1、2015年北京市通州区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1（5分）已知集合A=1，2，3，4，B=1，3，m，且BA，那么实数m的值是（） A 2 B 4 C 2或4 D 1或3【考点】： 集合的包含关系判断及应用【专题】： 集合【分析】： 由BA，mA，且m1，m3，即可得出a【解析】： 解：集合A=1，2，3，4，B=1，3，m，且BA，mA，且m1，m3，m=2或m=4故选C【点评】： 本题考查了集合之间的关系、元素与集合之间的关系，属于基础题2（5分）已知ab0，那么下列不等式成立的是（） A 2b
2、2a0 B b2a20 C |b|a| D 2a2b【考点】： 不等式比较大小【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 由ab0，可得2a2b，a2b2，|b|a|，2a2b，即可判断出【解析】： 解：ab0，2a2b，a2b2，|b|a|，2a2b，因此A，B，C不正确，D正确；故选：D【点评】： 本题考查了不等式的性质、指数函数的单调性，考查了推理能力，属于基础题3（5分）已知某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出的结果是（） A B 0 C D 1【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=5时，满足条件i
3、4，退出循环，输出a的值为0【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得a=2，i=1不满足条件i4，a=，i=2不满足条件i4，a=1，i=3不满足条件i4，a=，i=4不满足条件i4，a=0，i=5满足条件i4，退出循环，输出a的值为0故选：B【点评】： 本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查4（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分别是A1B1，BB1的中点，过M，N，C1的截面截正方体所得的几何体，如图所示，那么该几何体的侧视图是（） A B C D 【考点】： 简单空间图形的三视图【专题】： 空间位置关系与距离
4、【分析】： 根据题意，得出该几何体的侧视图是什么，从而得出正确的结论【解析】： 解：根据题意，得；该几何体的侧视图是点A、D、D1、A1在平面BCC1B1上的投影，且NC1是被挡住的线段，应为虚线；符合条件的是B选项故选：B【点评】： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目5（5分）设a=1，b=2log3m，那么“a=b”是“”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 集合【分析】： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解析】： 解：若a
5、=b，则2log3m=1，解得，当时，b=2log3m=2log3=log3=1，此时a=b，即“a=b”是“”的充要条件，故选：C【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数的运算法则是解决本题的关键6（5分）将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（） A B C D 【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 根据三角函数的图象变换关系进行求解即可【解析】： 解：将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin（），由=+k，即+2k，kZ，当k=0时，函数
6、的对称轴为，故选：D【点评】： 本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算，求出函数的解析式是解决本题的关键7（5分）在正方形ABCD中，已知AB=3，E是CD中点，那么等于（） A B 6 C D 【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： 将，带入，然后根据AB=3，E是CD中点，从而进行数量积的运算即可【解析】： 解：如图，=故选C【点评】： 考查向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，以及数量积的运算，数量积的计算公式8（5分）李江同学在某商场运动品专柜买一件运动服，获100元的代金券一张，此代金券可以用于购买指定的价格分别为18元、30
7、元、39元的3款运动袜，规定代金券必须一次性用完，且剩余额不能兑换成现金李江同学不想再添现金，使代金券的利用率超过95%，不同的选择方式的种数是（） A 3 B 4 C 5 D 6【考点】： 进行简单的合情推理【专题】： 综合题；推理和证明【分析】： 设3款运动袜分别为x，y，z个，则18x+30y+39z95，可得x=0，y=2，z=1或x=1，y=0，z=2或x=2，y=2，z=0，即可得出结论【解析】： 解：设3款运动袜分别为x，y，z个，则18x+30y+39z95，x=0，y=2，z=1或x=1，y=0，z=2或x=2，y=2，z=0，故不同的选择方式的种数是3种，故选：A【点评】：
8、 本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上9（5分）复数z=（2i）2在复平面内对应的点在第四象限【考点】： 复数的代数表示法及其几何意义【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z所对应点的坐标得答案【解析】： 解：z=（2i）2 =44i+i2=44i1=34i复数z=（2i）2在复平面内对应的点的坐标为（3，4），在第四象限故答案为：四【点评】： 本题考查了复数的代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题10（5分）某同学7次考试的分数的茎叶图如图
9、所示，这名同学7次考试的分数的平均数是86，那么m=3【考点】： 茎叶图【专题】： 概率与统计【分析】： 根据平均数的公式，列出关于m的方程解之即可【解析】： 解：由题意，这名同学7次考试的分数是78，84，85，85，88，89，90+m，它们的平均数是=86，解得m=3；故答案为：3【点评】： 本题考查了调查数据中的平均数公式的运用；属于基础题11（5分）圆心为（1，2），且与y轴相切的圆的方程是（x+1）2+（y2）2=1【考点】： 圆的切线方程【专题】： 计算题；直线与圆【分析】： 要求圆的方程，注意找出圆心和半径，而圆心已知，故要求圆的半径，方法为：由所求圆与y轴相切，得到圆心的横坐
10、标的绝对值为圆的半径，进而由圆心C的坐标和求出的半径写出圆的标准方程即可【解析】： 解：圆心C的坐标为（1，2），且所求圆与y轴相切，圆的半径r=|1|=1，则所求圆的方程为（x+1）2+（y2）2=1故答案为：（x+1）2+（y2）2=1【点评】： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，其中根据题意得到圆心横坐标的绝对值为圆的半径是解本题的关键12（5分）已知双曲线C：=1（a0，b0）的两个焦点分别为，离心率为，那么双曲线C的渐近线方程是；若点P为双曲线C右支上一点，则|PF1|PF2|=8【考点】：
11、双曲线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 由题意和离心率公式求出a、c的值，由a、b、c的关系求出b，即可求出双曲线C的渐近线方程，再由双曲线的定义求出|PF1|PF2|的值【解析】： 解：因为两个焦点分别为，离心率为，所以c=，a=4，则b2=c2a2=4，即b=2，所以双曲线C的渐近线方程；由双曲线的定义得，|PF1|PF2|=2a=8，故答案为：；8【点评】： 本题考查双曲线的简单性质，以及双曲线的定义，属于中档题13（5分）如图，阴影部分（包括边界）为平面区域D，若点P（x，y）在区域D内，则z=x+2y的最小值是1；x，y满足的约束条件是【考点】： 简单线性规
12、划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 化目标函数为直线方程斜截式，由可行域得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得目标函数的最小值，直接由可行域得到约束条件【解析】： 解：如图，化目标函数z=x+2y为，由图可知，当直线过A（1，0）时直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1由图可知，满足可行域的约束条件为故答案为：1，【点评】： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14（5分）已知函数f（x）=在区间（，2上至少有2个零点，那么实数a的取值范围是【考点】： 函数的零点与方程根的关系【专题】： 计算题；函数的性质及应用【分析】： 由f（x）=ax3最多有1个零
13、点知ax2+3x+1=0一定有解，从而分一次方程与二次方程讨论解的个数，再结合ax3=0求零点的个数即可【解析】： 解：函数f（x）=在区间（，2上至少有2个零点，且f（x）=ax3最多有1个零点，故ax2+3x+1=0一定有解，若a=0，则f（x）=仅有一个零点，故不成立；故=94a0，故a，又x0时，f（x）=ax2+3x+1，且f（0）=10，故a0，故当0a时，f（x）=ax2+3x+1在（，0上有两个零点，当a=时，f（x）=ax2+3x+1在（，0上有个零点，此时x3=0，解得，x=；综上所述，实数a的取值范围是，故答案为：【点评】： 本题考查了分段函数及函数的零点与方程的根的关系
14、应用，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（13分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=5，ABC的面积是（）求b的值；（）求sinA的值【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： （）利用三角形的面积求出a，利用余弦定理，即可求b的值；（）直接利用正弦定理求sinA的值【解析】： （本小题13分）解：（）因为ABC的面积是，c=5，所以=即=所以a=3（5分）由余弦定理b2=a2+c22accosB，得所以b=7（9分）（）由正弦定理所以（13分）【点评】： 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查
15、计算能力16（13分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求为此，某市公交公司在160名乘客中进行随机抽样，共抽取20人进行调查反馈，将他们的候车时间作为样本分成4组，如表所示（单位：分钟）：（）估计这160名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（）若从上表第1组、第2组的6人中选2人进行问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率【考点】： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】： 概率与统计【分析】： （）由随机抽样的样本和总体的比例关系易得答案；（）由数表可得第1组有2人，分别记为A1，A2，第2组有4人，分别记为B1，B2，
16、B3，B4，列举可得6人中选2人共有15种情况，其中抽到的2人恰好来自不同组的有8种情况，由概率公式可得【解析】： 解：（）由随机抽样的特点和题中数表可得估计这160名乘客中候车时间不少于10分钟的人数是112人；（）由数表可得第1组有2人，分别记为A1，A2，第2组有4人，分别记为B1，B2，B3，B4，6人中选2人共有（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）共15种情况，且每种情况出现的可能性相
17、同，其中抽到的2人恰好来自不同组的有（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）共8种情况抽到的2人恰好来自不同组的概率是P=【点评】： 本题考查列举法计算基本事件数以及事件发生的概率，属基础题17（13分）已知数列an是公差不为0的等差数列，a1=2，且a1，a3，a11成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若，求数列bn的前n项和Tn【考点】： 等差数列与等比数列的综合；数列的求和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （）设公差为d，通过a1，a3，a11成等比数列，求出d，然后求解an（）求出，通过分
18、项求和，求解数列bn的前n项和即可【解析】： （本小题13分）解：（）因为数列an是等差数列，设公差为d，所以a3=a1+2d=2+2da11=2+10d（2分）因为a1，a3，a11成等比数列，所以（3分）即（2+2d）2=2（2+10d）所以d23d=0所以d=0，或d=3（4分）因为d0，所以d=3（5分）所以an=2+3（n1）=3n1（6分）（） 因为，所以（7分）所以Tn=b1+b2+bn=（10分）=所以数列bn的前n项和（13分）【点评】： 本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的求和的方法，考查分析问题解决问题的能力18（14分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA
19、1底面ABCD，底面ABCD是梯形，ABDC，BAD=90，（）求证：CC1BD； （）求证：平面BCC1平面BDC1；（）在线段C1D1上是否存在一点P，使AP平面BDC1若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由【考点】： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （）证明CC1底面ABCD，然后证明CC1BD（）证明BDBC推出BD平面BCC1利用平面与平面垂直的判定定理证明平面BCC1平面BDC1（）取线段C1D1的中点为点P，连结AP，证明四边形ABC1P是平行四边形得到APBC1证明AP平面BDC1说明在线段C1D
20、1上存在一点P，使AP平面BDC1，且点P是C1D1的中点【解析】： （本小题14分）证明：（）因为AA1底面ABCD，所以CC1底面ABCD，因为BD底面ABCD，所以CC1BD（4分）（）因为底面ABCD是梯形，ABDC，BAD=90，所以不妨设AB=1，所以AD=1，CD=2所以，所以在BCD中，BD2+BC2=CD2所以CBD=90所以BDBC又因为CC1BD所以BD平面BCC1因为BD平面BDC1，所以平面BCC1平面BDC1（9分）（）取线段C1D1的中点为点P，连结AP，所以C1PCD，且因为ABDC，所以C1PAB，且C1P=AB所以四边形ABC1P是平行四边形所以APBC1又
21、因为BC1平面BDC1，AP平面BDC1，所以AP平面BDC1所以在线段C1D1上存在一点P，使AP平面BDC1，且点P是C1D1的中点（14分）【点评】： 本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判断方法，直线与平面垂直的性质定理的应用，考查逻辑推理能力19（13分）已知椭圆C：=1（ab0）的左焦点是，上顶点是B，且|BF|=2过点P（0，1）的直线l与椭圆C交于M，N两点（）求椭圆C的方程；（）若，求直线l的方程【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （）求出，a=2推出b2，即可求解椭圆C的标准方程（）若直线
22、l的斜率不存在，显然不成立，若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程是y=kx+1与由椭圆联立方程组，设点M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理以及，推出x1=3x2，求出k，即可求解直线l的方程【解析】： （本小题13分）解：（）因为椭圆C的左焦点是，且|B1F1|=2，所以，a=2所以由a2=b2+c2，得b2=2所以椭圆C的标准方程是（4分）（）若直线l的斜率不存在，显然不成立（5分）若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，所以直线l的方程是y=kx+1联立方程组消去y，得 （1+2k2）x2+4kx2=0（6分）设点M（x1，y1），N（x2，y2），所以，（
23、7分）因为，所以x1=3x2（10分）所以，所以所以所以（12分）所以直线l的方程是x2y+2=0，或x+2y2=0（13分）【点评】： 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力20（14分）已知函数f（x）=xlnx1，g（x）=mx+mf（x）（mR）（）求曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（）求g（x）的单调区间；（）当1m3时，x（1，e）求证：g（x）（1+ln3）【考点】： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】： 导数的综合应用【分析】： （）求出函数的导数，切点坐标，
24、斜率，即可求解切线方程（）求出，通过当m0时，当m0时，分别求解函数的单调区间即可（）通过（），当1m3，x（1，e），g（x）的导数和函数值变化情况，求出函数的极值，证明即可【解析】： （本题14分）解：（）因为f（x）=xlnx1，所以所以f（1）=0，f（1）=0所以切线方程是y=0（3分）（）因为f（x）=xlnx1，所以所以（4分）当m0时，g（x）0所以g（x）的单调递增区间是（0，+），无单减递增区间（5分）当m0时，令g（x）0，得；令g（x）0，得（7分）所以g（x）的单调递增区间是，单减递增区间是（8分）（）由（）知，当1m3，x（1，e），g（x）的导数和函数值变化情况如下图所以g（x）的最小值是（10分）令所以因为1m3，所以lnm0所以h（m）0所以h（m）在（1，3）上单调递减（12分）所以所以当1m3，x（1，e）时，综上所述，当1m3，x（1，e）时，（14分）【点评】： 本题考查函数的导数的综合应用，切线方程的求法，极值以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力
