1、第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.若Am4=18Cm3,则m等于()A.9B.8C.7D.6解析由Am4=m(m-1)(m-2)(m-3)=18m(m-1)(m-2)321,得m-3=3,m=6.答案D2.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A.10B.11C.12D.15解析分类讨论:分有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同,可得N=C42+C41+1=11.答案B3.若
2、实数a=2-2,则a10-2C101a9+22C102a8-+210等于()A.32B.-32C.1 024D.512解析由二项式定理,得a10-2C101a9+22C102a8-+210=C100(-2)0a10+C101(-2)1a9+C102(-2)2a8+C1010(-2)10=(a-2)10=(-2)10=25=32.答案A4.分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,且每户居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有()A.A43种B.A33A31种C.C42A33种D.C41C31A33种解析先将4名水暖工选出2人分成一组,然后将三组水暖工分配到3户不
3、同的居民家,故有C42A33种.答案C5.已知集合M=1,-2,3,N=-4,5,6,-7,从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中,位于第一、第二象限不同点的个数是()A.18B.16C.14D.10解析第一象限的不同点有N1=22+22=8(个),第二象限的不同点有N2=12+22=6(个),故N=N1+N2=14(个).故答案为C.答案C6.将A,B,C,D四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,若每个盒子中至少放一个球,且A,B不能放入同一个盒子中,则不同的放法有()A.15种B.18种C.30种D.36种解析先把A,B放入不同盒中,有32=6(种)放法,再放C,D,若
4、C,D在同一盒中,有1种放法;若C,D在不同盒中,则有22=4(种)放法.故共有6(1+4)=30(种)放法.故答案为C.答案C7.为支持地震灾区的灾后重建工作,某公司决定分四天每天各运送一批物资到A,B,C,D,E五个受灾地点.由于A地距离该公司较近,安排在第一天或最后一天送达;B,C两地相邻,安排在同一天上午、下午分别送达(B在上午、C在下午与B在下午、C在上午为不同的运送顺序),且运往这两地的物资算作一批;D,E两地可随意安排在其余两天送达.则安排这四天运送物资到五个受灾地点的不同运送顺序的种数为()A.72B.18C.36D.24解析可分三步完成.第1步,安排运送物资到受灾地点A,有C
5、21种方法;第2步,在余下的3天中任选1天,安排运送物资到受灾地点B,C,有C31A22种方法;第3步,在余下的2天中安排运送物资到受灾地点D,E,有A22种方法.由分步乘法计数原理得,不同的运送顺序共有C21(C31A22)A22=24(种).答案D8.将数字1,2,3,4,5,6排成一列,记第i个数为ai(i=1,2,6),若a11,a33,a55,a1a3a5,则不同的排列方法种数为()A.30B.18C.36D.48解析因为a1,a3,a5的大小顺序已定,且a11,a33,a55,所以a1可取2,3,4,若a1=2或3,则a3可取4,5,当a3=4时,a5=6,当a3=5时,a5=6;
6、若a1=4,则a3=5,a5=6.而其他的三个数字可以任意排列,因而不同的排列方法共有(22+1)A33=30(种).答案A9.12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人,后排6人),若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是()A.6C82B.720C82C.30C82D.20C82解析先从后排中抽出2人有C82种方法,再插空.由题意知先在4人形成的5个空当中插入1人,有5种方法,余下的1人要插入前排5人形成的6个空当中,有6种方法,即为30种方法.故共有30C82种调整方法.答案C10.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a5x
7、5,那么a0+a2+a4a1+a3的值为()A.-122121B.-6160C.-244241D.-1解析令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,再令x=-1可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35.两式相加除以2求得a0+a2+a4=122,两式相减除以2可得a1+a3+a5=-121.又由条件可知a5=-1,故a0+a2+a4a1+a3=-6160.答案B11.形如45 132的数称为“波浪数”,即十位数字、千位数字均比与它们各自相邻的数字大,则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为()A.20B.18C.16D.11解析由题意可知,十位和千位数字只能是
8、4,5或3,5,若十位和千位排4,5,则其他位置任意排1,2,3,这样的数有A22A33=12(个);若十位和千位排5,3,这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻,1,2在其余位置上任意排列,这样的数有A22A22=4(个).综上,共有16个.故答案为C.答案C12.若自然数n使得竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“可连数”.例如:32是“可连数”,因32+33+34不产生进位现象;23不是“可连数”,因23+24+25产生进位现象.则小于1 000的“可连数”的个数为()A.27B.36C.39D.48解析根据题意,要构造小于1000的“可连数”,个位上的数字的
9、最大值只能为2,即个位数字只能在0,1,2中取.十位数字只能在0,1,2,3中取;百位数字只能在1,2,3中取.当“可连数”为一位数时,有C31=3(个);当“可连数”为两位数时,个位上的数字有0,1,2三种取法,十位上的数字有1,2,3三种取法,即有C31C31=9(个);当“可连数”为三位数时,有C31C41C31=36(个);故共有3+9+36=48(个).答案D二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是.(用数字作答)解析可分类讨论.第1类,每级台阶只站一人,则有A7
10、3种站法;第2类,若有一级台阶有2人,另一级有1人,则有C31A72种站法,因此共有不同的站法种数是A73+C31A72=336.答案33614.若x+a3x8的展开式中x4的系数为7,则实数a=.解析x+a3x8的通项为C8rx8-rar(x-13)r=C8rarx8-rx-r3=C8rarx8-43r,令8-43r=4,解得r=3.C83a3=7,得a=12.答案1215.6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)解析6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法:先排列好除甲、乙两人外的4人,有A44种方法,再把甲、乙两人插入4个人的5个空当,有A52种方法,所
11、以共有A44A52=480(种).答案48016.(1+sin x)6的二项展开式中,二项式系数最大的一项的值为52,则x在0,2内的值为.解析由题意,得T4=C63sin3x=20sin3x=52,sinx=12.x0,2,x=6或x=56.答案6或56三、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)有6个除颜色外完全相同的球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个,现从中取出4个球排成一列,共有多少种不同的排法?解分三类.(1)若取1个黑球,和另外3个球排成一列,不同的排法种数为A44=24;(2)若取2个黑球,和从另外3个球中选的2个排成一列
12、,2个黑球是相同的,所以不同的排法种数为C32C42A22=36;(3)若取3个黑球,和从另外3个球中选的1个排成一列,不同的排法种数为C31C41=12.综上,不同的排法种数为24+36+12=72.18.(12分)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球.(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?解(1)将取出的4个球分成三类:取4个红球,没有白球,有C44种;取3个红球1个白球,有C43C61种;取2个红球2个白球,有C42C62种,故有C44+C43C61+C42C62=115
13、(种).(2)设取x个红球,y个白球,则x+y=5,2x+y7,0x4,0y6,故x=2,y=3或x=3,y=2或x=4,y=1.因此,符合题意的取法种数有C42C63+C43C62+C44C61=186(种).19.(12分)已知x+12xn展开式中的前三项的系数成等差数列.(1)求n的值;(2)求展开式中系数最大的项.解(1)由题意,得Cn0+14Cn2=212Cn1,即n2-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去).故n=8.(2)设第r+1项的系数最大,则12rC8r12r+1C8r+1,12rC8r12r-1C8r-1,即18-r12(r+1),12r19-r.解得2r3.rN*,r
14、=2或r=3.系数最大的项为T3=7x5,T4=7x72.20.(12分)设1+12xm=a0+a1x+a2x2+a3x3+amxm,若a0,a1,a2成等差数列.(1)求1+12xm展开式的中间项;(2)求1+12xm展开式中所有含x的奇次幂的系数和.解(1)依题意a0=1,a1=m2,a2=Cm2122.由2a1=a0+a2,求得m=8或m=1(应舍去),所以1+12xm展开式的中间项是第五项,T5=C8412x4=358x4.(2)因为1+12xm=a0+a1x+a2x2+amxm,即1+12x8=a0+a1x+a2x2+a8x8.令x=1,则a0+a1+a2+a3+a8=328,令x=
15、-1,则a0-a1+a2-a3+a8=128,所以a1+a3+a5+a7=38-129=20516,所以展开式中所有含x的奇次幂的系数和为20516.21.(12分)把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”,“再生数”中最大的数叫做最大再生数,最小的数叫做最小再生数.(1)求1,2,3,4的再生数的个数,以及其中的最大再生数和最小再生数;(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数.解(1)1,2,3,4的再生数的个数为A44=24,其中最大再生数为4321,最小再生数为1234.(2)需要考查5个数中相同数的个数.若5个数各不相同,有A55=120(个);若有2个数相同,则有A55A2
16、2=60(个);若有3个数相同,则有A55A33=20(个);若有4个数相同,则有A55A44=5(个);若5个数全相同,则有1个.22.(12分)已知m,n是正整数,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为7.(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m,n,求出此时x3的系数;(2)利用上述结果,求f(0.003)的近似值;(精确到0.01)(3)已知(1+2x)8展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,求ba.解(1)根据题意得Cm1+Cn1=7,即m+n=7,f(x)中的x2的系数为Cm2+Cn2=m(m-1)2+n(n-1)2=m2+n2-m-n2.将变形为n=7-m代入上式得x2的系数为m2-7m+21=m-722+354,故当m=3或m=4时,x2的系数的最小值为9.当m=3,n=4时,x3的系数为C33+C43=5;当m=4,n=3时,x3的系数为C43+C33=5.(2)f(0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3C40+C410.003+C30+C310.0032.02.(3)由题意可得a=C84=70,再根据C8k2kC8k+12k+1,C8k2kC8k-12k-1,即k5,k6,求得k=5或6,此时,b=728,ba=1285.
