1、第12讲定积分与微积分基本定理板块一知识梳理自主学习必备知识考点1定积分的概念在f(x)dx中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式考点2定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)考点3微积分基本定理如果f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F(x)f(x),那么f(x)dxF(b)F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿莱布尼茨公式为了方便,常把F(b)F(a)记成F(x)|,即f(x)
2、dxF(x)|F(b)F(a)必会结论1定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正;当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负;当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时,定积分的值为零2函数f(x)在闭区间a,a上连续,则有(1)若f(x)为偶函数,则f(x)dx2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数,则f(x)dx0.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)设函数yf(x)在区间a,b上连续,则f(x)dxf(t)dt.()(2)若函数yf(x)在区间a,b上连续且恒正,则f(x)dx0. ()(3)若f(x)dx0)的图象所围成的
3、阴影部分的面积为,则k等于()A2 B1 C3 D4答案C解析由消去y得x2kx0,所以x0或xk,则阴影部分的面积为(kxx2)dx|,即k3k3,解得k3.72018吉林模拟曲线y与直线yx1及x4所围成的封闭图形的面积为()A2ln 2 B2ln 2C4ln 2 D42ln 2答案D解析如图所示,所求面积为阴影部分面积,其面积为四边形ABDE的面积减去不规则图形ABCE的面积,故S(x1)dxdx|2ln x|42ln 2.选D.82018山西模拟已知函数f(x)则f(x)dx_.答案6解析f(x)则f(x)dxdx(x2)dx22|6.9设a0.若曲线y与直线xa,y0所围成封闭图形的
4、面积为a,则a_.答案解析Sdxx|aa,解得a.102018福建模拟如图所示,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于_答案解析依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S144,阴影部分的面积S阴影4x2dx4x3|4,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P.B级知能提升12018山西模拟定积分|x22x|dx()A5 B6 C7 D8答案D解析|x22x|x22x|dx(x22x)dx(x22x)dx|8.22018丰台模拟由曲线y与yx,x4以及x轴所围成的封闭图形的面积是()A. B.
5、Cln 4 Dln 41答案C解析如图,面积Sxdxdxx2|ln x|ln 4.32018湖北模拟若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx0,则称f(x),g(x)为区间1,1上的一组正交函数给出三组函数:f(x)sinx,g(x)cosx;f(x)x1,g(x)x1;f(x)x,g(x)x2.其中为区间1,1上的正交函数的组数是()A0 B1 C2 D3答案C解析对于,sinxcosxdxsinxdx0,所以是一组正交函数;对于, (x1)(x1)dx (x21)dx0,所以不是一组正交函数;对于,xx2dxx3dx0,所以是一组正交函数故选C.4求由曲线yx2和直线yx和y2x围
6、成的图形的面积解如图所示,所求的面积SSAOCS1,其中S1是线段AC,BC和抛物线段AB围成的区域的面积由和分别解出O,A,B三点的横坐标分别是0,1,2.因为x,2xx2,故所求的面积S(2xx)dx(2xx2)dx|0.5. 2018信阳调研在区间0,1上给定曲线yx2.试在此区间内确定t的值,使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小,并求最小值解面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线yx2与x轴、直线xt所围成的面积,即S1tt2 x2dxt3.S2的面积等于曲线yx2与x轴,xt,x1围成的面积去掉矩形面积,矩形边长分别为t2,1t.即S2x2dxt2(1t)t3t2.所以阴影部分面积SS1S2t3t2(0t1)令S(t)4t22t4t0时,得t0或t.t0时,S;t时,S;t1时,S.所以当t时,S最小,且最小值为.