1、26 对数与对数函数知识梳理1对数 2对数函数的概念、图象与性质 3反函数概念：当一个函数的自变量和函数值成一一对应时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数4对数函数与指数函数的关系指数函数 yax(a0 且 a1)与对数函数 ylogax(a0 且 a1)互为反函数(1)对数函数的自变量 x 恰好是指数函数的函数值 y，而对数函数的函数值 y 恰好是指数函数的自变量 x，即二者的定义域和值域互换(2)由两函数的图象关于直线 yx 对称，易知两函数的单调性、奇偶性一致特别提示：底数 a 对函数 ylogax(a0
2、且 a1)的图象的影响(1)底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a1 时，对数函数的图象“上升”；当 0a1 还是0a1 时，若 logaxlogbx，则 a0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1a，1.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修 A1P72 例 8)设 alog36，blog510，clog714，则()AcbaBbcaCacbDabc答案 D解析 解法一：由对数运算法则得 alog361log32，b1log52，c1log72，由对数函数图象得 log32log52log72，所以 abc，故选 D.解法二：由对数运算法
3、则得 a1log32，b1log52，c1log72，log27log25log230，1log27 1log25 1log23，即log72log52bc.故选 D.(2)(必修 A1P75T11)(lg 5)2lg 2lg 50_.答案 1解析 原式(lg 5)2lg 2lg(252)(lg 5)22lg 5lg 2(lg 2)2(lg 5lg 2)21.3小题热身(1)(2017衡阳八中一模)f(x)13xx0，log3xx0，则 ff19()A2 B3 C9 D9答案 C解析 f(x)13xx0，log3xx0，f19 log3192，ff19 f(2)1329.故选 C.(2)(20
4、18郑州模拟)已知lg alg b0(a0且a1，b0且b1)，则 f(x)ax 与 g(x)logbx 的图象可能是()答案 B解析 lg alg b0，a1b，又 g(x)logbxlog1bxlogax(x0)，函数 f(x)与 g(x)的单调性相同，故选 B.题型 1 对数的运算 典例1 (2017郑州二检)若正数 a，b 满足 2log2a3log3blog6(ab)，则1a1b的值为()A36 B72 C108 D.172用转化法答案 C解析 设 2log2a3log3blog6(ab)k，可得 a2k2，b3k3，ab6k，所以1a1babab 6k2k23k3108.故选 C.
5、典例2 (2018镇江模拟)已知 log189a,18b5，求 log3645.将指数式统一为对数式解 因为 log189a,18b5，所以 log185b，于是log3645log1845log1836log18951log182 ab1log18189ab2a.方法技巧对数运算的一般思路1对于指数式、对数式混合型条件的化简求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解见典例 2.2在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算对
6、于连等式，注意设等式为 k，见典例 1.冲关针对训练1已知 3a4b 12，则1a1b()A.12B1 C2 D.2答案 C解析 因为 3a4b 12，所以 alog3 12，blog4 12，1alog 123，1blog 124，所以1a1blog 123log 124log 12122.故选 C.2(log32log92)(log43log83)_.答案 54解析 原式log3212log32 12log2313log23 32log3256log23325654.题型 2 对数函数的图象及应用 典例 (2018长春模拟)当 0 x12时，4xlogax，则 a 的取值范围是()A.0，
7、22B.22，1C(1，2)D(2，2)用数形结合法，排除法答案 B解析 解法一：构造函数 f(x)4x 和 g(x)logax，当 a1 时不满足条件，当 0a1 时，画出两个函数在0，12 上的图象，可知 f12 g12，即 2loga12，a 22，则 a 的取值范围为22，1.故选 B.解法二：0 x12，14x2，logax4x1，0a1，排除选项 C、D；取 a12，x12，则有 412 2，log12121，显然 4xlogax 不成立，排除选项 A.故选 B.条件探究 若典例变为：若不等式 x2logax0 对 x0，12 恒成立，求实数 a 的取值范围解 由 x2logax0
8、 得 x2logax，设 f1(x)x2，f2(x)logax，要使 x0，12 时，不等式 x21 时，显然不成立；当 0a1 时，如图所示，要使 x2logax 在 x0，12 上恒成立，需 f112 f212，所以有122loga12，解得 a 116，所以 116a0且a1)的值域为y|y1，则函数 yloga|x|的图象大致是()答案 B解析 由于 ya|x|的值域为y|y1，a1，则 ylogax 在(0，)上是增函数，又函数 yloga|x|的图象关于 y 轴对称因此 yloga|x|的图象应大致为选项 B.故选 B.2(2017青岛统考)已知函数g(x)|xk|x1|，若对任意
9、的 x1，x2R，都有 f(x1)g(x2)成立，则实数 k 的取值范围为_答案 k34或 k54解 析 对 任 意 的 x1，x2 R，都 有 f(x1)g(x2)成 立，即f(x)maxg(x)min，由的图象(如图)可知，当 x12时，f(x)取最大值，f(x)max14；因为 g(x)|xk|x1|xk(x1)|k1|，所以 g(x)min|k1|，所以|k1|14，解得 k34或 k54，故答案为 k34或 k54.题型 3 对数函数的性质及应用角度 1 比较对数值的大小 典例 设 alog3，blog2 3，clog3 2，则()AabcBacbCbacDbca借助中间值 1 比较
10、 a，b 的大小，用作商法比较 b，c 大小答案 A解析 因为 alog3log331，blog2 3b，又bc12log2312log32(log23)21，b0，所以 bc，故 abc.故选 A.角度 2 解对数不等式 典例 (2017江西名校联考)设函数 f(x)log12(x21)83x21，则不等式 f(log2x)f(log12x)2 的解集为()A(0,2 B.12，2C2，)D.0，12 2，)利用函数的奇偶性，单调性结合换元法解不等式答案 B解析 f(x)的定义域为 R，f(x)log12(x21)83x21f(x)，f(x)为 R 上的偶函数易知其在区间0，)上单调递减，令
11、 tlog2x，则 log12 xt，则不等式 f(log2x)f(log12 x)2 可化为 f(t)f(t)2，即 2f(t)2，所以 f(t)1.又f(1)log12 2 8311，f(x)在0，)上单调递减，在 R上为偶函数，1t1，即 log2x1,1，x12，2，故选 B.角度 3 对数函数性质的综合应用 典例 已知函数 f(x)loga(3ax)(1)当 x0,2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由根据复合函数单调性求解解(1
12、)a0 且 a1，设 t(x)3ax，则 t(x)3ax 为减函数，x0,2时，t(x)的最小值为 32a，当 x0,2时，f(x)恒有意义，即 x0,2时，3ax0 恒成立32a0，a0 且 a1，a(0,1)1，32.(2)t(x)3ax，a0，函数 t(x)为减函数f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat 为增函数，a1，x1,2时，t(x)最小值为 32a，f(x)最大值为 f(1)loga(3a)，32a0，loga3a1，即alogab 的不等式，借助 ylogax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1 与 0ab 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形
13、式4对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上，即求形如ylogaf(x)的复合函数的单调区间，其一般步骤为：求定义域，即满足 f(x)0 的 x 的取值集合；将复合函数分解成基本初等函数 ylogau 及 uf(x)；分别确定这两个函数的单调区间；若这两个函数同增或同减，则 ylogaf(x)为增函数，若一增一减，则 ylogaf(x)为减函数，即“同增异减”冲关针对训练1(2018河南模拟)设 a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则 a，b，c 的大小关系是()AabcBcbaCcabDbc1，blog0.40.5(0,1)，clog80.4bc.故选 B.2(2017南昌
14、调研)a0，a1，函数 f(x)loga|ax2x|在3,4上是增函数，则 a 的取值范围是()A.16a1 Ba1C.18a1答案 A解析 a0，a1，令 g(x)|ax2x|(x0，x1a)作出其图象如右：函数 f(x)loga|ax2x|在3,4上是增函数，若 a1，则 12a4，a1或1a1，解得 a1；若 0a4，解得16a14.故选 A.题型 4 指数函数、对数函数的综合应用 典例1 (2018西安模拟)设方程 log2x12x0，log12 x12x0 的根分别为 x1，x2，则()Ax1x21 B0 x1x21C1x1x21x20，于是有 log2x112 x112 x2log
15、12x2，得 x11x2，所以 0 x1x20，函数 yff(x)1 的零点个数为_考虑定义域，应用分类讨论法答案 2解析 方法技巧解指数函数与对数函数综合题的方法1首先考虑函数的定义域见典例 2.2注意联想数形结合思想见典例 1.冲关针对训练1(2018天津模拟)已知 f(x)ln(x21)，g(x)12xm，若x10,3，x21,2，使得 f(x1)g(x2)，则实数 m 的取值范围为()A.，14B.14，C.12，D.，12答案 B解析 f(x)ln(x21)在0,3上单调递增，g(x)12xm 在1,2上单调递减，f(x)minf(0)0，g(x)ming(2)14m.又x10,3，
16、x21,2，使得 f(x1)g(x2)，f(x)ming(x)min，即14m0，m14.故选 B.2设点 P 在曲线 y12ex 上，点 Q 在曲线 yln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A1ln 2 B.2(1ln 2)C1ln 2 D.2(1ln 2)答案 B解析 根据函数 y12ex和函数 yln 2x的图象可知两函数图象关于直线 yx 对称，故要求|PQ|的最小值可转化为求与直线 yx 平行且与两曲线相切的直线间的距离，设曲线 y12ex上的切点为 A(m，n)，则 A到直线 yx的距离的 2倍即所求最小值因为 y12ex 12ex，则12em1，所以 mln 2，切点 A 的坐
17、标为(ln 2,1)，切点到直线 yx的距离为 d|ln 21|21ln 22，所以 2d 2(1ln 2)故选 B.1(2017北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据：lg 30.48)A1033B1053C1073D1093答案 D解析 由题意，lgMNlg33611080lg 3361lg 1080361lg 380lg 103610.4880193.28.又 lg 103333，lg 105353，lg 107373，lg 109393，故与MN最接近的是 10
18、93.故选 D.2(2018山西模拟)函数 yln sinx(0 x)的大致图象是()答案 C解析 因为 0 x，所以 00 在区间(，2上恒成立且函数 yx2ax3a 在(，2上递减，则a22 且(2)2(2)a3a0，解得实数 a 的取值范围是4,4)，故选 D.4(2015福建高考)若函数 f(x)x6，x2，3logax，x2(a0，且 a1)的值域是4，)，则实数 a 的取值范围是_答案(1,2解析 当 x2 时，f(x)x6，f(x)在(，2上为减函数，f(x)4，)当 x2 时，若 a(0,1)，则 f(x)3logax 在(2，)上为减函数，f(x)(，3loga2)，显然不满
19、足题意，a1，此时 f(x)在(2，)上为增函数，f(x)(3loga2，)，由题意可知(3loga2，)4，)，则 3loga24，即 loga21，1a2.基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018安阳检测)若点(a，b)在 ylg x 图象上，a1，则下列点也在此图象上的是()A.1a，bB(10a,1b)C.10a，b1D(a2,2b)答案 D解析 当 xa2 时，ylg a22lg a2b，所以点(a2,2b)在函数 ylg x 图象上故选 D.2已知函数 f(x)2log2x，x1,2，则函数 yf(x)f(x2)的值域为()A4,5 B.4，112C.4，132D4,7答案 B解
20、析 yf(x)f(x2)2log2x2log2x243log2x，注意到为使得yf(x)f(x2)有意义，必有1x22，得1x 2，从而4y112.故选 B.3(2018太原调研)已知函数 f(x)13xlog2x，若实数 x0 是方程f(x)0 的解，且 0 x10，故排除 D.故选 B.5(2015湖南高考)设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，则 f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数答案 A解析 解法一：函数 f(x)的定义域为(1,1)，任取 x(1,1)，f(x)ln
21、(1x)ln(1x)f(x)，则 f(x)是奇函数当 x(0,1)时，f(x)11x 11x21x20，所以 f(x)在(0,1)上是增函数综上，故选A.解法二：同解法一知 f(x)是奇函数当 x(0,1)时，f(x)ln 1x1xln 21x1xln 21x1.y 21x(x(0,1)是增函数，yln x 也是增函数，f(x)在(0,1)上是增函数综上，故选 A.6 (2018 包 头 模 拟)已 知 函 数 f(x)log 12(x2 ax a)在，12 上是增函数，则实数 a 的取值范围是()A1，)B.1，12C.1，12D(，1答案 B解析 f(x)log12(x2axa)在，12
22、上是增函数，说明内层函数(x)x2axa 在，12 上是减函数且(x)0 成立，只需对称轴 xa212且(x)min12 0，解得 a1，12，故选B.7(2017安徽安庆二模)已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x(，0时，f(x)为减函数，若 af(20.3)，bf(log124)，cf(log25)，则 a，b，c 的大小关系是()AabcBcbaCcabDacb答案 B解析 函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x(，0时，f(x)为减函数，f(x)在0，)上为增函数，bf(log124)f(2)f(2)，120.32ba，故选 B.8(2017广东模拟)已知函数
23、 f(x)(exex)x，f(log5x)f(log15x)2f(1)，则 x 的取值范围是()A.15，1B1,5C.15，5D.，15 5，)答案 C解析 f(x)(exex)x，f(x)x(exex)(exex)xf(x)(xR)，函数 f(x)是偶函数f(x)(exex)x(exex)0 在(0，)上恒成立函数 f(x)在(0，)上单调递增f(log5x)f(log15x)2f(1)，2f(log5x)2f(1)，即 f(log5x)f(1)，|log5x|1，15x5.故选 C.9(2017河北五校质监)函数 yloga(x3)1(a0，且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线
24、 mxny20 上，其中 m0，n0，则2m1n的最小值为()A2 2B4 C.52D.92答案 D解析 由函数 yloga(x3)1(a0，且 a1)的解析式知：当 x2 时，y1，所以点 A 的坐标为(2，1)，又因为点 A 在直线 mxny20 上，所以2mn20，即 2mn2，又 m0，n0，所以2m1n2mnm2mn2n2nmmn1252292，当且仅当 mn23时等号成立，所以2m1n的最小值为92，故选 D.10(2017江西红色七校二模)已知函数 f(x)ln exex，若 fe2017f2e2017 f2016e2017 504(ab)，则 a2b2 的最小值为()A6 B8
25、 C9 D12答案 B解析 f(x)f(ex)ln exexln eexxln e22，504(ab)fe2017f2e2017f2016e201712fe2017 f2016e2017 f2e2017 f2015e2017 f2016e2017 fe2017 12(22016)2016，ab4，a2b2ab22422 8，当且仅当 ab2 时取等号a2b2 的最小值为 8.故选 B.二、填空题11(2018禅城区月考)已知函数 f(x)|lg x|，若 0ab，且 f(a)f(b)，则 2ab 的取值范围是_答案 2 2，)解析 画出 y|lg x|的图象如图：0ab，且 f(a)f(b)，
26、|lg a|lg b|且 0a1，lg alg b，ab1，2ab2 2ab2 2.当 2ab 时等号成立，2ab2 2.12函数 f(x)log2 xlog 2(2x)的最小值为_答案 14解析 显然 x0，f(x)log2 xlog2(2x)12log2xlog2(4x2)12log2x(log242log2x)log2x(log2x)2log2x1221414，当且仅当 x 22 时，取“”，故 f(x)min14.13(2017山西质检)已知函数 f(x)|2x1|，x1，若 f(x1)f(x2)f(x3)(x1，x2，x3 互不相等)，且 x1x2x3 的取值范围为(1,8)，则实数
27、 m 的值为_答案 1解析 作出 f(x)的图象，如图所示，可令 x1x2x3，则由图知点(x1,0)，(x2,0)关于直线 x12对称，所以 x1x21.又 1x1x2x38，所以 2x39.由 f(x1)f(x2)f(x3)(x1，x2，x3 互不相等)，结合图象可知点 A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得 3log2(9m)，解得 m1.14(2017辽宁沈阳一模)已知函数 f(x)|log3x|，实数 m，n 满足0mn，且 f(m)f(n)，若 f(x)在m2，n上的最大值为 2，则nm_.答案 9解析 f(x)|log3x|，实数 m，n 满足 0mn，且 f(m)f(n)，m10时，f(x)log12x.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)解不等式 f(x21)2.解 16设 x2,8时，函数 f(x)12loga(ax)loga(a2x)(a0 且 a1)的最大值是 1，最小值是18，求 a 的值解
