1、2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定课后篇巩固提升1.已知m,n是两条不同直线,是三个不同平面,下面命题正确的是()A.若,则B.若m,n,则mnC.若m,n,则mnD.若m,m,则解析选项A中,与平行或相交,故A不正确;选项C中,m,nm与n平行、相交或异面,故C不正确;选项D中,m,m与平行或相交,故D不正确.故选B.答案B2.如图所示,定点A和B都在平面内,定点P,PB,C是平面内异于A和B的动点,且PCAC,则ABC为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定解析易证AC面PBC,所以ACBC.答案B3.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是
2、BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有()A.AH平面EFHB.AG平面EFHC.HF平面AEFD.HG平面AEF解析原题图中ADDF,ABBE,所以折起后AHFH,AHEH,FHEH=H,所以AH平面EFH.答案A4.如果PA,PB,PC两两垂直,那么点P在平面ABC内的射影一定是ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心解析如图,由PA,PB,PC两两互相垂直,可得AP平面PBC,BP平面PAC,CP平面PAB,所以BCOA,ABOC,ACOB,所以点O是ABC三条高的交点,
3、即点O是ABC的垂心,故选D.答案D5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA平面ABCD,且PA=6,则PC与平面ABCD所成角的大小为()A.30B.45C.60D.90解析如图,连接AC.PA平面ABCD,PCA就是PC与平面ABCD所成的角.AC=2,PA=6,tanPCA=PAAC=62=3.PCA=60.答案C6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和AB上的点,若B1MN是直角,则C1MN=.解析B1C1平面ABB1A1,B1C1MN.又MNB1M,B1C1B1M=B1,MN平面C1B1M.又C1M平面C1B1M,MNC1M,
4、C1MN=90.答案907.如图,在三棱柱ABC-ABC中,底面ABC是正三角形,AA底面ABC,且AB=1,AA=2,则直线BC与平面ABBA所成角的正弦值为.解析如图所示,取AB的中点D,连接CD,BD.底面ABC是正三角形,CDAB.AA底面ABC,AACD.又AAAB=A,CD侧面ABBA,故CBD是直线BC与平面ABBA所成的角.等边三角形ABC的边长为1,CD=32,在RtBBC中,BC=BB2+BC2=5,故直线BC与平面ABBA所成的角的正弦值为CDBC=1510.答案15108.如图所示,PA平面ABC,ABC中BCAC,则图中直角三角形的个数为.解析PA平面ABCBC平面A
5、BCPABCACBCPAAC=ABC平面PACBCPC,直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC.答案49.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1CB1D1.(注:填上你认为正确的一种即可,不必考虑所有可能的情形)解析要找底面四边形ABCD所满足的条件,使A1CB1D1,可从结论A1CB1D1入手.A1CB1D1,BDB1D1,A1CBD.又AA1BD,而AA1A1C=A1,AA1平面A1AC,A1C平面A1AC,BD平面A1AC,BDAC.此题答案不唯一.答案BDAC(答案不唯一)10.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是
6、.(填序号)BD平面CB1D1;AC1BD;AC1平面CB1D1;异面直线AD与CB1所成的角为60.解析由于BDB1D1,BD平面CB1D1,B1D1平面CB1D1,则BD平面CB1D1,所以正确;因为BDAC,BDCC1,ACCC1=C,所以BD平面ACC1,所以AC1BD.所以正确;可以证明AC1B1D1,AC1B1C,所以AC1平面CB1D1,所以正确;由于ADBC,则BCB1=45是异面直线AD与CB1所成的角,所以错误.答案11.如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于四边形ABCD所在的平面,过点A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.求证:AESB,AGS
7、D.证明因为SA平面ABCD,所以SABC.又BCAB,SAAB=A,所以BC平面SAB.又AE平面SAB,所以BCAE.因为SC平面AEFG,所以SCAE.又BCSC=C,所以AE平面SBC,所以AESB.同理可证AGSD.12.如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)证明直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1平面ABC,BB1AD,AB=AC,D是BC的中点,ADBC.又BCBB1=B,AD平面BCC1B1.(2)解连接C1D.由(1)AD平面BCC1B1,则AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成的角.在RtAC1D中,AD=32,AC1=2,sinAC1D=ADAC1=64,即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为64.
