1、第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若实数k满足0k9,则曲线=1与曲线=1的()A.焦距相同B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等解析由于0k0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0);25-k0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0),故两曲线的焦距相同,故答案为A.答案A2.已知双曲线C:=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析由椭圆=1的焦点为(3,0),可得双曲线的c=3,即a2+b2=9,由双曲线的渐近线方程为y=x
2、,可得,解得a2=6,b2=3,则双曲线的方程为=1.故选D.答案D3.已知双曲线C:x2-=1(b0)的一个焦点为(-2,0),则双曲线C的一条渐近线方程为()A.x+y=0B.x+y=0C.x+y-=0D.x+y-=0解析由题意知,a=1,c=2, 又c2=a2+b2,解得b=.所以双曲线C的一条渐近线方程为y=-x=-x,即x+y=0.故选B.答案B4.已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析由题意知,双曲线的渐近线为y=x,则=2.因为双曲线的左焦点(-c,0)在直线l上,
3、所以0=-2c+10,故c=5.又因为a2+b2=c2,所以a2=5,b2=20,故双曲线的方程为=1.答案A5.两正数a,b的等差中项为,等比中项为,且ab,则双曲线=1的离心率e为()A.B.C.D.解析因为两正数a,b的等差中项为,等比中项为,所以解得因为ab,所以所以e=.故选D.答案D6.双曲线=1的焦点到渐近线的距离为.解析双曲线=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),渐近线方程为y=x,故焦点(4,0)到渐近线y=x的距离d=2.答案27.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1的离心率为,则m的值为.解析由题意得m0,所以a=,b=,c=.由e=,得=5,解得m=2.答案28.
4、若一条双曲线与-y2=1有共同渐近线,且与椭圆=1有相同的焦点,则此双曲线的方程为.解析由椭圆方程为=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=3,即椭圆的焦距为6,设与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程为-y2=(0),所求双曲线的焦点在x轴上,则0,双曲线方程化为=1,根据椭圆和双曲线共焦点,所以有8+=18,解得=2,故所求双曲线的方程为=1.答案=19.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为;(2)与双曲线=1有共同的渐近线,且过点(-3,2).解(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a0,b0),则由题可得2b=8,e=,从而b
5、=4,c=a,代入c2=a2+b2,得a2=9,故双曲线的标准方程为=1.(2)设所求双曲线方程为=(0),将点(-3,2)代入得=,所以双曲线方程为,即=1.10.已知双曲线C的方程为=1(a0,b0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为,求双曲线C的方程.解依题意,双曲线焦点在y轴上,一个顶点坐标为(0,a),渐近线方程为y=x,即axby=0,所以.又e=,所以b=1,即c2-a2=1,-a2=1,解得a2=4,故双曲线方程为-x2=1.能力提升1.已知双曲线C:=1(a0,b0)右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若MAN=60,则C的离心率
6、为()A.2B.C.D.解析因为MAN=60,而AM=AN=b,所以AMN是等边三角形,A到直线MN的距离为b,又A(a,0),渐近线方程取y=x,即bx-ay=0,所以b,化简得e=.故选B.答案B2.已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:x+3y+2=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析因为双曲线的渐近线为y=x,其中一条渐近线与直线l平行,则有-=-,所以a2=9b2,又因为双曲线的焦点在x轴上,而其中一个焦点在直线l上,则直线l与x轴焦点(-2,0)为双曲线焦点,即c=2,又因为c2=a2+b2,得20=10b2,则b
7、2=2,a2=18,所以双曲线方程为=1,答案为B.答案B3.若在双曲线=1(a0,b0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+)B.(1,)C.(2,+)D.(1,2)解析到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=.依题意,在双曲线=1(a0,b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足a,即2,得e2,故选C.答案C4.已知双曲线=1(a0,b0)的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为.解析依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c.因为
8、c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=b,于是双曲线渐近线方程为y=x=x.答案y=x5.已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则双曲线的方程为.解析由题意得c=2,c2=a2+b2,解得a=1,b=2.则双曲线的方程为x2-=1.答案x2-=16.过双曲线=1(a0,b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于.解析令x=-c,得y2=,则|MN|=.由题意得a+c=,即a2+ac=c2-a2,-2=0,=2或=-1(舍去),即离心率为2.答案27.已知双曲线C与
9、椭圆=1有相同的焦点,且它们的离心率之和为,求双曲线的标准方程、渐近线方程、实轴长和虚轴长.解由=1可知椭圆中=25,=9,所以c2=16,解得c=4,所以椭圆的焦点坐标为(-4,0)和(4,0),离心率为e1=,不妨设双曲线方程为=1(a0,b0),则其离心率e=2,由c=4,可知a=2,所以b2=c2-a2=42-22=12,b=2,故所求双曲线的标准方程为=1,渐近线方程为y=x,y=x,实轴长为2a=4,虚轴长为2b=4.8.已知双曲线与椭圆=1有相同焦点,且经过点(4,6).(1)求双曲线方程;(2)若双曲线的左、右焦点分别是F1,F2,试问在双曲线上是否存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.解(1)椭圆=1的焦点在x轴上,且c=4,即焦点为(4,0),于是可设双曲线方程为=1(a0,b0),则有解得a2=4,b2=12,故双曲线方程为=1.(2)假设在双曲线上存在点P,使得|PF1|=5|PF2|,则点P只能在右支上.由于在双曲线=1中,由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2a=4,于是得|PF1|=5,|PF2|=1.但当点P在双曲线右支上时,点P到左焦点F1的距离的最小值应为a+c=6,故不可能有|PF1|=5,即在双曲线上不存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.
