1、第2课时函数的平均变化率学 习 任 务核 心 素 养1理解斜率的含义及平均变化率的概念(重点)2掌握判断函数单调性的充要条件(重点、难点)通过利用函数f(x)的平均变化证明f(x)在I上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养.科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线请根据曲线图思考下列问题：问题(1)在区间6,17对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一定大于零吗？(2)如果在区间2,10对应的曲线上任取不同两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，一定大于零吗？知识点一直线的斜率(1)定义：给定平面直角坐标
2、系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1x2时，称为直线AB的斜率；(若记xx2x1，相应的yy2y1，当x0时，斜率记为)，当x1x2时，称直线AB的斜率不存在(2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于 x轴的倾斜程度1(1)过函数图像上两点A(1,3)，B(2,3)的斜率_.(2)过点M(1，m)，N(m1,4)的直线的斜率为1，则m的值为_(1)0(2)1(1)0.(2)由直线的斜率公式得1，即1，解得m1知识点二平均变化率与函数单调性1平均变化率与函数单调性若I是函数yf(x)的定义域的子集，对任意x1，x2I且x1x2，记y1f(x1)，y2f(x2)，则：(1)yf
3、(x)在I上是增函数的充要条件是0在I上恒成立；(2)yf(x)在I上是减函数的充要条件是0在I上恒成立当x1x2时，称为函数yf(x)在区间x1，x2(x1x2时)或x2，x1(x1x2时)上的平均变化率通常称x为自变量的改变量，y为因变量的改变量(1)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若xx2x1，则yf(x2)f(x1)；若xx1x2，则yf(x1)f(x2)(2)平均变化率可正可负，也可为零但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等比如，f(x)x2在区间2,2上的平均变化率为0，但f(x)x2在2,2上的图像先下降后上升，值域是0,4(3)平
4、均变化率的几何意义是函数yf(x)图像上的两点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)连线所在直线的斜率(4)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”只有当xx2x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”2平均变化率的物理意义(1)把位移s看成时间t的函数ss(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段t1，t2上的平均速度，即.(2)把速度v看成时间t的函数vv(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段t1，t2上的平均加速度，即.2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)
5、(1)一次函数yaxb(a0)从x1到x2的平均变化率为a.()(2)函数yf(x)的平均变化率的几何意义是过函数yf(x)图像上两点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)所在直线的斜率()(3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率()答案(1)(2)(3)提示(1)一次函数yaxb(a0)从x1到x2的平均变化率为a.(2)由平均变化率的几何意义可知表示过函数yf(x)图像上两点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)所在直线的斜率(3)过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有x1x2.3.如图，函数yf(x)在1,3上的平均变化率为()A
6、1B1C2D2B14.(对接教材P99例4)一次函数y2x3在R上是_函数(填“增”或“减”)减任取x1，x2R且x1x2.y12x13，y22x23，20，故y2x3在R上是减函数 类型1平均变化率的计算【例1】一正方形铁板在0 时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t 时，边长变为10(1at)cm，a为常数试求铁板面积对温度的平均膨胀率思路点拨由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率解设温度的增量为t，则铁板面积S的增量为：S1021a(tt)2102(1at)2200(aa2t)t100a2(t)2，所以平均膨胀率200(aa2t)100a2t.求平均变化率的3
7、个步骤(1)求出或者设出自变量的改变量(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值1路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率解(1)如图所示，设此人从C点运动到B点的距离为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CDBE，则，即，所以y0.25x.(2)84 m/min1.4 m/s，则y关于t的函数关系式为y0.251.4t0.35t，所以10 s内平均
8、变化率0.35(m/s)，即此人离开灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0.35 m/s. 类型2利用平均变化率判断或证明函数的单调性【例2】若函数yf(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)0，求证：g在I上为减函数思路点拨由yf(x)在I上为增函数的充要条件可得0，再证0即可证明任取x1，x2I且x2x1，则xx2x10，yf(x2)f(x1)，函数yf(x)是其定义域的子集I上的增函数，y0，0，gg(x2)g(x1).又f(x)0，f(x1)f(x2)0且f(x1)f(x2)0，g0，0，故g在I上为减函数利用函数的平均变化率判断或证明单调性分哪4个步骤？提示(1)取值：
9、任取x1，x2D，且x1x2.(2)计算：求f(x2)f(x1)，.(3)判符号：根据x1，x2的范围判断的符号，确定函数的单调性(4)下结论：若0，则f(x)在I 上是增函数；若0)的对称轴与区间m，n可能存在几种位置关系？试画草图给予说明提示2求二次函数f(x)ax2bxc(a0)在区间m，n上的最值，应考虑哪些因素？提示若求二次函数f(x)在m，n上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x与区间m，n的关系【例3】已知函数f(x)x2ax1，求f(x)在0,1上的最大值思路点拨解因为函数f(x)x2ax1的图像开口向上，其对称轴为x，当，即a1时，f(x)的最大值为f(1)2a；当，即a1时，
10、f(x)的最大值为f(0)11在题设条件不变的情况下，求f(x)在0,1上的最小值解(1)当0，即a0时，f(x)在0,1上单调递增，f(x)的最小值为f(0)1(2)当1，即a2时，f(x)在0,1上单调递减，f(x)的最小值为f(1)2a.(3)当01，即0a2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)的最小值为f1.2在本例条件不变的情况下，若a1，求f(x)在t，t1(tR)上的最小值解当a1时，f(x)x2x1，其图像的对称轴为x，当t时，f(x)在其上是增函数，f(x)的最小值为f(t)t2t1；当t1，即t时，f(x)在其上是减函数，f(x)的最小值为f(t1)t2t1；
11、当tt1，即t时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)的最小值为f.二次函数在闭区间上的最值设f(x)ax2bxc(a0)，则二次函数f(x)在闭区间m，n上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系mn，即(，m)mn，即(m，n)mn，即(n，)图像最值f(x)maxf(n)，f(x)minf(m)f(x)maxmaxf(n)，f(m)，f(x)minff(x)maxf(m)，f(x)minf(n)1函数f(x)在区间2，1上满足0，且图像关于y轴对称，则函数f(x)在区间1,2上()A单调递增，且有最小值f(1)B单调递增，且有最大值f(1)C单调递减，且有最小
12、值f(2)D单调递减，且有最大值f(2)C函数f(x)在区间2，1上满足0，函数f(x)在区间2，1上是增函数其图像关于y轴对称，函数f(x)在区间1,2上是减函数，f(x)minf(2)，f(x)maxf(1)故选C2函数f(x)从1到4的平均变化率为()ABC1D3Ay1，x413，则平均变化率为.故选A3已知函数f(x)2x24的图像上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则等于()A4B4xC42xD42(x)2Cyf(1x)f(1)2(1x)24(24)2(x)24x，2x4，故选C4李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单
13、位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是()B由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意5汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3内的平均速度分别是1，2，3，则三者的大小关系为_1231kOA，2kAB，3kBC，由题图得kOAkABkBC，123.回顾本节知识，自我完成以下问题：1平均变化率中对x，y，你是怎样理解的？提示(1)函数f(x)应在x1，x2处有定义；(2)x2在x1附近，即xx2x10，但x可正可负；(3)注意变量的对应，若xx2x1，则yf(x2)f(x1)，而不是yf(x1)f(x2)；(4)平均变化率可正可负，也可为零但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等2判断函数yf(x)在I上单调性的充要条件是什么？提示(1)yf(x)在I上单调递增的充要条件是0恒成立；(2)yf(x)在I上单调递减的充要条件是0恒成立
