1、模块复习课第2课时圆锥曲线的概念、标准方程与简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.已知椭圆=1(n0)与双曲线=1(m0)有相同的焦点,则动点P(n,m)的轨迹是()A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分解析椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点,9-n2=4+m2,即m2+n2=5(0n0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=x.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F
2、作EFCD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=(d1+d2)=3.又因为点F(c,0)到y=x的距离为=b,所以b=3,b2=9.因为e=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为=1.故选C.答案C3.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),=(3,4)(0),=-4,若抛物线y2=ax经过A和B两点,则a的值为()A.2B.-2C.-4D.4解析A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),=(3,4)(0),直线AB的方程为y=(x-1),与y2=ax联立可得y2-ay-a=0.y1+y2=a,y1y2=-a,=-4,y1=-4y2.
3、由可得a=4.故选D.答案D4.如果过点M(-2,0)的直线l与椭圆+y2=1有公共点,那么直线l的斜率k的取值范围是()A.B.C.D.解析设过点M(-2,0)的直线l的方程为y=k(x+2),联立得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-2=0.过点M(-2,0)的直线l与椭圆+y2=1有公共点,=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)0,整理得k2,解得-k,直线l的斜率k的取值范围是.故选D.答案D5.已知圆C1:x2+y2=b2与椭圆C2:=1(ab0),若在椭圆C2上存在一点P,使得由点P所作的圆C1的两条切线互相垂直,则椭圆C2的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析设P(m
4、,n),由题意知e2m2=b2,又0|m|a,0m2a2,即a2,解得eb0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,|PF1|=|PF2|,F1PF2=,则椭圆离心率的取值范围为()A.B.C.D.解析设F1(-c,0),F2(c,0),由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,可设|PF2|=t,可得|PF1|=t,即有(+1)t=2a.由F1PF2=,可得|PF1|2+|PF2|2=4c2,即为(2+1)t2=4c2.由2,可得e2=.令m=+1,可得=m-1,即有=2.由2,可得m3,即,则当m=2时,取得最小值;当m=或m=3时,取得最大值.即有e2,解得e.故选B.答案B
5、7.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为.解析因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=x的距离为=b,所以b=c.因为a2=c2-b2=c2-c2=c2,所以a=c,e=2.答案28.抛物线y2=-8x上到焦点距离等于6的点的坐标是.解析抛物线方程为y2=-8x,可得2p=8,=2,抛物线的焦点为F(-2,0),准线为x=2.设抛物线上点P(m,n),到焦点F的距离等于6,根据抛物线的定义,得点P到F的距离等于P到准线的距离,即|PF|=-m+2=6,解得m=-4,n2=8m=32,可得n=4,因此,点P的坐标为(-
6、4,4).答案(-4,4)9.已知双曲线C:=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=0,则C的离心率为.解析如图,由,得|F1A|=|AB|.又|OF1|=|OF2|,得BF2OA,且|BF2|=2|OA|.由=0,得F1BF2B.则OAF1A,|OB|=|OF1|=|OF2|.故BOF2=AOF1=2OF1B,得BOF2=60.则=tan 60=.所以e=2.答案210.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点,焦点为F1(-,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限
7、内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为,求直线l的方程.解(1)因为椭圆C的焦点为F1(-,0),F2(,0),可设椭圆C的方程为=1(ab0).又点在椭圆C上,所以解得因此,椭圆C的方程为+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),则=3,所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,即y=-x+.由消去y,得(4)x2-24x0x+36-4=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以=(-24x0)2-4(4)(36-4)=48-2
8、)=0.因为x0,y00,所以x0=,y0=1.因此,点P的坐标为(,1).因为三角形OAB的面积为,所以ABOP=,从而AB=.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得,x1,2=,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=.因为=3,所以AB2=,即2-45+100=0,解得=20舍去),则,因此P的坐标为.综上,直线l的方程为y=-x+3.能力提升1.已知点A(0,1),抛物线C:y2=ax(a0)的焦点为F,射线FA与抛物线相交于M,与其准线相交于点N,若|FM|MN|=2,则a=()A.2B.4C.6D.8解析依题意点F的坐标为,设M在准线上的射影为K,由抛物线的定义知
9、|MF|=|MK|,|FM|MN|=2,则|KN|KM|=12,kFN=-,kFN=-.=2,求得a=2.故选A.答案A2.双曲线C:=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则PFO的面积为()A.B.C.2D.3解析由已知可得a=2,b=,则c=,F(,0).|PO|=|PF|,xP=.又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=x上,yP=.SPFO=|OF|yP|=.故选A.答案A3.设F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.解析a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由题意
10、得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00),则|F1F2|y0=4y0.又4=4,4y0=4,解得y0=.又点M在椭圆C上,=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).点M的坐标为(3,).答案(3,)4.已知椭圆M:=1(ab0),双曲线N:=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.解析根据题意可画出下图,其中BD和AC为双曲线的渐近线,ABF2CDF1是正六边形.由题意可知BOF2=,故双曲线的渐近线BD的方程为y
11、=x=x,故双曲线的离心率e1=2.设AB=x,由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=x+x=2a,2c=2x,故e2=-1.答案-125.已知椭圆C:=1(0m0,由题意知yP0.由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-(x-5),所以|BP|=yP,|BQ|=.因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.由直线BP的方程得yQ=2或8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=,直线P1Q1的方程为y=x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为,故AP1Q1的面积为.|P2Q2|=,直线
12、P2Q2的方程为y=x+,点A到直线P2Q2的距离为,故AP2Q2的面积为.综上,APQ的面积为.6.已知椭圆M的对称轴为坐标轴,离心率为,且一个焦点坐标为(,0).(1)求椭圆M的方程;(2)设直线l与椭圆M相交于A,B两点,以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其中点P在椭圆M上,O为坐标原点,求点O到直线l的距离的最小值.解(1)由题意可设椭圆的标准方程为=1(ab0),解得a=2,b=,椭圆M的方程为=1.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,联立化为(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)0,化为2+4k2-m20,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).x0=x1+x2=,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=.点P在椭圆M上,=1.=1,化为2m2=1+2k2,满足0.又点O到直线l的距离d=.当且仅当k=0时取等号.当直线l无斜率时,由对称性可知:点P一定在x轴上,从而点P的坐标为(2,0),直线l的方程为x=1,点O到直线l的距离为1.点O到直线l的距离的最小值为.
