1、江苏省江阴高级中学2007届高三数学训练卷(一)本试卷共150分 考试时间120分钟一、选择题(本大题共12小题;每小题5分,共60分)1. 以下可以估计总体稳定性的统计量是 ( )A. 样本平均数 B. 样本中位数 C. 样本方差 D. 样本最大值2. 函数y的反函数是 ( )A. B. C. D. 3. 若向量n与直线l垂直,则称向量n为直线l的法向量. 直线的一个法向量为 ( )A. B. C. D. 4. 设等差数列的前n项的和是,且,则 ( )A. B. C. D. 5. 已知的三个顶点在同一球面上, 若球心到平面的距离为1,则该球的半径为 ( )A. 1 B. C. D. 26.
2、当时,函数的最小值为 ( )A. B. 3 C. D. 47. 若函数的最小正周期为1,则它的图象的一个对称中心为( )A. B. C. D. 8. 函数的图像大致是 ( )9. “”是“直线与圆相切”的 ( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件10. 已知函数满足,且当时,. 设,则 ( )A. B. C. D. 11. 若M是直线上到原点的距离最近的点,则当在实数范围内变化时,动点M的轨迹是 ( )A. 直线 B. 线段 C. 圆 D. 椭圆12. 将三种作物种植在如图5块试验田里,每块种植一种作物,且同一种作物在相邻的试验田中,不同的种
3、植方法有 ( )A. 24种 B. 36种 C. 42种 D. 48种二、填空题(本大题共6小题;每小题4分,共24分)13. 设集合,. 若,则 .14. 设周期为4的奇函数的定义域为R,且当时,则 的值为 .15. 已知双曲线的中心在坐标原点O,焦点在y轴上,它的虚轴长为2,且焦距是两准线间距离的2倍,则该双曲线的方程为 .16. 设且. 若,则的值为 .17. 在中,若,则的值为 .18. 已知,. 若将坐标平面沿x轴折成直二面角,则折后的余弦值为 .三、解答题(本大题共5小题,共66分)19. (本小题满分12分)一位学生每天骑自行车上学,从他家到学校有5个交通岗,假设他在交通岗遇到红
4、灯是相互独立的,且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p ,其余3个交通岗遇到红灯的概率均为.(1) 若,求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率;(2) 若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过,求p的取值范围.20. (本小题满分12分)如图,在正方形中,为的中点.(1) 求和所成的角(2) 证明:平面平面;(3) 求二面角的大小. (用反三角函数表示)21. (本小题满分14分)已知函数 直线l :.(1) 求证:直线l与函数的图像不相切;(2) 若当时,函数的图像在直线l的下方,求c的范围.22. (本小题满分14分)已知函数数列中,. 当a取不同的值时,得到不同的数列,如当时,得到无穷数列
5、当时,得到有穷数列 (1) 求a的值,使得;(2) 设数列满足求证:不论a取中的任何数,都可以得到一个有穷数列;(3) 求a的取值范围,使得当时,都有.23. (本小题满分14分)(1) 已知抛物线过焦点的动直线l交抛物线于两点,为坐标原点,求证:为定值;(2) 由 (1) 可知:过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物线于两点,存在定点,使得为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.江苏省江阴高级中学2007届高三数学训练卷(一)参考答案一、选择题(每小题5分,共60分)题号123456789101112答案CBADCBCCADCB二、填空题(每小题4分,共24分)13. 14. 23 ;
6、15. 16. 11 ; 17. 18. 三、解答题(共66分)19.(本小题满分12分)解:(1) 记该学生在第个交通岗遇到红灯,答:该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率为6分(2) 该学生至多遇到一次红灯指没有遇到红灯(记为A)或恰好遇到一次红灯(记为B)7分 9分11分又 所以p的取值范围是12分20.(本小题满分12分)解:(1) 正方体中,与所成的角为或其补角.,和所成的角为4分(2) 取的中点的中点连结平面,.又,平面.6分,四边形是平行四边形,平面7分又平面,平面平面8分(3) 连结. 又平面,为二面角的平面角. 10分设正方形的边长为a,则在中,11分二面角的大小为12分21
7、.(本小题满分14分)解:(1) 证明:2分假设直线l :与函数的图像相切,则有实数解,即有实数解. 5分因为时,方程无实数解,所以直线l与函数的图像不相切.7分(2) 当时,函数的图像在直线l的下方,即对于一切都成立,9分即对于一切都成立. 10分令 因为所以在上单调递减,12分所以当时,13分所以,所以c的范围是14分22.(本小题满分14分)解:(1) 因为所以2分要即要. 所以,时,4分(2)由题知不妨设a取,所以6分,所以8分所以不论a取中的任何数,都可以得到一个有穷数列.9分(3) 11分因为,所以只要有就有12分由,解得:,即.所以,a的取值范围是.14分23.(本小题满分14分)解:(1) 若直线l垂直于x轴,则,.2分若直线l不垂直于轴,设其方程为,.由4分.综上,为定值. 6分(2) 关于椭圆有类似的结论:过椭圆的一个焦点的动直线l交椭圆于、两点,存在定点,使为定值. 7分证明:不妨设直线l过椭圆的右焦点其中若直线l不垂直于轴,则设其方程为:,.由得:所以9分由对称性可知,设点在x轴上,其坐标为所以要使为定值,只要即此时12分若直线l垂直于x轴,则其方程为,.取点有13分综上,过焦点的任意直线l交椭圆于、两点,存在定点使为定值. 14分