1、模块复习课第3课时不等式课后篇巩固提升基础巩固1.若a1b0,则下列不等式正确的是()A.a2lgC.D.(a-b)2(a-b)3解析由a1b0,知lna0,lnb0,则必有.答案C2.若集合A=x|x2+x0,B=,则AB等于()A.B.(-1,0)C.(-,0)D.(-1,0)解析由已知得A=x|x2+x0=x|-1x0的解集是()A.(-4,2)B.(-2,4)C.(-,-4)(2,+)D.(-,-2)(4,+)解析依题意,f(x)是二次函数,其图象是抛物线,开口向上,对称轴的方程为x=-1,方程ax2+bx+c=0的一个根是2,另一个根是-4,因此f(x)=a(x+4)(x-2)(a0
2、),于是f(x)0即为(x+4)(x-2)0,解得x2或x1,则的最小值等于()A.3B.2C.1D.2解析-1+1.因为a1,所以-10,于是-1+12+1=3,当且仅当-1=,即a=4时,取最小值3.答案A6.设点(x,y)满足不等式组则使得目标函数z=6x+5y的值最大的点(x,y)是()A.(1,2)B.(1,3)C.(2,3)D.(2,4)解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.因为目标函数z=6x+5y对应直线l的斜率为-,所以当直线l过点A时,z取得最大值.由解得即A(2,3).答案C7.若对任意的x1,a恒成立,则a的最大值是.解析由于x1,所以x-10,于是=x-1+22
3、+2=6,当且仅当x=3时,取等号.故的最小值为6,因此a6,a的最大值是6.答案68.已知变量x,y满足约束条件若y=kx-1,则k的取值范围为.解析作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.由y=kx-1可得k=,则k的几何意义是可行域内的点P(x,y)与定点E(0,-1)的连线的斜率.由图可知当点P在点B处时,k取得最小值;当点P在点C处时,k取得最大值.由解得B(3,2);由解得C(2,4).由于kBE=1,kCE=,所以k.答案9.某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:万元)与日产量x(单位:吨)满足函数关系式C=3+x,每日的销售额R(单位:万元)与日产量x满足函数关系式S=已知
4、每日的利润L=S-C,且当x=2时,L=3.(1)求k的值;(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大?并求出最大值.解(1)由题意可得L=因为当x=2时,L=3,所以3=22+2,所以k=18.(2)当0x0,b0,且a+b=2.(1)求的最小值及其取得最小值时a,b的值;(2)求证:a2+b22.(1)解因为a0,b0,且a+b=2,所以(a+b)=(a+b)=5+5+2=9,当且仅当a=,b=时,等号成立.故的最小值为9,此时a=,b=.(2)证明因为a0,b0,且a+b=2,所以2(a2+b2)(a+b)2=4,故a2+b22,当且仅当a=b=1时,取等号.能力提升1.不等式(x
5、+5)(3-2x)6的解集是()A.B.C.D.解析(解法一)取x=1检验,满足,排除A;取x=4检验,不满足,排除B,C.故选D.(解法二)原不等式可化为2x2+7x-90,即(x-1)(2x+9)0,解得-x1.故选D.答案D2.关于x的不等式x2-4ax+3a20)的解集为(x1,x2),则x1+x2+的最小值是()A.B.C.D.解析依题意可得x1+x2=4a,x1x2=3a2,所以x1+x2+=4a+=4a+2,当且仅当4a=时,取等号.故x1+x2+的最小值为.答案C3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0,则-x0).令3x=t0,所以t2-4t-3,解得1t3,即13x3,
6、解得0x1.答案B4.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M,N两点,且M,N关于直线x-y=0对称,动点P(a,b)在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动,则=的取值范围是()A.2,+)B.(-,-2C.-2,2D.(-,-22,+)解析由题意知直线y=kx+1与直线x-y=0垂直,所以k=-1,即直线y=-x+1.又因为圆心C在直线x-y=0上,所以可求得m=-1.所以不等式组为其表示的平面区域如图阴影部分所示,=的几何意义是点Q(1,2)与平面区域内点P(a,b)连线的斜率.由图知,kOQ=2,kAQ=-2,故的取值范围是(-,-22,+).答案D5.若不等式1+
7、0对一切x0恒成立,则实数k的取值范围是.解析由于x0,所以不等式可化为kx+.令g(x)=x+,则g(x)=x+1+-12-1=3,当且仅当x+1=,即x=1时,g(x)取最小值3.故实数k的取值范围是k3.答案k36.已知一元二次不等式ax2+2x+b0的解集为,且ab,则的最小值为.解析由已知可得方程ax2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是=4-4ab=0,则ab=1.所以=(a-b)+2=2,当且仅当a-b=时,取等号.故的最小值为2.答案27.已知不等式x(ax-1)a(x-1),其中aR.(1)当a=时,解不等式;(2)若不等式在R上恒成立,求实数a的取值范围.解(1)当a=时
8、,不等式即为x(x-1),即x2-3x+10,解得x或xa(x-1)可化为ax2-(a+1)x+a0,显然当a=0时,不合题意;因此应有解得a1.故a的取值范围是(1,+).8.某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园的人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2,人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示).(1)若设休闲区的长A1B1和宽B1C1的比值为x(x1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;(2)要使公园ABCD所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?解(1)设休闲区的宽为am,则其长为axm.由a2x=4000,得a=.所以S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)+160=80+4160(x1).(2)S(x)802+4160=1600+4160=5760,当且仅当2,即x=时,取等号,此时a=40,ax=100.故要使公园ABCD所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100m,宽40m.
