1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知数列an是等差数列,a1=2,其公差d0.若a5是a3和a8的等比中项,则S18=()A.398B.388C.189D.199解析由题意可得=a3a8,公差d0,a1=2,(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d),代入数据可得(2+4d)2=(2+2d)(2+7d),解得d=1,S18=18a1+d=189.故选C.答案C2.已知数列bn是等比数列,b9是1和3的等差中项,则b2b16=()A.16B.8C.4D.2解析因为b9是1和3的等差中项,所以2b9=1+3,即b9=2.由等比数列bn的性质可得
2、b2b16=4.答案C3.已知在递减的等差数列an中,a3=-1,a1,a4,-a6成等比数列,若Sn为数列an的前n项和,则S7的值为()A.-14B.-9C.-5D.-1解析设数列an的公差为d,由已知得a3=a1+2d=-1,=a1(-a6),即(a1+3d)2=a1(-a1-5d),且an为递减数列,则d=-1,a1=1.故S7=7a1+d=7-21=-14.答案A4.等差数列an中,S160,S170,即a1+a16=a8+a90,S170,即a1+a17=2a90,所以a90,所以等差数列an为递减数列,且前8项为正数,从第9项以后为负数,所以当其前n项和取得最大值时,n=8.故选
3、A.答案A5.(2020全国高考,文6)记Sn为等比数列an的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1解析设等比数列an的公比为q.a5-a3=12,a6-a4=24,=q=2.又a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,a1=1.an=a1qn-1=2n-1,Sn=2n-1.=2-=2-21-n.故选B.答案B6.已知数列an满足an+an+1=(nN*),a2=2,Sn是数列an的前n项和,则S21为()A.5B.C.D.解析an+an+1=,a2=2,an=S21=11+102=.故选B.答案B7.我国古代
4、数学巨著九章算术中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上面的已知条件,可求得该女子第4天所织布的尺数为()A.B.C.D.解析设该女子第n天织的布为an尺,且数列an为公比q=2的等比数列,由题意可得=5,解得a1=.所以该女子第4天所织布的尺数为a4=a1q3=.故选D.答案D8.在各项都为正数且不相等的等比数列an中,Sn为其前n项和,若ama2m+2=642(mN*),且am=8,则S2m=()A.127B.255C.511D
5、.1 023解析设等比数列an的公比为q,则a1qm-1a1q2m+1=(a1q6)2.因为等比数列an的各项都为正数且不相等,所以m-1+2m+1=12,解得m=4,故a4=8.又因为=642,所以a7=64,q3=8,解得q=2,所以a1=1.故S2m=S8=255.答案B9.已知在各项均为正数的数列an中,a1=1,a2=2,2(n2),bn=,记数列bn的前n项和为Sn,若Sn=3,则n的值是()A.99B.33C.48D.9解析2(n2),数列是首项为1,公差为22-1=3的等差数列,=1+3(n-1)=3n-2.又an0,an=,bn=(),故数列bn的前n项和Sn=()+()+(
6、)=(-1).由Sn=-1)=3,解得n=33.故选B.答案B10.已知数列an满足a1+3a2+32a3+3n-1an=(nN*),则an=()A.B.C.D.解析a1+3a2+32a3+3n-1an=,a1+3a2+32a3+3n-2an-1=(n2),-,得3n-1an=(n2),an=(n2).由得a1=,经验证也满足上式,an=(nN*).故选C.答案C11.对于正项数列an,定义:Gn=为数列an的“匀称值”.已知数列an的“匀称值”为Gn=n+2,则该数列中的a10等于()A.B.C.D.解析Gn=,Gn=n+2,nGn=n(n+2)=a1+2a2+3a3+nan,10(10+2
7、)=a1+2a2+3a3+10a10;9(9+2)=a1+2a2+3a3+9a9,两式相减得10a10=21,a10=.故选D.答案D12.在数列an中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(nN*),则S100=()A.0B.1 300C.2 600D.2 602解析由an+2-an=1+(-1)n(nN*),当n=1时,得a3-a1=0,即a3=a1;当n=2时,得a4-a2=2.由此可得,当n为奇数时,an=a1;当n为偶数时,an=2+a2=n.所以S100=a1+a2+a100=(a1+a3+a99)+(a2+a4+a100)=50a1+(2+4+100)=50+=2
8、600.答案C二、填空题(每小题5分,共20分)13.若数列an的前n项和Sn=n2-8n,n=1,2,3,则满足an0的n的最小值为.解析依题意,当n=1时,a1=S1=-7,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-9.而a1=21-9=-7.综上,an=2n-9.由2n-90,得n,又因为nN*.故满足an0的n的最小值为5.答案514.已知在公差不为零的正项等差数列an中,Sn为其前n项和,lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列.若a5=10,则S5=.解析设an的公差为d,则d0.由lga1,lga2,lga4成等差数列,得2lga2=lga1+lga4,则=a1a4,即(a1+
9、d)2=a1(a1+3d),d2=a1d.因为d0,所以d=a1,a5=5a1=10,解得d=a1=2.故S5=5a1+d=30.答案3015.若等差数列an的前n项和为Sn,且a2=0,S5=10,数列bn满足b1=0,且bn+1=an+1+bn,则数列bn的通项公式为.解析设an的公差为d,则解得于是an=-2+2(n-1)=2n-4.因此an+1=2n-2.于是bn+1-bn=2n-2,bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)=0+0+2+(2n-4)=n2-3n+2,故数列bn的通项公式为bn=n2-3n+2.答案bn=n2-3n+216.(2020全国高考,文1
10、6)数列an满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=.解析当n为偶数时,有an+2+an=3n-1,则(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92,因为前16项和为540,所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448.当n为奇数时,有an+2-an=3n-1,由累加法得an+2-a1=3(1+3+5+n)-n2+n+,所以an+2=n2+n+a1,所以a1+12+1+a1+32+3+a1+52+5+a1+72+7+a1+92+9+a1+112+11+a1+132+13+a1=448,解得a1=
11、7.答案7三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知数列an是等差数列,前n项和为Sn,且满足a2+a7=23,S7=10a3.(1)求数列an的通项公式;(2)若a2,ak,ak+5(kN*)构成等比数列,求k的值.解(1)设等差数列an的公差是d.根据题意有解得所以数列an的通项公式为an=3n-2.(2)由(1)得a2=4,ak=3k-2,ak+5=3(k+5)-2,由于a2,ak,ak+5(kN*)构成等比数列,所以(3k-2)2=43(k+5)-2,整理得3k2-8k-16=0,解得k=4.故k=4.18.(本小题满分12分)已知各项均为正数的等比数列an的前n项
12、和为Sn,且2a2=S2+,a3=2.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=log2an+3,数列的前n项和为Tn,求满足Tn的正整数n的最小值.解(1)由题意知,2a2=S2+,2a2=a1+a2+,得a2=a1+.设等比数列an的公比为q,a3=2,化简得q2-4q+4=0,解得q=2,an=a3qn-3=22n-3=2n-2.(2)由(1)知,bn=log2an+3=log22n-2+3=n-2+3=n+1,Tn=+.令Tn,得,解得n4,满足Tn的正整数n的最小值是5.19.(本小题满分12分)已知数列an满足(nN*),且a3=,a2=3a5.(1)求an的通项公式;(2)若bn
13、=3anan+1(nN*),求数列bn的前n项和Sn.解(1)由(nN*)可知数列为等差数列.由已知得=5,设其公差为d,则+2d=5,+d=,解得=1,d=2,于是=1+2(n-1)=2n-1,整理得an=.(2)由(1)得bn=3anan+1=,所以Sn=+.20.(本小题满分12分)已知数列an的前n项和Sn=2an-2n.(1)求a1,a2.(2)设cn=an+1-2an,证明数列cn是等比数列.(3)求数列的前n项和Tn.(1)解a1=S1,2a1=S1+2,a1=S1=2.由2an=Sn+2n,知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,an+1=Sn+2n+1,a
14、2=S1+22=2+22=6.(2)证明由题设和式知an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n,即cn=2n,=2(常数).c1=21=2,cn是首项为2,公比为2的等比数列.(3)解cn=2n,.数列的前n项和Tn=+Tn=+,两式相减,得Tn=+.Tn=.21.(本小题满分12分)已知数列an的前n项和Sn=an+n2+n-2(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=且数列bn的前n项和为Tn,求T2n.解(1)由于Sn=an+n2+n-2,所以当n2时,Sn-1=an-1+(n-1)2+(n-1)-2,两式相减得an=an-an-1+n+1,于
15、是an-1=n+1,所以an=n+2.(2)由(1)得bn=所以T2n=b1+b2+b3+b2n=(b1+b3+b2n-1)+(b2+b4+b2n).因为b1+b3+b2n-1=+,b2+b4+b2n=+,于是T2n=.22.(本小题满分12分)已知数列an满足3(n+1)an=nan+1(nN*),且a1=3.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an的前n项和;(3)若,求证:+1.(1)解因为3(n+1)an=nan+1,所以(nN*),则=3=3=3,=3,累乘可得=3n-1n.又因为a1=3,所以an=n3n(nN*).(2)解设数列an的前n项和为Sn,则Sn=13+232+333+(n-1)3n-1+n3n,3Sn=132+233+334+(n-1)3n+n3n+1,-,可得-2Sn=3+32+33+3n-n3n+1=-n3n+1=(3n-1)-n3n+1=3n+1-.所以Sn=3n+1+.(3)证明因为,所以=,则+=1-.因为nN*,所以0,即1-1,于是+1.
