1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题必备知识自主学习导思1.怎样求点到直线、点到平面的距离？2怎样求平行直线、平行平面间的距离？3怎样求异面直线所成的角、线面角及平面的夹角？1.空间距离的向量求法(1)点到直线的距离如图，已知直线l的单位方向向量为u，a，则点P到直线l的距离为：PQ(2)点到平面的距离如图，已知平面的法向量为n，则平面外一点P到平面的距离为：PQ点线距、点面距、面面距之间有什么关系？提示：若平面，则两平面，的距离可转化为平面内某条直线到平面的距离，也可
2、转化为平面内某点到平面的距离2空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角设l1与l2的方向向量分别为a，b，则cos |cos a，b|直线l与平面所成的角设l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin |cos a，n|平面与平面的夹角设平面，的法向量分别为n1，n2，则cos |cos n1，n2|直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？提示：设n为平面的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面所成的角为，则1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)平面外一点A到平面的距离，就是点A与平面内一点B所成向量的长度()(2)直线l平面
3、，则直线l到平面的距离就是直线l上的点到平面的距离()(3)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()(4)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos n1，n2.()提示：(1).点A与其在平面内的射影点的距离是点A到平面的距离(2).直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等(3).两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等或互补(4).二面角的平面角的余弦值与二面角的两半平面的法向量夹角的余弦值相等或互为相反数2(教材二次开发：例题改编)已知两平面的法向量分别为u(0，1，0)，v(0，1，1)，则两平面的夹角为()A45 B
4、135C45或135 D90【解析】选C.因为cos u，v，所以u，v45，所以二面角为45或18045135.3已知平面的一个法向量为n(2，2，1)，点A(1，3，0)在平面内，则点P(2，1，4)到平面的距离为()A10 B3 C D【解析】选D.点P到平面的距离d.关键能力合作学习类型一用空间向量求距离(数学运算，直观想象)1若三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且满足PAPBPC1，则点P到平面ABC的距离是()A B C D2如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDABCD，AB1，BC2，AA3，则点B到直线AC的距离为_3如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且
5、PD1，E，F分别为AB，BC的中点则点D到平面PEF的距离为_；直线AC到平面PEF的距离为_【解析】1.选D.分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).可以求得平面ABC的一个法向量为n(1，1，1)，则d.2因为AB1，BC2，AA3，所以A(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以直线AC的方向向量(1，2，3).又(0，2，0)，所以在上的投影长为.所以点B到直线AC的距离d.答案：3建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，
6、E，F，(1，0，1)，(0，0，1).设平面PEF的法向量为n(x，y，z)，则即解得xy，令xy2，得n(2，2，3)，因此，点D到平面PEF的距离为.因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC，又EF平面PEF，所以AC平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离为.答案：1用向量法求点线距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量；(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长；(4)利用勾股定理求解另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化2用向量法求点面距离的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系；(2)求点坐标：写出(求出)
7、相关点的坐标；(3)求向量：求出相关向量的坐标(，内两个不共线向量，平面的法向量n)；(4)求距离d.类型二向量法求异面直线所成的角(数学运算，直观想象)【典例】如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值四步内容理解题意条件：直三棱柱A1B1C1ABC ABAC，ABAC2，A1A4点D是BC的中点结论：异面直线A1B与C1D所成角的余弦值思路探求利用直三棱柱特征建立坐标系，由长度得到点和向量的坐标，应用公式计算书写表达以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Ax
8、yz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以A1B(2，0，4)，C1D(1，1，4).因为cos A1B，C1D，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.题后反思当几何体适合建立空间直角坐标系时，一般建系，写点，写向量，代入公式计算，关键点是正确写出各点坐标求异面直线所成角的方法运用向量法常有两种途径：基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基底的方法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别作为a，b的方向向量，则cos ，根据条件可以把与用基底表示，再进行计算. 坐标法： 根据题
9、目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A B C D【解析】选A.设CB1，则A(2，0，0)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)，B(0，0，1)，(0，2，1)，(2，2，1).cos .类型三向量法求线面角、平面的夹角(数学运算，直观想象)角度1向量法求线面角【典例】已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值【思路导引】建立坐标
10、系，求平面AMC1的法向量，计算法向量与向量的夹角的余弦，再转化为线面角的正弦【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，M，C1，B(0，a，0)，故，.设平面AMC1的法向量为n(x，y，z).则所以令y2，则z，x0.所以n.又BC1，所以cos ，n.设BC1与平面AMC1所成的角为，则sin |cos ，n|.角度2向量法求平面的夹角【典例】如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值【思路导引】(1)
11、证AC，BD都与OO1垂直；(2)建立空间直角坐标系，计算平面OC1B1的法向量，求平面BDD1B1的法向量与平面OC1B1的法向量夹角的余弦值【解析】(1)因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1AC，DD1BD，又CC1DD1OO1，所以OO1AC，OO1BD，因为ACBDO，所以O1O底面ABCD.(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，ACBD，又O1O底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直如图，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系设棱长为2，因为CBA60，所以OB，OC1，所以O(0，0，
12、0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，平面BDD1B1的一个法向量为n(0，1，0)，设平面OC1B1的法向量为m(x，y，z)，则m，m，所以x2z0，y2z0，取z，则x2，y2，所以m(2，2，)，所以cos m，n.由图形可知二面角C1OB1D的大小为锐角，所以二面角C1OB1D的余弦值为.本例(2)条件不变，求二面角BA1CD的余弦值【解析】如图建立空间直角坐标系设棱长为2，则A1(0，1，2)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(，0，0).所以(，1，0)，(0，2，2)，(，1，0).设平面A1BC的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即取x1，则y1z13，故n1(，
13、3，3).设平面A1CD的法向量为n2(x2，y2，z2)，则则取x2，则y2z23，故n2(，3，3).所以cos n1，n2.由图形可知二面角BA1CD的大小为钝角，所以二面角BA1CD的余弦值为.1向量法求线面角的基本步骤(1)分析图形关系，建立空间直角坐标系(2)求出直线的方向向量a和平面的法向量n.(3)求出夹角a，n(4)判断直线和平面所成的角和a，n的关系，求出角.2利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小用坐标法解题的步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系(2)求法向量：在建立的坐标系下求两
14、个平面的法向量n1，n2.(3)计算：求n1与n2所成锐角，cos .(4)定值：若二面角为锐角，则为；若二面角为钝角，则为.1在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成角是()A30 B45 C60 D90【解析】选A.建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，0)，(1，1)，平面ABCD的一个法向量为n(0，0，1)，所以cos ，n，所以，n120，所以PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60，所以PC与平面ABCD所成角为30.2如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA平面ABCD，PAADAC.点F为PC的中点，则
15、二面角CBFD的正切值为()A B C D【解析】选D.如图，连接OF，因为四边形ABCD为菱形，所以O为AC的中点，ACBD.因为F为PC的中点，所以OFPA.因为PA平面ABCD，所以OF平面ABCD.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，设PAADAC1，则BD，所以B，F，C，D，结合图形可知，且为平面BDF的一个法向量由，可求得平面BCF的一个法向量n.所以cos n，sin n，所以tan n，.备选类型高考中的立体几何(直观想象，数学运算，逻辑推理)【典例】(2020全国卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，
16、AEAD.ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PODO.(1)证明：PA平面PBC；(2)求二面角BPCE的余弦值【思路导引】(1)要证明PA平面PBC，只需证明PAPB，PAPC即可；(2)以O为坐标原点，的方向为y轴正方向建立空间直角坐标系，分别算出平面PCB的法向量为n，平面PCE的法向量为m，利用公式cos m，n计算即可得到答案【解析】(1)设DOa，由题设可得POa，AOa，ABa，PAPBPCa.因此PA2PB2AB2，从而PAPB.又PA2PC2AC2，从而PAPC.所以PA平面PBC.(2)以O为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Ox
17、yz.由题设可得E(0，1，0)，A(0，1，0)，C，P.所以，.设m(x，y，z)是平面PCE的法向量，则，即，可取m.由(1)知是平面PCB的一个法向量，记n，则cos n，m.所以二面角BPCE的余弦值为.高考中的立体几何问题解法高考中的立体几何问题通常需要证明平行、垂直关系，求异面直线所成的角、直线与平面所成的角或者两个平面的夹角，一般平行、垂直关系使用几何的方法推理证明，各种角的计算则运用向量的方法，一般是在几何图形中建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量的坐标，通过向量的夹角获得待求的各种角如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF2FD，AFD
18、90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEFEFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值【解析】(1)由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)过点D作DGEF，垂足为G，由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则|DF|2，|DG|，可得A(1，4，0)，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0，).由已知，ABEF，所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，
19、故ABCD，CDEF，由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60，从而可得C(2，0，).所以(1，0，)，(0，4，0)，(3，4，)，(4，0，0).设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3，0，).设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)，则cos n，m.由图形知二面角EBCA的大小为钝角，故二面角EBCA的余弦值为.课堂检测素养达标1已知平面的一个法向量为n1，平面的一个法向量为n2(1，1，1)，则平面与所成的角为()A30 B45 C60 D90【解析】选D.因为n1n20，所以，所以与所成的角为90.2设直线l与
20、平面相交，且l的方向向量为a，的法向量为n，若a，n，则l与所成的角为()A B C D【解析】选C.如图所示，直线l与平面所成的角.3在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为()A BC D或【解析】选D.因为，所以这个二面角的余弦值为或.4(2020中山高二检测)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为_【解析】以D为坐标原点，建系如图，则B(1，2，0)，C1(0，2，2)，A(1，0，0)，E(0，2，1)，所以(1，0，2)，(1，2，1).则cos ，所以异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为.答案：关闭Word文档返回原板块
