1、四川省泸县第四中学2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 理(含解析)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷选择题(60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位,复数满足,则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用复数除法的运算法则可以直接求出复数的表达式.【详解】,故本题选D.【点睛
2、】本题考查了复数的除法运算法则,考查了数学运算能力.2.已知函数的定义域为A,则 ( )A. 或B. 或C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求集合,再由补集运算即可得.【详解】已知函数的定义域为,所以,得,即,故.故选D【点睛】本题考查了集合的补集运算,不等式的解法,属于基础题.3.函数的图像为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由,得的图象关于原点对称,当时,得,对选项分析判断即可.【详解】由,得的图象关于原点对称,排除C,D.当时,得,排除B.故选A【点睛】本题考查了函数图像的识别,利用了函数的奇偶性等性质,属于基础题.4.已知随机变量,且,则A. B. C. D.
3、 【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可得到答案.【详解】由于,故选B.【点睛】本题主要考查正态分布中概率的计算,难度不大.5.展开式中x2的系数为( )A. 15B. 60C. 120D. 240【答案】B【解析】【详解】展开式的通项为,令6-r=2得r=4,展开式中x2项为,所以其系数为60,故选B6.随机变量服从二项分布,且,则等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为,所以,解得.即等于.故选B.7.函数在上的最小值为( )A. -2B. 0C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得函数的导数,得到函数在区间上的单调性,即可求解函数的最小值,得到答案【详解】由
4、题意,函数,则,当时,函数单调递减;当时,函数单调递增,所以函数在区间上最小值为,故选D【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的最值问题,其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性,进而求解函数的最值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题8.函数的导函数的图象如图所示,则下列说法错误的是( )A. 为函数的单调递增区间B. 为函数的单调递减区间C. 函数在处取得极小值D. 函数在处取得极大值【答案】D【解析】【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系,以及函数在某点取得极值的条件,即可求解,得到答案【详解】由题意,函数的导函数的图象可知:当时,函数单调递减;当时,函数单调递增;当时,函数
5、单调递减;当时,函数单调递增;所以函数单调递减区间为,递增区间为,且函数在和取得极小值,在取得极大值,故选D【点睛】本题主要考查了导函数与原函数的关系,以及函数的单调性与极值的判定,其中解答中根据导函数的图象得出原函数的单调性是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力,属于基础题9.已知函数,满足,则实数的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,3)C. (1,3)D. (2,4)【答案】A【解析】【分析】首先求出函数的定义域,把代入函数中化简,解出不等式的解,即可得到答案【详解】函数的定义域为,由可得:,两边平方:则(1)或(2)解(1)得:无解 ,解(2)得:,所以实数的
6、取值范围是:;故答案选A【点睛】本题主要考查对数不等式的解,解题时注意定义域的求解,有一定综合性,属于中档题10. 高三(1)班需要安排毕业晚会4个音乐节目、2个舞蹈节目和l个曲艺节目的演出顺序要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( )A 800B. 5400C. 4320D. 3600【答案】D【解析】先排4个音乐节目和1个曲艺节目共有种排法,再从5个节目的6隔空插入两个不同的舞蹈节目有种排法,共有种排法,故选D11.过双曲线的右焦点与轴垂直的直线与渐近线交于A,B两点,若的面积为,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析:由题意,得代入,得交点,则.
7、整理,得,故选D.考点:1、双曲线渐近线;2、双曲线离心率.12.已知函数,若函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】令则当或时,单调递增,当时,单调递减当时,取得极大值,且;当时,取得极小值,且函数有三个不同的零点,直线与函数的图象有三个交点,即实数的取值范围为选C点睛:研究方程根(或函数零点)的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求,画出大致的函数图象,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现第II卷非选择题(90分)二、填空题:本题共4小题,每
8、小题5分,共20分.13.设函数若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为_【答案】 【解析】【分析】首先根据奇函数的定义,得到,即,从而确定出函数的解析式,之后对函数求导,结合导数的几何意义,求得对应切线的斜率,应用点斜式写出直线的方程,最后整理成一般式,得到结果.【详解】因为函数是奇函数,所以,从而得到,即,所以,所以,所以切点坐标是,因,所以,所以曲线在点处的切线方程为,故答案是.【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题,涉及到的知识点有奇函数的定义,导数的几何意义,属于简单题目.14.函数的单调递增区间为_.【答案】【解析】函数有意义,则: ,且: ,由 结合函数定义域可得函数的单
9、调递增区间为,故答案为.15.有5名学生做志愿者服务,将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务,每个地方至少有1名学生,则不同的分配方案有_种(用数字作答).【答案】150【解析】【分析】由题意可知,由两种分配方案分别为2,2,1型或3,1,1型,每一种分配全排即可.【详解】解:将5名志愿者分配到这三个地方服务,每个地方至少1人,其方案为2,2,1型或3,1,1型其选法有或,而每一种选法可有安排方法,故不同的分配方案有150种故答案为150【点睛】本题考查了排列与组合的计算公式、“乘法原理”等基础知识与基本方法,属于中档题16.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,A1A底面ABCD,
10、底面ABCD是正方形,AB2,A1A4,M为A1A的中点,则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】连接BC1,则BC1AD1,可得MBC1为异面直线AD1与BM所成角,由已知求解三角形MBC1 的三边长,再由余弦定理求异面直线AD1与BM所成角的余弦值【详解】如图,连接BC1,则BC1AD1,MBC1为异面直线AD1与BM所成角,在正四棱柱AC1中,由AB2,A1A4,M为A1A的中点,得,在MBC1中,由余弦定理得:cosMBC1故答案为【点睛】本题考查异面直线所成角的求法,考查数学转化思想方法,是基础题三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第
11、1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.“微信运动”是手机推出的多款健康运动软件中的一款,某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”,对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号,低于10000步称为“参与者”,为了解老师们运动情况,选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析,统计结果如下:运动达人参与者合计男教师602080女教师402060合计10040140()根据上表说明,能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关?()从具有“运动达人”称号的教师中,采用按性别分层
12、抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动,若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式,设抽取的3人中女教师人数为,写出的分布列并求出数学期望.参考公式:,其中.参考数据:0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)不能在犯错误的概率不超过的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关;(2)见解析.【解析】【分析】(1)计算比较3.841即可得到答案;(2)计算出男教师和女教师人数,的所有可能取值有,分别计算概率可得分布列,于是可求出数学期望.【详解】(1)根据列联表数据得:不能在犯错误的概率不超过的前提下认为获得“运动达人”
13、称号与性别有关(2)根据分层抽样方法得:男教师有人,女教师有人由题意可知,的所有可能取值有则;的分布列为:【点睛】本题主要考查独立性检验统计思想,超几何分布的分布列与数学期望,意在考查学生的分析能力,计算能力.18.已知函数在处有极小值(1)求、的值;(2)求出函数的单调区间【答案】单调增区间为和,函数的单调减区间为【解析】(1)由已知,可得f(1)13a2b1,又f(x)3x26ax2b,f(1)36a2b0.由解得(2)由(1)得函数的解析式为f(x)x3x2x.由此得f(x)3x22x1.根据二次函数的性质,当x1时,f(x)0;当x1时,f(x)0.因此,在区间和(1,)上,函数f(x
14、)为增函数;在区间上,函数f(x)为减函数19.如图,棱锥的底面是矩形, 平面,.(1)求证: 平面;(2)求二面角的大小;【答案】(1)详见解析;(2)【解析】【分析】试题分析:(1)利用空间向量证明线面垂直,即证平面的一个法向量为 ,先根据条件建立恰当直角坐标系,设立各点坐标,利用向量数量积证明为平面的一个法向量,最后根据线面垂直判定定理得结论(2)利用空间向量求二面角,先利用解方程组的方法求出平面法向量,利用向量数量积求出两法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角大小【详解】试题解析:证:(1)建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).
15、在RtBAD中,AD=2,BD=,AB=2.B(2,0,0)、C(2,2,0),即BDAP,BDAC,又APAC=A,BD平面PAC.(2)由(1)得.设平面PCD的一个法向量为,则, 即,故平面PCD的法向量可取为PA平面ABCD,为平面ABCD的法向量. 设二面角PCDB的大小为,依题意可得.20.已知函数.()讨论函数的单调性;()设,若对任意的,恒成立,求的取值范围.【答案】() (1)若,在上单调递增;(2)若,在上单调递增;在上单调递减; ().【解析】【分析】(I)先求得函数的导数和定义域,然后对分成两类,讨论函数的单调性.(II)将原不等式恒成立转化为“对任意的恒成立”,根据(
16、I)的结论,结合函数的单调性,以及恒成立,求得的取值范围.【详解】() ,(1)若,则,函数在上单调递增;(2)若,由得;由得 函数在上单调递增;在上单调递减. ()由题设,对任意的恒成立即对任意的恒成立即对任意的恒成立 ,由()可知,若,则,不满足恒成立,若,由()可知,函数在上单调递增;在上单调递减. ,又恒成立,即, 设,则函数在上单调递增,且,解得的取值范围为 .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查分类讨论的数学思想方法,考查运算求解能力,综合性很强,属于难题.21.已知抛物线的内接等边三角形的面积为(其中为坐标原点)(1)试求抛物线
17、的方程;(2)已知点两点在抛物线上,是以点为直角顶点的直角三角形求证:直线恒过定点;过点作直线的垂线交于点,试求点的轨迹方程,并说明其轨迹是何种曲线【答案】(1);(2)证明见解析;,是以为直径的圆(除去点.【解析】【分析】(1)设A(xA,yA),B(xB,yB),由|OA|OB|,可得2pxA2pxB,化简可得:点A,B关于x轴对称因此ABx轴,且AOx30可得yA2p,再利用等边三角形的面积计算公式即可得出;(2)由题意可设直线PQ的方程为:xmy+a,P(x1,y1),Q(x2,y2)与抛物线方程联立化为:y2mya0,利用PMQ90,可得0利用根与系数的关系可得m,或(m),进而得出
18、结论;设N(x,y),根据MNNH,可得0,即可得出【详解】(1)解依题意,设,则由,得,即,因为,所以,故,则,关于轴对称,所以轴,且,所以.因为,所以,所以,故,故抛物线的方程为.(2)证明 由题意可设直线的方程为,由,消去,得,故,.因为,所以.即.整理得,即,得,所以或.当,即时,直线的方程为,过定点,不合题意舍去.故直线恒过定点.解 设,则,即,得,即,即轨迹是以为直径的圆(除去点).【点睛】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、等边三角形的性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、直线经过定点问题,考查了推理能力与计算能力,属于中档题(二)
19、选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,线的极坐标方程是.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)己知直线与曲线交于、两点,且,求实数的值.【答案】(1)的普通方程;的直角坐标方程是;(2)【解析】【分析】(1)把直线l的标准参数方程中的t消掉即可得到直线的普通方程,由曲线C的极坐标方程为2sin(),展开得(sin+cos),利用即可得出曲线的直角坐标方程;(2)先求得圆心到直线的距离为,再用垂径定理即可求解【详解】(1)由直线的参数
20、方程为,所以普通方程为由曲线的极坐标方程是,所以,所以曲线的直角坐标方程是(2)设的中点为,圆心到直线的距离为,则,圆,则,,由点到直线距离公式,解得,所以实数的值为.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程,考查了点到直线的距离公式,圆中垂径定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题23.选修45:不等式选讲已知关于的不等式的解集为(1)求的最大值;(2)已知,且,求的最小值及此时,的值【答案】(1);(2),时,最小值为 【解析】试题分析: (1)由绝对值三角不等式可得 最小值为.再解不等式即得的最大值;(2)由柯西不等式得 ,即得的最小值,再根据等于号成立条件解得,的值试题解析: (1)因为 .当或时取等号,令所以或解得或的最大值为(2)由柯西不等式, ,,等号当且仅当,且时成立即当且仅当,时,的最小值为