1、20122013学年第二学期期初高三教学质量调研 数学试卷201302注意事项：1本试卷共4页，包括填空题(第1题第14题)、解答题(第15题第20题)两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知集合A=1,0,1, 2，B=x|x2x0，则AB= 2设a为实数，若复数 (12i)(1ai) 是纯虚数，则a的值是 3某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位
2、：g）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间96，106，样本中净重在区间96，100)的产品个数是24，则样本中净重在区间98，104)的产品个数是 4如图所示的流程图的输出S的值是 （第3题） （第4题）5若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则两次点数之和为偶数的概率是 6 设k为实数，已知向量a()(1，2)，(3，2)，且(ka()(a()3b()，则k的值是 7在平面直角坐标系xOy中，若角的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线yx（x0）上，则sin5 8. 已知实数x，y满足约束条件， 则z2xy的最
3、小值是 9已知双曲线1 (a0，b0) 的焦点到渐近线的距离是a，则双曲线的离心率的值是 10在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知a2，3bsinC5csinBcosA0，则ABC面积的最大值是 11已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间0，)上是单调增函数若f(1)f(lnx)，则x的取值范围是 12若点P、Q分别在函数yex和函数 ylnx的图象上，则P、Q两点间的距离的最小值是 13已知一个数列只有21项，首项为，末项为，其中任意连续三项a，b，c满足b，则此数列的第15项是 14设a1，a2，an为正整数，其中至少有五个不同值. 若对于任意的i，j(1ijn)，存在k
4、，l（kl，且异于i与j）使得aiajakal，则n的最小值是 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）如图，摩天轮的半径为50 m，点O距地面的高度为60 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻t（min）时点P距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85 m? (第15题) 16（本小题满分14分） 如图，在四棱锥PABCD中，PD面ABCD，ADBC，CD=13，AB=12，BC=10，AD BC. 点E、F分别是棱
5、PB、边CD的中点. （1）求证：AB面PAD；（2）求证：EF面PAD. （ （第16题）17（本小题满分14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式y10(x6)，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克（1）求a的值；（2）若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大18（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：y1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y2分别交于点M、N.（1
6、）设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（2）求线段MN长的最小值；（第18题）（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论 19. （本小题满分16分） 设非常数数列an满足an+2，nN*，其中常数，均为非零实数，且 0.（1）证明：数列an为等差数列的充要条件是20；（2）已知1， a11，a2，求证：数列| an1an1| (nN*，n2)与数列n (nN*)中没有相同数值的项.20. （本小题满分16分）设函数f (x)的定义域为M，具有性质P：对任意xM，都有f (x)f (x2)2f (x1).（1）若M为实数集R，是否存在函数f (
7、x)ax (a0且a1，xR) 具有性质P，并说明理由；（2）若M为自然数集N，并满足对任意xM，都有f (x)N. 记d(x)f (x1)f (x).() 求证：对任意xM，都有d(x1)d(x)且d(x)0；() 求证：存在整数0cd(1)及无穷多个正整数n，满足d(n)c.20122013学年第二学期期初高三教学质量调研 数 学（附加题） 2013.0221、【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A、（几何证明选讲选做题） 如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E
8、为线段BC的中点求证：OPPEB、（矩阵与变换选做题）已知M，N，设曲线ysinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程C、（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系xOy中，直线m的参数方程为（t为参数）；在以O为极点、射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为sin8cos若直线m与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长D、（不等式选做题）设x，y均为正数，且xy，求证：2x2y322、【必做题】 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BEBB1，C1FCC1.（1）求异面直线AE与A1 F所成角的
9、大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值. 23、【必做题】在数列an（nN*）中，已知a11，a2kak，a2k1(1)k+1ak，kN*. 记数列an的前n项和为Sn.（1）求S5，S7的值；（2）求证：对任意nN*，Sn0.20122013学年第二学期期初高三教学质量调研 数学参考答案一、 填空题：1. 0, 1 2. 3. 60 4. 20 5. 6. 19 7. 8. 29. 10. 2 11. (0, )(e, ) 12. 13. 14. 13二、解答题：15. （1）解：设点P离地面的距离为y，则可令 yAsin(t)b. 由题设可知A50，b60. 2分又T3，所以，
10、从而y50sin(t)60. 4分再由题设知t0时y10，代入y50sin(t)60，得sin1，从而. 6分因此，y6050cost (t0). 8分（2）要使点P距离地面超过85 m，则有y6050cost85，即cost. 10分于是由三角函数基本性质推得t，即1t2. 12分所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85 m的时间有1分钟. 14分16. 证明：（1）因为PD面ABCD，所以PDAB. 2分在平面ABCD中，D作DM/AB，则由AB=12得DM=12.又BC=10，ADBC，则AD=5，从而CM=5.于是在CDM中，CD=13，DM=12，CM=5，则由及勾股定理逆定
11、理得DMBC . 又DM/AB，BC/AD，所以ADAB.又PDADD，所以AB面PAD. 6分（2）证法一 取AB的中点N，连结EN、FN.因为点E是棱PB的中点，所以在ABP中，EN/PA. 又PA面PAD，所以EN/面PAD. 8分因为点F分别是边CD的中点，所以在梯形ABCD中，FN/AD. 又AD面PAD，所以FN/面PAD. 10分又ENFNN，PADAA，所以面EFN/面PAD. 12分又EF面EFN，则EF/面PAD. 14分 证法二 延长CD，BA交于点G. 连接PG，EG，EG与PA交于点Q. 由题设ADBC，且AD BC，所以CDDG，BAAG，即点A为BG的中点.又因为
12、点E为棱PB的中点，所以EA为BPG的中位线，即EAPG，且EA:PG1:2，故有EA:PGEQ:QG1:2. 10分又F是边CD的中点，并由CDDG，则有FD:DG1:2. 12分在GFE中，由于EQ:QG1:2，FD:DG1:2，所以EFDQ. 又EF面PAD，而DQ面PAD，所以EF面PAD. 14分17. 解：（1）由题设知x5时y11，则1110(56)，解得a2. 3分（2）由（1）知该商品每日的销售量y10(x6)，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3) 10(x6)210(x3) (x6)，3x6. 6分对函数f(x)求导，得f (x)10(x6)2(x3)(x6
13、)30(x4)(x6)令f (x)0及3x6，解得x4 10分当3x4时，f (x)0，当4x6时，f (x)0，于是有函数f(x)在(3，4)上递增，在(4，6)上递减，所以当x4时函数f(x)取得最大值f(4)42. 13分答：当销售价格x4时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.14分18. 解：（1）由题设y1可知，点A(0，1)，B(0，1).令P(x0，y0)，则由题设可知x00. 所以，直线AP的斜率k1，PB的斜率为k2. 2分又点P在椭圆上，所以（x00），从而有k1k2. 4分（2）由题设可以得到直线AP的方程为y1k1(x0)，直线PB的方程为y(1)k2(
14、x0).由，解得；由，解得. 所以，直线AP与直线l的交点，直线PB与直线l的交点. 7分 于是，又k1k2，所以24， 等号成立的条件是，解得.故线段MN长的最小值是4. 10分（3）设点Q(x,y)是以MN为直径的圆上的任意一点，则0，故有. 又，所以以MN为直径的圆的方程为. 13分令，解得或.所以，以为直径的圆恒过定点（或点）16分注：写出一点的坐标即可得分.19. （1）解：已知数列，.充分性：若，则有，得，所以为等差数列. 4分必要性：若为非常数等差数列，可令(k0). 代入，得.化简得，即. 因此，数列an为等差数列的充要条件是20. 8分（2）由已知得. 10分又因为，可知数列
15、(nN*)为等比数列，所以 (nN*).从而有n2时， ，.于是由上述两式，得 （）. 12分由指数函数的单调性可知，对于任意n2，| an1an1|.所以，数列中项均小于等于.而对于任意的n1时，n1，所以数列n(nN*)中项均大于.因此，数列与数列n(nN*)中没有相同数值的项.16分20证明：（1）因f (x)ax (a0且a1)，所以ax ax+2，即f (x)f (x2). 2分由题设以及算术平均与几何平均不等式，得f (x)f (x2)axax+222 ax+12 f (x1)，这与f (x)f (x2)2f (x1)矛盾.故不存在函数f (x)ax(a0且a1)满足性质P. 4分
16、（2）()由题设对任意，f (x)f (x2)2f (x1)，所以f(x2)f(x1)f(x1)f(x). 于是对任意xN，d(x1)d(x). 6分下面用反证法证明：对任意xN，d(x)0.假设存在某个非负整数k使d(k)0，则由题设对任意xN，f(x)N，得d(x)Z，于是有d(k)1. 8分由任意xN，d(x1)d(x)，所以1d(k)d(k1)d(k2)d(kn).，这里n是自然数. 于是有d(kn)d(k(n1)d(k(n2)d(k)(n1) d(k)(n1)(1).而d(kn)d(k(n1)d(k(n2)d(k)f (kn1)f (k)，所以f (kn1)f (k)(n1).取nf
17、 (k)，得f (kf (k)1)f (k)1f (k)1，这与f (kf (k)1)N矛盾.因此，必有对任意xN，d(x)0. 12分()由()可知 d(1)d(2)d(3)d(n)0.当d(1)0时，则有d(1)d(2)d(3)d(n)0，结论成立.当d(1)0时，对任意nN，有d(n) N，且d(n) 0, d(1). 因为在区间0, d(1)上的自然数只有有限个，而落在此区间上的自然数d(n)有无数多个，所以，必存在自然数c0, d(1)和无穷多个正整数n，满足d (n)c. 16分【附加题答案】21.A. 解：因为AB是圆O的直径，所以APB90，从而BPC90 2分在BPC中，因为
18、E是边BC的中点，所以BEEC，从而BEEP，因此13 5分 又因为B、P为圆O上的点，所以OBOP，从而2 4 7分因为BC切圆O于点B，所以ABC90，即1+2=90，从而3+4=90，于是OPE90 9分 所以OPPE 10分B. 解：由题设得. 4分设所求曲线F上任意一点的坐标为（x,y），上任意一点的坐标为，则MN，解得 . 7分把代入，化简得.所以，曲线F的方程为. 10分C. 解：直线m的普通方程为. 2分曲线C的普通方程为. 4分由题设直线m与曲线C交于A、B两点，可令,.联立方程，解得，则有，. 7分于是.故 . 10分D 证明：由题设x0，y0，xy，可得xy0. 2分因为
19、2x2y2(xy)(xy)(xy) . 5分又(xy)(xy) ，等号成立条件是xy1 . 9分所以，2x2y3，即2x2y3 10分 22解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则 ,，从而,. 2分记与的夹角为，则有.又由异面直线与所成角的范围为，可得异面直线与所成的角为60. 4分（2）记平面和平面的法向量分别为n和m，则由题设可令，且有平面的法向量为, ,.由，得；由，得.所以，即. 8分记平面与平面所成的角为，有.由题意可知为锐角，所以. 10分23. 解：（1）S53，S71. 2分（2）由题设的定义可知，对于每个正整数k，有. . 4分则 ，. 6分下面证明对于所有的n1，Sn0.对
20、于k，用数学归纳法予以证明.当i1，2，3，4，即k=0时，S11，S20， S31， S42.假设对于所有的i4k，Si0，则由、知，S4k+42Sk+10，S4k+2S4k0，S4k+3S4k+2a4k+3S4k+2a4k+4S4k+2(S4k+4S4k+3)，S4k+30.接下来证明：S4k+10.若k是奇数，则S4k2Sk2. 因为k是奇数，所以由题设知数列的各项均为奇数，可知Sk也是一个奇数. 于是 S4k2. 因此，S4k+1S4ka4k+11.若k是偶数，则a4k+1a2k+1ak+1. 所以S4k+1S4ka4k+12Skak+1SkSk10. 综上，对于所有的n1，Sn0. 10分
