1、模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:xR,x1,则命题p为()A.xR,x1B.xR,x1C.xR,x-1D.xR,xb+1是2a2b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若ab+1,则2a2b+12b,故充分性成立;若2a2b,如a=2,b=1,则a=b+1,故必要性不成立.故ab+1是2a2b的充分不必要条件.故选A.5.下列选项中,p是q的必要不充分条件的是()A.p:a+cb+d,q:ab且cdB.p:a1,b1,q:f(x)=ax-b(a
2、0且a1)的图像不过第二象限C.p:x=1,q:x2=xD.p:a1,q:f(x)=logax(a0且a1)在(0,+)上为增函数答案A解析由于ab,cda+cb+d,而a+cb+d却不一定推出ab,且cd.故A中p是q的必要不充分条件.B中,当a1,b1时,函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax-b不过第二象限时,有a1,b1.故B中p是q的充分不必要条件.C中,因为x=1时有x2=x,但x2=x时不一定有x=1,故C中p是q的充分不必要条件.D中p是q的充要条件.6.若a1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是()A.(,+)B.(,2)C.(1,)D.(1,2)答案C解析
3、由题意得e2=1+.因为a1,所以11+2.所以1e0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=1答案D解析双曲线=1(a0,b0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,解得所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.9.若函数f(x)=x2+(aR),则下列结论正确的是()A.aR,f(x)在(0,+)上是增函数B.aR,f(x)在(0,+)上是减函数C.aR,f(x)是偶函数D.aR,f(x)是奇函数答案C解析f(x)=
4、2x-,故只有当a0时,f(x)在(0,+)上才是增函数,因此A,B不对;当a=0时,f(x)=x2是偶函数,因此C对;D不对.10.已知椭圆C:=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.答案A解析以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d=a,整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以,从而e=.故选A.11.函数f(x)=2x2-ln|x|的部分图像大致为()答案A解析容易得f(x)定义域为(-,0
5、)(0,+),关于原点对称,又f(x)=2x2-ln|x|=f(-x),所以函数f(x)是偶函数,所以f(x)的图像关于y轴对称,故排除B.又f(x)+,故排除D.当x0时,f(x)=2x2-lnx,f(x)=4x-,令f(x)=0,解得x=.故f(x)在0,上是减少的,f(x)在,+上是增加的.所以f(x)f.又f=-ln0,故排除C.故选A.12.已知点P是椭圆=1上一点,点A,B是椭圆上两个动点,满足=3,则直线AB的斜率为()A.-B.-C.D.答案A解析设A(x1,y1),B(x2,y2),=3,点P,=3,x1+x2=-1,y1+y2=-.把A,B代入椭圆方程,得两式相减,得3(x
6、1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,=-.x1+x2=-1,y1+y2=-,kAB=-=-.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.双曲线=1(a0)的一条渐近线方程为y=x,则a=.答案5解析由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为y=x.由题意得,解得a=5.14.若命题“存在实数x1,2,使得ex+x2+3-m0”是假命题,则实数m的取值范围为.答案(-,e+4解析命题“存在实数x1,2,使得ex+x2+3-m0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案
7、y=x解析抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+y2+=y1+y2+p=4|OF|=4=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=x.16.已知定义在R上的函数f(x),其导数为f(x),满足f(x)2,f(2)=4,则不等式xf(x-1)2x2-2x的解集为.答案(-,0)(3,+)解析构造函数g(x)=f(x)-2x,则g(x)=f(x)-20,即函数g(x)在R上是增加的,且g(2)=f(2)-22=0.当
8、x2x2-2x可得f(x-1)2(x-1),即f(x-1)-2(x-1)0,即g(x-1)0=g(2),可得x-12,解得x3,此时x0时,由xf(x-1)2x2-2x可得f(x-1)2(x-1),即f(x-1)-2(x-1)0,即g(x-1)0=g(2),可得x-12,解得x3,此时x3.综上所述,不等式xf(x-1)2x2-2x的解集为(-,0)(3,+).三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)17.(本小题满分10分)已知p:x2-6x+50,q:x2-2x+1-m20(m0).(1)若m=2,且pq为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q充分不必要条件,求实数
9、m的取值范围.解(1)由x2-6x+50,得1x5,p:1x5.当m=2时,q:-1x3.若pq为真,p,q同时为真命题,则即1x3.(2)由x2-2x+1-m20,得q:1-mx1+m.p是q充分不必要条件,1,51-m,1+m,解得m4.实数m的取值范围为m4.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2-ax+b,f(1)=2,f(1)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程.解(1)f(x)=2ax-a,由已知得解得f(x)=x2-2x+.(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.19.(本小题满分12分)设命题
10、p:函数f(x)=lg的定义域为R;命题q:不等式3x-9xa对一切正实数x均成立.(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;(2)如果命题“pq”为真命题,且“pq”为假命题,求实数a的取值范围.解(1)若命题p是真命题,则有:当a=0时,定义域为x|x2.因此,实数a的取值范围为(2,+).(2)若命题q是真命题,则不等式3x-9x1,y=t-t2.当t=1时,ymax=0,a0.若命题“pq”为真命题,且“pq”为假命题,则p,q一真一假.若p真q假,则此时a无解.若p假q真,则得0a2.综上,实数a的取值范围为0a2.20.(本小题满分12分)已知椭圆=1(ab0)的左、右焦点分别为F
11、1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程;(2)若C,D分别是椭圆的左、右端点,动点M满足MDCD,连接CM,交椭圆于点P.证明:为定值.(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点.若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(1)解a=2,b=c,a2=b2+c2,b2=2,椭圆方程为=1.(2)证明C(-2,0),D(2,0),设M(2,y0),P(x1,y1),则=(x1,y1),=(2,y0).直线CM:y=(x+2),即y=x+y0,代入椭圆方程x2+2y2=4,得x2+
12、x+-4=0.x1=-,x1=-,y1=,=-=4(定值).(3)解设存在Q(m,0)满足条件,则MQDP.=(m-2,-y0),则由=0得-(m-2)-=0,从而得m=0,存在Q(0,0)满足条件.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a0,故f(x)在(0,+)单调递增.若a0;当x时,f(x)0.故f(x)在单调递增,在单调递减.(2)由(1)知,当a0;当x(1,+)时,g(x)0时,g(x)0.从而当ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(
13、2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.求直线FP的斜率;求椭圆的方程.解(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0e0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.由得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN=,所以FQN的面积为|FQ|QN|=,同理FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.
