1、2020届高三年级第一学期第一次月考数学试卷一、选择题（本题共8题，每小题5分，共40分1.已知集合,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数不等式求解集合再求交集即可.【详解】,故.故选：B【点睛】本题主要考查了指数不等式的求解以及集合的交集运算,属于基础题.2.等比数列的前n项和为，若，则（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60【答案】C【解析】【分析】根据题设条件，得到，进而得到，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，等比数列的前n项和为，满足，则，所以，则，故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式，及其前n项和的计算，其中解答中熟记等比数列的通项
2、公式和前n项和公式，准确计算是解得的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.设函数，的值域是，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据定义域得到的范围，根据值域得到，解得答案.【详解】，则，函数值域为，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查了根据三角函数值域求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力.4.函数的图象大致为 ()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过代入特殊点判断正负即可得到答案.【详解】由于，排除C选项，排除B选项，不选A,故选D选项.【点睛】本题主要考查函数图像，此类题通过判断奇偶性，特殊值，极值点一般就可得到答
3、案.5.已知= ，=.则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】因为，即，又因为，所以，联立与可得，应选答案C6.已知函数在区间上是增函数，且.若，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，得到为偶函数，再由是上的增函数，得到是上的减函数，根据，转化为，即可求解.【详解】由题意，因为，所以为偶函数，又因为是上的增函数，所以是上的减函数，又因为，所以，所以，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对称区间上的函数的单调性的应用，同时解答中涉及到对数函数的图象与性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7.将函数的
4、图象向右平移个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由诱导公式将函数化简成，再根据“左加右减”的平移原则，得到函数，因为平移后的函数为偶函数，则为它的一条对称轴.【详解】，向右平移个单位得：，平移后的函数恰为偶函数，为其对称轴，时， ，即，时，.【点睛】通过恒等变换把函数变成的形式，再研究三角函数的性质是三角函数题常见解题思路；三角函数若为偶函数，则该条件可转化为直线为其中一条对称轴，从而在时，函数取得最值.8.设是边长为1的等边三角形，M为所在平面内一点，且，则当取最小值时，的值为（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】A【
5、解析】【分析】由可推出，进而可得，令，则，然后，然后运用二次函数的知识可得到答案.【详解】因为，所以，即所以，所以令，则，即所以，所以所以当，即时取得最小值故选：A【点睛】本题主要考查的是平面向量数量积的运算，解题的关键是由条件得出，属于中档题.二、填空题（本题共6题，每小题5分，共30分）9.的展开式中含的项的系数是_【答案】【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数【详解】解：（x）6的展开式的通项公式为Tr+1（1）rx62r，令62r2，求得r2，故展开式中x2的系数为15，故答案为15【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项
6、展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题10.的内角的对边分别为，若的面积为，则C=_.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理和的面积公式可求角.【详解】由余弦定理，可得的面积，又的面积，又.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式，属于基础题.11.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有_种.【答案】120【解析】分析：把丙丁捆绑在一起，作为一个元素排列，然后把甲插入，注意丙丁这个元素的位置不同决定着甲插入的方法数的不同详解：故答案为12
7、0点睛：本题考查排列组合的应用排列组合中如果有元素相邻，则可用捆绑法，即相邻的元素捆绑在一起作为一个元素进行排列，当然它们之间也要全排列，特殊元素可优先考虑注意分类与分步结合，不重不漏12.如图，在等边三角形中，点为的中点，点是边（包括端点）上的一个动点，则的最小值是_.【答案】-3.【解析】【分析】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可得到答案.【详解】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则，,AC中点.设，则，.在直线上，当时，的最小值为-3.故答案为-3【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查向量数量积的应用，属于基
8、础题.13.若函数在上是增函数，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】首先对函数的解析式进行恒等变形，然后结合三角函数的性质得到关于的不等式，求解不等式即可确定的取值范围.【详解】整理函数的解析式有：结合题意可知函数的最小正周期：,即，求解不等式可得的取值范围是.【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的性质与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知，函数若对任意x3，+），f(x)恒成立，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结
9、合二次函数的性质可知：当时，则；当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，则；综合可得的取值范围是，故答案为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析三、解答题（本题共6题，共80分）15.已知函数(1)求的最小正周期；(2)求的单调增区间；(3)若求函数的值域【答案】（1）（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先化简函数f(x)的解析式，再求函数的
10、最小正周期；（2）解不等式，即得函数的增区间；（3）根据三角函数的性质求函数的值域.【详解】（1）由题得，所以函数的最小正周期为.（2）令所以,所以函数的单调增区间为.（3），所以函数的值域为.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16.随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走人大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元不足1小时的部分按1小时计算甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为；一小
11、时以上且不超过两小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过三小时求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望【答案】（）；（）详见解析.【解析】【分析】甲、乙两人所付费用相同，即为2，4，6元，都付2元的概率为，都付4元的概率为，都付6元的概率为，利用互斥事件概率加法公式能求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率依题意，的可能取值为4，6，8，10，12，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和【详解】解：甲、乙两人所付费用相同，即为2，4，6元，都付2元的概率为，都付4元的概率为，都付6元的概率为，甲、乙两人所付租车费用相同的概率：依题意，
12、的可能取值为4，6，8，10，12，的分布列为：4681012P【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17.已知函数（1）求在点处的切线方程；（2）若存在，满足成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出，得出切点坐标，利用导数求出，得出切线的斜率，再利用点斜式写出切线的方程；（2）由，即，将问题转化为，然后利用导数求出函数在区间上的最大值，可求出实数的取值范围详解】（1），在处的切线方程为：，即；（2），即，令，得.时， ，时，.在上减，在上增，又时，的最大值
13、在区间端点处取到. ，在上最大值为，故的取值范围是：.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用函数不等式能成立求参数的取值范围，在处理函数不等式成立的问题时，可利用分类讨论或者参变量分离法来求解，在利用参变量分离时要注意是恒成立还是能成立的问题，以便转化为对象函数相应的最值来处理，考查计算能力，属于中等题18.在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足,.（1）求角A的值；（2）求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理边角互化结合余弦定理求解即可.(2)根据正弦定理边化角得,再利用的关系,化简可得,再结合的范围求解即可.【详解】（1）由正弦定理得,即即.又
14、为锐角三角形,（2）由正弦定理：,故,故.,故周长的取值范围是【点睛】本题主要考查了正余弦定理的边角互化,以及余弦定理的运用.同时也考查了正弦定理边角互化,结合角度范围与三角函数范围求解边长的范围问题等.属于中档题.19.已知数列的前n项和为，且.（）求数列的通项公式：（）令，求数列的前n项和.（）记.是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（） （） （）【解析】【分析】（）由已知条件推导出数列是首项为1，公比为2的等比数列,从而可求数列的通项公式;（）用错位相减法能求出数列的前n项和;（）条件转化为,分类讨论,即可确定的取值范围.【详解】（）当
15、时，即当时，即数列是首项为1，公比为2的等比数列故（）由（）可得两式相减得=（）又即当为偶数时，则当为奇数时，则综上：【点睛】本题考查数列通项公式的求法,考查数列的前项和的求法,解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用.20.已知函数，.（I）判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；（II）若函数有且仅有一个零点，求的值；（III）若函数有两个极值点，且，求的取值范围.【答案】（I）详见解析；（II）；（III）【解析】【分析】（I）利用导函数求出函数在点，（1）处的切线方程，和函数联立后由判别式分析求解公共点个数；（II）写出函数表达式，由得到，求函数的最小值既是所要求的的值；（III）写
16、出函数的表达式，构造辅助函数，由原函数的极值点是其导函数的零点分析导函数对应方程根的情况，分离参数后构造新的辅助函数，求函数的最小值，然后分析当大于函数最小值的情况，进一步求出当时的的值，则答案可求【详解】解：（I）由，得，（1），又（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，代入，得，当或时，有两个公共点；当或时，有一个公共点；当时，没有公共点（II），由，得，令，在上递减，在上递增，因此，（1）（III），令，即有两个不同的根，令，且当时，随的增大而增大；当时，此时即时，【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数零点的求法，考查了利用导数求函数的最值，充分利用了数学转化思想方法，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是难度较大的题目
