1、圆锥曲线的定点、定值问题1、已知平面内的动点到定直线:的距离与点到定点之比为(1)求动点的轨迹的方程;(2)若点N为轨迹上任意一点(不在x轴上),过原点O作直线AB交(1)中轨迹于点A、B,且直线AN、BN的斜率都存在,分别为、,问是否为定值? (3)若点M为圆O:上任意一点(不在x轴上),过M作圆O的切线,交直线于点Q,问MF与OQ是否始终保持垂直关系?2、已知椭圆的离心率为,一条准线为,若椭圆与轴交于两点,是椭圆上异于的任意一点,直线交直线于点,直线交直线于点,记直线的斜率分别为. (1)求椭圆的方程;(2)求的值;(3)求证:以为直径的圆过轴上的定点,并求出定点的坐标.3、已知圆,点,直
2、线.求与圆相切,且与直线垂直的直线方程;在直线上(为坐标原点),存在定点(不同于点),满足:对于圆上任一点,都有为一常数,试求所有满足条件的点的坐标.4、已知椭圆E:的左焦点为F,左准线与x轴的交点是圆C的圆心,圆C恰好经过坐标原点O,设G是圆C上任意一点.(1)求圆C的方程;(2)若直线FG与直线交于点T,且G为线段FT的中点,求直线FG被圆C所截得的弦长;(3)在平面上是否存在定点P,使得?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.5、已知()求过点A与相切的直线l的方程;()设关于直线l对称的圆,则在x轴上是否存在点P,使得P到两圆的切线长之比为?荐存在,求出点P的坐标;若不存在,试说
3、明理由6、已知椭圆的左、右焦点分别为,其半焦距为,圆的方程为()若是圆上的任意一点,求证:为定值;()若椭圆经过圆上一点,且,求椭圆的离心率;()在()的条件下,若为坐标原点),求圆的方程。7、已知椭圆E:的左焦点为F,左准线l与x轴的交点是圆C的圆心,圆C恰好经过坐标原点O,设G是圆C上任意一点()求圆C的方程;()若直线FG与直线l交于点T,且G为线段FT的中点,求直线FG被圆C所截得的弦长;()在平面上是否存在一点P,使得?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由8、已知抛物线的顶点在坐标原点,准线的方程为,点在准线上,纵坐标为,点在轴上,纵坐标为(1)求抛物线的方程;(2)求证:直线
4、恒与一个圆心在轴上的定圆相切,并求出圆的方程。9、设圆,动圆 (1)求证:圆、圆相交于两个定点; (2)设点P是椭圆上的点,过点P作圆的一条切线,切点为,过点P作圆的一条切线,切点为,问:是否存在点P,使无穷多个圆,满足?如果存在,求出所有这样的点P;如果不存在,说明理由10、在平面直角坐标系中,已知圆和圆(1) 若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;(2) 是否存在一个定点,使过点有无数条直线与圆和圆都相交,且被两圆截得的弦长相等,若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.解析几何的定点、定值问题1、已知平面内的动点到定直线:的距离与点到定点之比为(1)求动点的轨迹的方程;(2)若点
5、N为轨迹上任意一点(不在x轴上),过原点O作直线AB交(1)中轨迹于点A、B,且直线AN、BN的斜率都存在,分别为、,问是否为定值? (3)若点M为圆O:上任意一点(不在x轴上),过M作圆O的切线,交直线于点Q,问MF与OQ是否始终保持垂直关系?1 解:(1)设点,依题意,有 -2分整理,得所以动点的轨迹的方程为 -5分(2)由题意:设N,A ,则B , -7分=为定值。-10分设(3)M,则切线MQ的方程为:由得Q -12分, = -15分(第2题图)所以:即MF与OQ始终保持垂直关系 -16分2、已知椭圆的离心率为,一条准线为,若椭圆与轴交于两点,是椭圆上异于的任意一点,直线交直线于点,直
6、线交直线于点,记直线的斜率分别为. (1)求椭圆的方程;(2)求的值;(3)求证:以为直径的圆过轴上的定点,并求出定点的坐标.3、已知圆,点,直线.求与圆相切,且与直线垂直的直线方程;在直线上(为坐标原点),存在定点(不同于点),满足:对于圆上任一点,都有为一常数,试求所有满足条件的点的坐标.3解:设所求直线方程为,即,直线与圆相切,得,所求直线方程为 -5分方法1:假设存在这样的点,当为圆与轴左交点时,;当为圆与轴右交点时,依题意,解得,(舍去),或。 -8分下面证明 点对于圆上任一点,都有为一常数。设,则, ,从而为常数。 -15分方法2:假设存在这样的点,使得为常数,则,将代入得,即对恒
7、成立, -8分,解得或(舍去),所以存在点对于圆上任一点,都有为常数。 -15分4、已知椭圆E:的左焦点为F,左准线与x轴的交点是圆C的圆心,圆C恰好经过坐标原点O,设G是圆C上任意一点.(1)求圆C的方程;(2)若直线FG与直线交于点T,且G为线段FT的中点,求直线FG被圆C所截得的弦长;(3)在平面上是否存在定点P,使得?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.4(1)由椭圆E:,得:,又圆C过原点,所以圆C的方程为4分(2)由题意,得,代入,得,所以的斜率为,的方程为, 8分(注意:若点G或FG方程只写一种情况扣1分)所以到的距离为,直线被圆C截得弦长为故直线被圆C截得弦长为710分
8、(3)设,则由,得,整理得,12分又在圆C:上,所以,代入得, 14分又由为圆C 上任意一点可知,解得所以在平面上存在一点P,其坐标为 16分5、已知()求过点A与相切的直线l的方程;()设关于直线l对称的圆,则在x轴上是否存在点P,使得P到两圆的切线长之比为?荐存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由5解:(1),因为点A恰在上,所以点A即是切点,所以,直线l的方程为;(8分)(2)因为点A恰为C1C2中点,所以,所以,设,或,(11分)由得,由得,求此方程无解。综上,存在两点P(-2,0)或P(10,0)适合题意(16分)6、已知椭圆的左、右焦点分别为,其半焦距为,圆的方程为()若是圆上
9、的任意一点,求证:为定值;()若椭圆经过圆上一点,且,求椭圆的离心率;()在()的条件下,若为坐标原点),求圆的方程。6、解:()设是圆上的任意一点,则()在7、已知椭圆E:的左焦点为F,左准线l与x轴的交点是圆C的圆心,圆C恰好经过坐标原点O,设G是圆C上任意一点()求圆C的方程;()若直线FG与直线l交于点T,且G为线段FT的中点,求直线FG被圆C所截得的弦长;()在平面上是否存在一点P,使得?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由7、(1)知:圆C的方程为(4分)8、已知抛物线的顶点在坐标原点,准线的方程为,点在准线上,纵坐标为,点在轴上,纵坐标为(1)求抛物线的方程;(2)求证:直
10、线恒与一个圆心在轴上的定圆相切,并求出圆的方程。8.解:(1)设抛物线的方程为,因为准线的方程为,所以,即,因此抛物线的方程为 4分(2)由题意可知,,则直线方程为:,即,8分设圆心在轴上,且与直线相切的圆的方程为,则圆心到直线的距离, 10分即或 由可得对任意恒成立,则有,解得(舍去)14分由可得对任意恒成立,则有,可解得因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切,圆的方程为.16分9、设圆,动圆 (1)求证:圆、圆相交于两个定点; (2)设点P是椭圆上的点,过点P作圆的一条切线,切点为,过点P作圆的一条切线,切点为,问:是否存在点P,使无穷多个圆,满足?如果存在,求出所有这样的点P;如果不存在,
11、说明理由9解(1)将方程化为,令得或,所以圆过定点和,4分将代入,左边=右边,故点在圆上,同理可得点也在圆上,所以圆、圆相交于两个定点和;6分(2)设,则,8分, 10分即,整理得(*)12分存在无穷多个圆,满足的充要条件为有解,解此方程组得或,14分故存在点P,使无穷多个圆,满足,点P的坐标为16分10、在平面直角坐标系中,已知圆和圆(1) 若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;(2) 是否存在一个定点,使过点有无数条直线与圆和圆都相交,且被两圆截得的弦长相等,若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.10、解:(1)由于直线与圆不相交,所以直线的斜率存在. 设直线的方程为,圆的圆心到的距离为,所以.由点到直线的距离公式得,从而所以或,所以直线的方程为或.8分 (2)假设存在,设点的坐标为的方程为,因为圆和圆的半径相等,被截得的弦长也相等,所以点和圆的半径相等,被的距离相等,即,整理得:,因为的个数有无数多个,所以 解得 综上所述,存在满足条件的定点,且点的坐标为. 16分