1、第三章DISANZHANG推理与证明1归纳与类比1.2类比推理课后篇巩固提升A组1.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):若a,bR,则a-b=0a=b,类比推出若a,bC,则a-b=0a=b;若a,bR,则|a|=|b|a2=b2,类比推出若a,bC,则|a|=|b|a2=b2;若a,bR,则a-b0ab,类比推出若a,bC,则a-b0ab;若a,b,c,dR,则复数a+bi=c+dia=c且b=d,类比推出若a,b,c,dQ,则a+b=c+da=c且b=d.其中类比结论正确的是()A.B.C.D.答案D解析对于,在复数集C中,若两个复数满足a-b=0,则它们的实
2、部和虚部均相等,则a=b,所以正确;对于,在复数集C中,例如:a=1+i,b=1-i,此时|a|=|b|,但a2=2i,b2=-2i,此时a2b2,所以不正确;对于,在复数集C中,例如:a=2+i,b=1+i,此时a-b=10,但a,b都是复数,无法比较大小,所以不正确;对于,在有理数集中,若a+b=c+d,则(a-c)+(b-d)=0,可得a=c且b=d,所以正确.故选D.2.下列平面图形中,与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A.三角形B.梯形C.矩形D.平行四边形答案D解析因为平行六面体的六个面全为平行四边形,并且相对的每一对面平行且全等.类比这一性质可知平面中应类比平行四边
3、形更合适.3.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术,他在九章算术方田章圆田术中指出:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程,比如在正数中的“”代表无限次重复,设x=,则可以利用方程x=求得x,类似地可得到正数=()A.2B.3C.2D.+1答案A解析设x=,则x=且x,所以x2=2+x,所以x2-x-2=0,所以(x-2)(x+1)=0,所以x=2或x=-1(舍),所以=2.故选A.4.类比三角形中的性质:(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边长的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质:(1)任意三个面的
4、面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有()A.(1)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.都不对答案C解析以上类比推理方法都正确,需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价,方法正确结论也不一定正确.5.若三角形的内切圆半径为r,三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积S=r(a+b+c),根据类比思想,若四面体的内切球半径为R,四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,则此四面体的体积V=.答案R(S1+S2+S3+S4)解析设四面体的内
5、切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.故此四面体的体积V=R(S1+S2+S3+S4).6.在平面直角坐标系xOy中,二元一次方程Ax+By=0(A,B不同时为0)表示过原点的直线.类似地:在空间直角坐标系O-xyz中,三元一次方程Ax+By+Cz=0(A,B,C不同时为0)表示.答案过原点的平面解析由方程的特点可知:平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面,“过原点”类比仍为“过原点”,因此应得到:在空间直角坐标系O-xyz中,三元一次方程Ax+By+Cz=0(A,B,C不同时为0)表示过原点的平面.7.给出下列
6、推理:(1)三角形的内角和为(3-2)180,四边形的内角和为(4-2)180,五边形的内角和为(5-2)180,所以凸n边形的内角和为(n-2)180;(2)三角函数都是周期函数,y=tan x是三角函数,所以y=tan x是周期函数;(3)狗是有骨骼的;鸟是有骨骼的;鱼是有骨骼的;蛇是有骨骼的;青蛙是有骨骼的.狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物,所以,所有的动物都是有骨骼的;(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线互相平行;在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面,那么这两个平面互相平行.其中属于合情推理的是.(填序号)答案(1)(3)(4)解析根据合情推理的定义来判断.因
7、为(1)(3)都是归纳推理,(4)是类比推理,而(2)不符合合情推理的定义,所以(1)(3)(4)都是合情推理.8.已知以下过程可以求1+2+3+n的和.因为(n+1)2-n2=2n+1,n2-(n-1)2=2(n-1)+1,22-12=21+1,有(n+1)2-1=2(1+2+n)+n,所以1+2+3+n=.类比以上过程求12+22+32+n2的和.解因为(n+1)3-n3=3n2+3n+1,n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1,23-13=312+31+1,有(n+1)3-1=3(12+22+n2)+3(1+2+3+n)+n,所以12+22+n2=.B组1.一个三角形可分为
8、以内切圆半径为高,以原三角形三条边为底的三个三角形.类比此方法,若一个三棱锥的体积V=2,表面积S=3,则该三棱锥内切球的表面积为()A.81B.16C.D.答案B解析由题意,三棱锥内切球球心与各顶点相连把此三棱锥分成以原三棱锥各面三角形为底面,高为内切球半径的4个小三棱锥,从而有V=Sr2=3rr=2,所以内切球表面积为4r2=422=16.故选B.2.类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数:S(x)=ax-a-x,C(x)=ax+a-x,其中a0,且a1,下面正确的运算公式是()S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y
9、);2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).A.B.C.D.答案B解析经验证易知错误.依题意,注意到2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),又S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a-x-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).综上所述,选B.3.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体,在ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A+B+C+D等于()A.2(AB2+AD2+
10、A)B.3(AB2+AD2+A)C.4(AB2+AD2+A)D.4(AB2+AD2)答案C解析如图所示,四边形AA1C1C和BB1D1D也都是平行四边形,从而有A+C=2(AC2+A),B+D=2(BD2+B),所以A+C+B+D=2(AC2+BD2)+4A=4(AB2+AD2+A).4.已知ABC的顶点A,B分别是离心率为e的圆锥曲线=1的焦点,顶点C在该曲线上;一同学已正确地推得:当mn0时有e(sin A+sin B)=sin C.类似地,当m0,nn0时,=1为椭圆,|AC|+|BC|=2,由正弦定理知,e=e(sin A+sin B)=sin C.当m0,n(2x+3)3-x的解是.
11、答案x(2x+3)3-x可化为x3+x(2x+3)3+(2x+3),令f(x)=x3+x,则原不等式为f(x)f(2x+3),又f(x)=3x2+10,故函数f(x)=x3+x是R上的增函数.所以x2x+3,解得x-3.6.若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.由类比推理可得:在等比数列bn中,若其前n项的积为Pn,则P2n-1=.答案解析将等差数列前n项和类比到等比数列前n项的积,将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”.因为等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an,所以类比可得:在等比数列bn中,若其前n项的积为Pn,则P2n-1=.7.若
12、ABC的边长分别为a,b,c,其对角分别为A,B,C,那么由a=bcos C+ccos B可类比四面体的什么性质?解在如图所示的四面体中,S1,S2,S3,S分别表示PAB,PBC,PCA,ABC的面积,依次表示面PAB,面PBC,面PCA与底面ABC所成二面角的大小.猜想S=S1cos +S2cos +S3cos .8.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.解圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对
13、应关系:弦截面圆,直径大圆,周长表面积,圆面积球体积,等等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆是等圆;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于经过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心圆的周长c=d球的表面积S=d2圆的面积S=r2球的体积V=r3
