1、第二课时二项式系数的性质与杨辉三角课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选)满足+1 000的偶数n可以为()A.8B.10C.12D.14答案CD解析2n-11 000,解得n11,nN+.故选CD.2.二项展开式(2x-1)10中的奇次幂项的系数之和为()A.B.C.D.-答案B解析设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+a10x10.令x=1得,1=a0+a1+a2+a10,再令x=-1得,310=a0-a1+a2-a3+-a9+a10,由-可得a1+a3+a5+a7+a9=.3.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“01三角”.在“01三角”中,从第1行起,设第n(
2、nN+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于()A.26B.27C.7D.8答案D解析第3次出现全行为1,这说明杨辉三角中这一行全是奇数,即(k=0,1,2,n)是奇数,经验证可知,第3次出现全行为1时,1的个数为8,即a3=8.4.(1-ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为()A.a=2,b=-1,n=5B.a=-1,b=2,n=6C.a=-1,b=2,n=5D.a=-2,b=-1,n=6答案C解析令x=0,得(1+by)n系数绝对值的和为243.令y=0,得(1-ax)n系数绝对值的和为32.经验证当a=
3、-1,b=2,n=5时成立.5.(2021北京高三二模)已知(1+2x)n的展开式的二项式系数之和为16,则n=;各项系数之和为.(用数字作答)答案481解析展开式中的二项式系数的和是2n=16,所以n=4,令x=1,则(1+2)4=81,即各项系数和为81.6.a4(x+1)4+a3(x+1)3+a2(x+1)2+a1(x+1)+a0=x4,则a3-a2+a1=.答案-14解析(x+1)-14=a4(x+1)4+a3(x+1)3+a2(x+1)2+a1(x+1)+a0,所以a3-a2+a1=(-)-+(-)=-14.7.(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a5x5,求的值.解令x=1得a0
4、+a2+a4+a1+a3+a5=1;令x=-1得a0+a2+a4-(a1+a3+a5)=243.由两式可解得a0+a2+a4=122,a1+a3+a5=-121,所以=-.8.(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.解T6=(2x)5,T7=(2x)6,依题意有25=26,解得n=8.所以(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为T5=(2x)4=1 120x4.设第k+1项系数最大,则有解得5k6.因为k0,1,2,8,所以k=5,或k=6.所以系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.关键能力提升练9.(2021全国
5、高三专题练习)在x+n的展开式中,只有第六项的二项式系数最大,且所有项的系数和为0,则含x6的项的系数为()A.45B.-45C.120D.-120答案A解析在x+n的展开式中,只有第六项的二项式系数最大,x+n的展开式有11项,即n=10.展开式的所有项的系数和为0,令x=1,代入x+n=0,即(1+a)10=0,a=-1.x-10的展开式的通项为Tr+1=x10-r-r=(-1)rx10-2r,要求含x6的项,只需10-2r=6,解得r=2,所以含x6的项的系数为(-1)2=45.故选A.10.在(x-2)8的二项展开式中,二项式系数的最大值为a,含x5项的系数为b,则=()A.B.-C.
6、D.-答案B解析因为(x-2)8的二项展开式的通项为Tk+1=x8-k(-2)k,因此二项式系数的最大值为a=70,令8-k=5得k=3,所以,含x5项的系数为b=(-2)3=-448,因此=-.故选B.11.(多选)设(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+a6x6+a7x7,则下列结论正确的是()A.a2+a5=588B.a1+a2+a7=1C.a1+a3+a5+a7=D.|a1|+|a2|+|a7|=37-1答案ACD解析因为(2x-1)7展开式的第r+1项为Tr+1=(2x)7-r(-1)r=(-1)r27-rx7-r,又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+a6x6+a7x7,所以
7、a2=(-1)527-5=-84,a5=(-1)227-2=672,则a2+a5=588,故A正确;令x=1,则(2-1)7=a0+a1+a2+a6+a7=1,令x=0,则(0-1)7=a0=-1,令x=-1,则(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37,故a1+a2+a7=1-a0=2,故B错误;a1+a3+a5+a7=,故C正确;|a1|+|a2|+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37-1,故D正确.故选ACD.12.(2021山东高三专题练习)已知(2x-1)5=a5x5+a4x4
8、+a3x3+a2x2+a1x+a0,则|a0|+|a1|+|a5|=()A.1B.243C.121D.122答案B解析令x=1,得a5+a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,得-a5+a4-a3+a2-a1+a0=-243,+,得2(a4+a2+a0)=-242,即a4+a2+a0=-121,-,得2(a5+a3+a1)=244,即a5+a3+a1=122.所以|a0|+|a1|+|a5|=122+121=243.故选B.13.(2020浙江高三专题练习)1.957的计算结果精确到个位的近似值为()A.106B.107C.108D.109答案B解析1.957=(2-0.05)7=27-
9、260.05+250.052-20(0.05)7.经计算可知T1=128,T2=-22.4,T3=1.68,T4=-0.07,从第4项开始,此后每项都影响不到最终结果,1.957T1+T2+T3=107.28,1.957107.故选B.14.若1717+a(aZ,0a4)能被3整除,则a=()A.0B.1C.2D.3答案B解析因为1717+a=(18-1)17+a=1817-1816+18-1+a,由已知可得a=1.故选B.15.(2020安徽高三模拟)(x2+2)2x-6的展开式中所有项的系数和为,常数项为.答案3-260解析将x=1代入(x2+2)2x-6,得所有项的系数和为3.因为2x-
10、6的展开式中含的项为(2x)2-4=,2x-6的展开式中含常数项(2x)3-3=-160,所以(x2+2)2x-6的展开式中的常数项为60-320=-260.16.在如图三角形数阵中,从第3行开始,每一行除1以外,其他每一个数字是它上一行的左右两个数字之和.已知这个三角形数阵开头几行如图所示,若在此数阵中存在某一行,满足该行中有三个相邻的数字之比为456,则这一行是第行(填行数).答案98解析三角形数阵中,每一行的数由二项式系数,k=0,1,2,n组成.设在第n行中有,那么解得因此答案为98.17.已知二项式(x+3x2)n.(1)若它的二项式系数之和为128,求展开式中二项式系数最大的项;(
11、2)若x=3,n=2 016,求二项式的值被7除的余数.解(1)2n=128,n=7.展开式中二项式系数最大的项为第4,5项,T4=x4(3x2)3=945x10,T5=x3(3x2)4=2 835x11.(2)302 016=(28+2)2 016=282 016+282 0152+2822 015+22 016=28m+22 016(mZ),转化为22 016被7除的余数,22 016=8672=(7+1)672=7k+1(kZ),即余数为1.学科素养拔高练18.如图,我们在第一行填写整数0到n(n1),在第二行计算第一行相邻两数的和,像在杨辉三角中那样,如此进行下去,在最后一行我们会得到
12、的整数是.0123n-1n1352n-148答案n2n-1解析将数阵倒置,记第m行第a(1amn+1)个数为,则倒置后的数阵为:则有,且有=a-1.,=()+()=,+2=()+2()+()=.依此类推+k,k=k=n=n,因此,k=n=n(1+1)n-1=n2n-1.19.(2021江苏高二期中)在二项式n的展开式中,.给出下列条件:若展开式前三项的二项式系数的和等于46;所有奇数项的二项式系数的和为256;若展开式中第7项为常数项.试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上,并且完成下列问题:(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式的常数项.解选择:=46,即+n+1=46,即n2+n-90=0,即(n+10)(n-9)=0,解得n=9或n=-10(舍去).选择:+=256,即2n-1=256,解得n=9.选择:Tr+1=n-rx-(n-r)2r-n,若=0,则n=r.因为展开式中第7项为常数项,即r=6,所以n=9.(1)展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项,T5=5x-5x2=x-3,T6=4x-4.(2)展开式的通项公式为Tr+1=2r-9,令=0,则r=6,所以展开式中常数项为第7项,常数项为T7=2-3=.
