1、丰台区20202021学年度第一学期期中练习高三数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算【详解】，所以故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为，所以，故对应的点位于复平面内第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何
2、意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.3. 已知命题：，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】本题可根据全称命题的否定是特称命题得出结果.【详解】因为命题：，所以命题：，故选：A.4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义及指数函数、对数函数的图像性质判断即可.【详解】因为为奇函数，函数和函数不具有奇偶性，故排除A，C，D，又为偶函数且在上递增，故B符合条件.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、单调性的判断，属于基础题. 掌握幂指对函数
3、的基本性质是关键.5. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的性质，指对数先和0，1比较大小，再比较的大小.【详解】由函数单调性可知，所以.故选：C6. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据任意角三角函数的概念可得出，然后利用诱导公式求解.【详解】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，所以，则.故选：A.【点睛】当以为始边，已知角终边上一点的坐标为时，则，.7. 已知定义在上的奇函数在单调递增若，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根
4、据题意可得，解不等式即可求解.【详解】在上的奇函数且单调递增可得在上为增函数，因为，可得，由，即，所以，解得，所以不等式的解集为.故选：D8. 已知函数和直线，那么“”是“直线与曲线 相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线与曲线相切，求出，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论【详解】设函数和直线的切点坐标为，则，可得，所以时，直线与曲线相切；直线与曲线相切不能推出因此“”是“直线与曲线相切”的充分不必要条件故选：【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义
5、、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.9. 先将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的值可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据三角函数图象的变换得出的解析式，然后根据三角函数的图象性质分析的条件并求解的值.【详解】由题意可知，则函数的最大值为，最小值为，又的最大值为，所以当有实根时，的最大值点与的最小值点重合，故应平移个单位，所以，得，故只有C选项符合.故
6、选：C.【点睛】本题考查根据三角函数图象的平移变换、考查根据函数图象有交点求参数的取值范围，难度一般. 解答的关键在于：（1）得出函数的解析式；（2）分析出时，的最大值点与的最小值点重合.10. 已知函数若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可得在上有解，求出在上的值域即可求解.【详解】设，则，的图象上存在两个点关于原点对称，则在上有解，即在上有解，由在上的值域为，则实数的取值范围是.故选：D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 已知函数，若，则_【答案】【解析】【分析】由，利用对数的运算求解即可.【详解】
7、，得，解得故答案为：.12. 函数的最小值为_【答案】【解析】【分析】函数变形为，再利用基本不等式求最小值.【详解】，当时，等号成立.所以函数的最小值为.故答案为：13. 的内角的对边分别为已知，那么边的长为_【答案】【解析】【分析】由余弦定理运算即可得解.【详解】因为，所以由余弦定理得，解得（负值舍去）.故答案为：.14. 已知表示这个数中最大的数能够说明“对任意,都有”是假命题的一组整数的值依次可以为_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】首先利用新定义，再列举命题为假命题的一组数值，再根据定义，验证命题是假命题.【详解】设，则，而，故命题为假命题，故依次可以为故答案为：（答案不唯一）15
8、. 为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示给出下列四个结论： 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同； 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.其中所有正确结论序号是_【答案】【解析】【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.【详解】在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故正确；
9、甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故不正确；根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故正确；在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故正确.故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 设全集为，集合（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）， ；（2）.
10、【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求出，再由交集，并集，补集的定义即可求解；（2）等价于，再根据包含关系求解实数的取值范围【详解】（1）由题可得， 所以. 因为， 所以. （2）因为，所以. 因为所以.17. 已知函数在处取得极小值，其导函数为当变化时，变化情况如下表：（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由表可得出是极小值点；（2）由题可得，由此可求出.【详解】解：（1）由题意可知，当时，；当时，.所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.故时，函数有极小值，所以. （2）由（1）知为函数的极小值点，得，即. 因为函数的极小值为，所以，即，整理得：
11、. 由题可知为函数的极大值点，所以，即. 联立得：.【点睛】关键点睛：本题考查函数的导数与极值的关系，解题得关键是知道函数在极值点处的函数值为0.18. 已知函数（1）求的最小正周期；（2）若对任意，都有，求的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，再求最小正周期；（2）由题意可知当时，函数取得最小值，首先求的范围，再根据根据函数的取值范围确定右端点的范围，求的最大值.【详解】（1）因为 所以的最小正周期为 （2）由（1）知令当时，. 若对任意，都有，即对任意，都有 所以 即， 所以最大值为.【点睛】思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可
12、以整体代入求解函数性质，根据的范围，求的范围，再代入的性质，求解.19. 如图，在中，是上的点，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）角的大小；（2）的面积条件：；条件：【答案】（1），具体选择见解析；（2）.【解析】【分析】选择条件：（1）利用余弦定理即可求解；（2）由（1）可得为直角三角形，利用三角形的面积公式：即可求解.选择条件：（1）利用正弦定理即可求解.（2）由（1）可得为直角三角形，利用三角形的面积公式：即可求解.【详解】选择条件：解：（1）在中，由余弦定理，得. 因为，所以. （2）由（1）知，因为，所以. 所以为直角三角形.所以，. 又因为，所以. 所以. 选择
13、条件：解：（1）在中,，.由正弦定理 ，得. 由题可知 ，所以. （2）由（1）知，因为，所以. 所以为直角三角形，得. 又因为，所以. 所以.20. 国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了生活垃圾分类制度实施方案，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目已知该企业日加工处理量（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨日加工处理总成本（单位：元）与日加工处
14、理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种 每日进行定额财政补贴，金额为2300元； 根据日加工处理量进行财政补贴，金额为如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？【答案】（1）加工处理量为吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；（2）选择两种方案均可，理由见解析.【解析】【分析】（1
15、）根据条件写出每吨厨余垃圾的平均成本表达式，利用基本不等式求解出其最小值，并判断处理吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态；（2）根据两种补贴方式分别列出企业日获利的函数表达式，并求解出最大值，将最大值进行比较确定出所选的补贴方式.【详解】解：（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为. 又. 当且仅当，即吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低. 因为，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；（2）若该企业采用第一种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得因为,所以当吨时，企业最大获利为850元.若该企业采用第二种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得 因为,所以当吨吨时, 企业最大获利为850元.
16、 结论：选择方案一，因为日加工处理量处理量为70吨时，可以获得最大利润；选择方案二，日加工处理量处理量为90吨时，获得最大利润，能够为社会做出更大贡献；由于最大利润相同，所以选择两种方案均可.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.21. 已知函数（1）若曲线在点
17、处与轴相切，求的值；（2）求函数在区间上的零点个数；（3）若、，试写出的取值范围.（只需写出结论）【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由题意可得，由此可解得实数的值；（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合零点存在定理可得出结论；（3）根据（2）中的讨论可写出实数的取值范围.【详解】（1）， 因为在点处与轴相切，且，所以，解得.经检验符合题意；（2）由（1）知，令，得 （i）当时，函数在区间上单调递增，所以， 所以函数在区间上无零点；（ii）当时，若，则，若，则.函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，.当，即时，函数在区间上有一个零点；当时，即当时，函数在区间上无零点；（iii）当时，函数在区间上单调递减，所以， 所以函数 在区间上无零点.综上：当或时，函数在区间上无零点；当时，函数在区间上有一个零点. （3）或.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
