1、广东省深圳市外国语学校2020届高三数学第一次测试试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1集合，则= （ ）A BC D2.若复数,则的虚部为 （ ）A. B C D. 3.已知向量a(4，x)，b(4,4)，若ab，则x的值为 ()A0 B4 C4 D44.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ）A. B. C. D. 5.下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ） A B C D6各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 7.设函数,“是偶函数”是“的图像关于原点
2、对称”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) A.2018年 B. 2019年 C.2020年 D.2021年9.将函数的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的最大值是 B. 函数的最小正周期为C.
3、函数在区间上单调递增 D. 函数的图像关于直线对称10.如图，平面四边形ABCD中，E,F是AD,BD中点，AB=AD=CD=2，将沿对角线BD折起至，使平面，则四面体中，下列结论不正确的是（ ）A. 平面 B.异面直线CD与所成的角为 C.异面直线EF与所成的角为 D.直线与平面BCD所成的角为 11.已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 12已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正实数的取值范围为ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13函数的值域为_. 14若则15定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这
4、个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，这个数列的前项和_. 16.已知三棱锥PABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥PABC的内切球的体积为_三、解答题（本大题共 6小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和18.(本题满分12分）在中，角A、B、C所对的边分别为，且满足。 （1） 求角A的大小；（2）若，求周长的最大值。19. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，（）求证：
5、数列是等差数列；（）求20. （本小题满分12分）在ABC中，点D在线段AC上，且,（I）求；（II）求BC和AC的长21.（本小题满分12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1（）若D为线段AC的中点，求证：AC平面PDO；（）求三棱锥P-ABC体积的最大值；（）若，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值22.（本小题满分12分）函数.（）讨论函数的单调性；（）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围文科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678
6、9101112答案BDCACDB BCCCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13. 14. 15. 16.三、解答题（本大题共 6小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和解：设数列的公差为，则， 由成等比数列得，即，整理得， 解得或 当时，当时，18.(本题满分12分）在中，角A、B、C所对的边分别为，且满足。 （1） 求角A的大小；（2）若，求周长的最大值。18解：（1）依正弦定理可将化为 又因为在中，所以有., （2）因为的周长，所以当最大时，的周长最大.解法一： （当且仅当时等号成
7、立）所以周长的最大值1219. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，（）求证：数列是等差数列；（）求19.（）证明：因为当时，所以所以,2分因为所以，所以， 3分 所以 4分所以是以为首项，以1为公差的等差数列 6分（）由（）可得，所以.8分所以 10分所以1 12分20. （本小题满分12分）在ABC中，点D在线段AC上，且,（I）求；（II）求BC和AC的长20.（）、.4分（）、设则在中，,即. .6分在中，.8分由得 .10分由、解得，所以BC=3，AC=3.12分21.（本小题满分12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=
8、1（）若D为线段AC的中点，求证：AC平面PDO；（）求三棱锥P-ABC体积的最大值；（）若，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值21解法一：（）在中，因为为的中点，所以又垂直于圆所在的平面，所以因为，所以平面.（）因为点在圆上，所以当时，到AB的距离最大，且最大值为1.又，所以面积的最大值为又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为（）在中，所以,同理，所以在三棱锥中，将侧面BCP绕PB旋转至平面，使之与平面共面，如图所示。当共线时，取得最小值又因为，所以垂直平分，即为中点从而，亦即的最小值为.解法二：（）（）同解法一.（）在中，所以，同理所以，所以.在三棱锥中，将侧面BCP绕PB旋转至平面
9、，使之与平面共面，如图所示。当共线时，取得最小值.所以在中，由余弦定理得：从而所以的最小值为.22.（本小题满分12分）函数.（）讨论函数的单调性；（）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围22.【解析】（I）， （i）当时，令,得，令,得，函数f(x)在上单调递增，上单调递减； （2分）（ii）当时，令，得, （3分）令,得，令,得，函数f(x)在和上单调递增，上单调递减； （4分）（iii）当时，函数f(x)在上单调递增；（5分）（iv）当时， （6分）令,得，令,得， （7分）函数f(x)在和上单调递增，上单调递减； （8分） 综上所述：当时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数f(x)的单调递增区间为；当时，函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为 （9分）（II）当时，由，得，又，所以，要使方程在区间上有唯一实数解，只需有唯一实数解，（10分）令，由得；得，在区间上是增函数，在区间上是减函数. （11分）， ，故 或 （12分）
