；当时，此时无解.综上所述，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查利用分类讨论解不等式，考运算求解能力，求解时注意交集与并集的运用.16.若直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，内有一点满足，则直线的斜率为_.【答案】1【解析】【分析】设点A，B到直线的距离分别为、，延长线段交于点Q，然后利用可得到，从而得M为的中点，则，而由已知可得，从而可得到A,B两点坐标的关系，再结合A,B两点在抛物线上，可求出A,B两点的坐标，从而可得到
15、直线的斜率，或利用奔驰定理得，结合已知得，得到A,B两点的坐标的关系，再结合A,B两点在抛物线上，可求出A,B两点的坐标，从而可得到直线的斜率.【详解】方法一 设点A，B到直线的距离分别为、，延长线段交于点Q，则，故M为的中点，.设，则，则，又，得或（舍去）.故直线的斜率.方法二 设，则，由奔驰定理得，则，把，代入并求解，可得，故直线的斜率.故答案为：1【点睛】此题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质，考查了转化思想，属于中档题.三、解答題：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考
16、题：共60分.17.已知数列是等差数列，且，（） 求数列的通项公式；（）若数列是递增的等比数列且，求【答案】（） （）【解析】【分析】（）由已知可得，即可求出数列an的通项公式an；（）由已知可得 可得bn2n1，再分组求和即可【详解】（）有已知得： ，.（）由已知得： ,又是递增的等比数列，故解得：,= =.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.2019年11月3日举行的“第三届中国企业改革发展论坛”上，济南已在中国（山东）自贸试验区济南片区，发出了一张在区块链存储和传递的数字营业执照.下一步，济南希望在山东自贸区济南片区打
17、造区块链等新技术的应用场景，推动自贸区企业上链.而区块链技术的发展也将对移动支付产生深远影响，移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40人.已知在全部200人中随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6.（1）完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由.习惯使用移动支付不习惯使用移动支付合计（人数）60岁以上60岁及以
18、下合计（人数）200（2）在习惯使用移动支付的60岁及以上的人群中，每月移动支付的金额如下表：每月支付金额3000以上人数155现采用分层抽样的方法从中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中有1人月支付金额超过3000元的概率.附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.70638416.63510.828【答案】（1）列联表答案见解析；有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意填写列联表，计算的值，对照临界值得出结论；（2）先根据分层抽样确定月支付金额在的有3人，在的为2人， 3000以上的为1人，分别记为， ， C，写出基本
19、事件总数，再利用古典概率模型求解即可.【详解】解：（1）根据题意，列联表如下：习惯使用移动支付不习惯使用移动支付合计（人数）60岁以上30407060岁及以下9040130合计（人数）12080200.所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关.（2）由（1）得，所以在抽取的6人中，月支付金额在的有3人，记为，,；在的为2人，记为，；3000以上的为1人，记为C.则从6人中抽取两人，共有，共15种取法.其中共有，有5种符合条件，所以.【点睛】本题考查独立性检验和古典概率模型，考查数据分析处理能力，是中档题.19.如图，四棱锥的底面为直角梯形，.（1）证明：平面平面；（2）求四棱锥的体
20、积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1），这两条相交直线，再利用面面垂直的判定定理，即可得答案；（2）在平面内，过点P作，交的延长线于点E，再利用四棱锥的体积公式计算，即可得答案；【详解】（1）证明：在中，由，得.因为，所以，即.因为，所以.因为，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）在平面内，过点P作，交的延长线于点E.如图，由（1）知平面，因为平面，所以平面平面.因为平面，平面平面，所以平面.因为在中，所以.因为底面是直角梯形，所以.【点睛】本题考查面面垂直判定定理和四棱锥体积求解，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.20.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦
21、点在轴的正半轴上，过点的直线与抛物线相交于，两点，且满足（1）求抛物线的方程；（2）若是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值.【答案】（1）(2) 8【解析】【分析】（1）设直线方程为由直线方程与抛物线方程联立，消元后可，代入可求得，得抛物线方程；（2）设易知点M，N的横坐标与P的横坐标均不相同.不妨设mn. 写出直线PM的方程，由直线PM与圆相切得一关系式，同理PN与圆相切又得一关系式，两者比较说明是一个方程的根，由韦达定理得，从而可表示并求出（用表示），而面积为，表示为的函数，由基本不等式可求得最小值【详解】（1）由题意，设抛物线C的方程为，则焦点F的坐标为.设直线的方程为
22、联立方程得，消去得所以 因为所以故抛物线的方程为. (2)设易知点M，N的横坐标与P的横坐标均不相同.不妨设mn.易得直线PM的方程为化简得，又圆心（0,1）到直线PM的距离为1，所以所以不难发现，故上式可化为 同理可得所以m，n可以看作是的两个实数根，则所以因为是抛物线C上的点，所以则又，所以从而当且仅当时取得等号，此时故PMN面积的最小值为8.【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是“设而不求”，这也是直线与圆锥曲线相交时的常用方法本题第（2）小题解法值得借鉴，设，为了求（不妨考虑），利用直线与圆相切得一与有关的等式，同理可得一个与有关的等式，这两个等式结合，可看作是一个一元二次方
23、程的两根，由韦达定理表示出的和与积，从而可求得差21.已知函数（a为实常数）（1）求函数的单调区间；（2）若，求不等式的解集；（3）若存在两个不相等的正数、满足，求证：.（注）【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可.(2)令，根据函数的单调性求出不等式的解集即可.(3)由题意得，不妨设，则 ，根据函数单调性得到，由替换即可.【详解】（1）的定义域为，当时，恒有，故在上单调递增；当时，由得，故在上单调递增，在上单调递减；综上可知：当时的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
24、（2）因为的定义域为，所以且，而，故.设，且当且仅当时取等号，所以在上单调递增，又因为时，.所以当时，当时，故的解集为.（3）由（1）知时在上单调递增，若，则，不合题意.故，而上单调递增，在上单调递减，若存在两个不相等的正数、满足，则、必有一个在上，另一个在上，不妨设，则.又由（2）知时，即，所以.因为，所以，又因为在上单调递减，所以，即.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，圆C的参
25、数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O，P，与直线的交点为Q，求的范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先消去参数得普通方程，然后由可化为极坐标方程；（2）把代入圆与直线的极坐标方程得点的极径即，计算，结合正切函数性质可得结论【详解】（1）圆C的普通方程是，即，因为，所以圆C的极坐标方程为.（2）由题意知，设，则有.设，且直线的极坐标方程是，则有，即.所以，因为，所以.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标的应用注意极径的绝对值就是
26、对应点到极点（原点）的距离，因此问题只涉及点到原点距离时可考虑用极坐标方程求解【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数.（1）画出函数的图象，并求出函数的值域；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）函数图象答案见解析，值域为；（2）.【解析】【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，即可画出函数的图象，观察图象求出函数的值域；（2）分离参数，利用绝对值三角不等式得到，即可求出实数a的取值范围.【详解】【解】（1），作出函数的图象如图所示.由图象可知函数的值域为.（2）恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，因为，所以，即，所以实数a的取值范围为.【点睛】本题考查含绝对值的不等式恒成立问题考查含绝对值函数的值域，对含绝对值的函数常用绝对值定义去绝对值符号，化为分段函数求解含绝对值的不等式解决问题的方法一是利用绝对值定义分类讨论求解，一是利用绝对值不等式求出最值再求解象本题可能分离参数，就可以通过绝对值三角不等式求得最值，然后得出参数范围
