1、1.了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3能根据导数的定义求函数 yc，yx，yx2，y1x的导数变化率与导数、导数的计算4能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数理 要 点一、导数的概念1函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|，即f(x0).limx0fx0 xfx0 x limx0yx0 x xlimx0fx0 xfx0 xlimx0yx(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点处的(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t
2、的导数)相应地，切线方程为(x0，f(x0)切线的斜率yy0f(x0)(xx0)2函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数limx0fxxfxx二、基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f(x)c(c为常数)f(x)f(x)xn(nQ*)f(x)f(x)sinx f(x)f(x)cosx f(x)f(x)ax f(x)f(x)ex f(x)0 nxn1 cosxsinxaxlna ex原函数 导函数 f(x)logax f(x)f(x)lnx f(x)1xlna1x三、导数的运算法则1f(x)g(x)；2f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)3fxgx(
3、g(x)0)fxgxfxgxgx2究 疑 点1f(x)与f(x0)相同吗？提示：f(x)与f(x0)不相同；f(x)是一个函数，f(x0)是常数，f(x0)是函数f(x)在点x0处的函数值2曲线yf(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点P0(x0，y0)的切线，两种说法有区别吗？提示：有前者P0一定为切点，而后者P0不一定为切点题组自测1用定义法求下列函数的导数(1)yx2；(2)y 4x2.解：(1)因为yxfxxfxxxx2x2xx22xxx2x2x2xx，所以 ylimx0yxlimx0(2xx)2x.(2)y4xx2 4x24x2xxx2xx2，yx4 2xxx2xx2，limx0
4、yxlimx0 4 2xxx2xx2 8x3.2已知某运动物体的位移y(米)与其运动时间t(秒)的函数关系为：yt3t.(1)设yf(t)，利用导数的定义求f(t)(2)求该物体在t2秒时的瞬间速度解：(1)f(tt)f(t)(tt)3t3(tt)tt(tt)2t(tt)t21t3t23tt(t)21，fttftt3t23tt(t)21，f(t)limt0fttfttlimt0 3t23tt(t)213t21，即 f(t)3t21.(2)t2 秒时的瞬时速度即 f(2)，瞬间速度为 f(2)34113(米/秒)归纳领悟根据导数的定义求函数 yf(x)在点 x0 处导数的方法：(1)求函数的增量
5、 yf(x0 x)f(x0)；(2)求平均变化率yxfx0 xfx0 x；(3)得导数 f(x0)limx0yx，简记作：一差、二比、三极限.题组自测1f(x)ax33x22，若 f(1)4，则 a 的值等于()A.193 B.163C.133D.103解析：f(x)3ax26x，f(1)3a64，a103.答案：D2已知f(x)x2，g(x)x3，若f(x)g(x)2，则x_.解析：f(x)2x，g(x)3x2，f(x)g(x)2x3x22，整理得 3x22x20.x1 73.答案：1 733函数yxcosxsinx的导数为_解析：y(xcosx)(sinx)xcosxx(cosx)cosx
6、cosxxsinxcosxxsinx.答案：xsinx4求下列函数的导数：(1)y(1 x)(1 1x)；(2)ylnxx；(3)yxex；(4)ytanx.解：(1)y(1 x)(1 1x)1x xx12 x12，y(x12)(x12)12x32 12x12.(2)y(ln xx)ln xxxln xx21xxlnxx21lnxx2.(3)yxexx(ex)exxexex(x1)(4)y(sinxcosx)sinxcosxsinxcosxcos2xcosxcosxsinxsinxcos2x1cos2x.归纳领悟求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数
7、在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式进行求导，对于不具备直接求导的结构形式要适当变形.题组自测1曲线y2xx3在x1处的切线方程为()Axy20 Bxy20Cxy20 Dxy20解析：y2xx3，y23x2，y|x1231.于是，它在点(1，1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.答案：A2(2010全国卷)若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1解析：求导得 y2xa，因为曲线 yx2axb 在点(0，b)处的切线 l 的方程是 xy10，所以切线 l 的斜率 k1y|x
8、0，且点(0，b)在切线 l 上，于是有0a10b10，解得a1b1.答案：A3已知函数 yf(x)的图象在点 M(1，f(1)处的切线方程是 y12x2，则 f(1)f(1)_.解析：由已知切点在切线上，所以 f(1)12252，切点处的导数为切线的斜率，所以 f(1)12，所以 f(1)f(1)3.答案：34设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，并求此定值解：(1)方程 7x4y120 可化为 y74x3.当 x
9、2 时，y12.又 f(x)a bx2，于是2ab212，ab474，解得a1，b3，故 f(x)x3x.(2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y1 3x2知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 yy0(1 3x20)(xx0)，即 y(x0 3x0)(1 3x20)(xx0)令 x0，得 y 6x0，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为(0，6x0)；令 yx，得 y2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0)所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为12|6x0|2x0|6.故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线
10、yx所围成的三角形面积为定值，此定值为 6.求曲线f(x)x33x22x过原点的切线方程解：f(x)3x26x2.设切线的斜率为 k.(1)当切点是原点时，kf(0)2，所以所求曲线的切线方程为 y2x.(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有 y0 x303x202x0，kf(x0)3x206x02，又 ky0 x0 x203x02，由得 x032，ky0 x014.所求曲线的切线方程为 y14x.归纳领悟1求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为yy0f(x0)(xx
11、0)2当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为xx0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解一、把脉考情从近两年的高考试题来看，求导公式和法则，以及导数的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识预测2012年高考在考查方式和内容上不会有大的变化，在保持稳定的基础上可能对条件的设置情景进行创新，考查方式仍然会以客观题为主，考查内容以导数的运算公式和运算法则为基础，以导数的几何意义为重点二、考题诊断1(2010新课标全国卷)曲线yx32x1在点(1
12、,0)处的切线方程为()Ayx1 Byx1Cy2x2 Dy2x2答案：A解析：由题可知，点(1,0)在曲线yx32x1上，求导可得y3x22，所以在点(1,0)处的切线的斜率k1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线yx32x1的切线方程为yx1.2(2010江西高考)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)()A1 B2C2 D0解析：由f(x)ax4bx2c得f(x)4ax32bx，又f(1)2，所以4a2b2，即2ab1，f(1)4a2b2(2ab)2.答案：B3(2010辽宁高考)已知点 P 在曲线 y4ex1上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，
13、则 的取值范围是()A(0，4)B(4，2)C(2，34)D34，)解析：y4exex124exe2x2ex1.设 tex(0，)，则 y4tt22t14t1t2，t1t2，y1,0)，34，)答案：D4(2010江苏高考)函数 yx2(x0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak1，其中 kN*.若 a116，则 a1a3a5 的值是_解析：y2x，过点(ak，a2k)处的切线方程为 ya2k2ak(xak)，又该切线与 x 轴的交点为(ak1,0)，所以 ak112ak，即数列ak是等比数列，首项 a116，其公比 q12，a34，a51，a1a3a521.答案：21点 击 此 图 片 进 入“课 时 限 时 检 测”
