1、余弦定理层级(一)“四基”落实练1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b3，c2，则A()A30B45C60 D90解析：选Ca，b3，c2，由余弦定理得，cos A，又由A(0，180)，得A60，故选C.2在ABC中，cos C，BC1，AC5，则AB ()A4 BC. D2解析：选A在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132，AB4.3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若0，则ABC ()A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形C一定是钝角三角形 D是锐角或直角三角形解析：选C由0得cos C0，所以cos C0，从
2、而C为钝角，因此ABC一定是钝角三角形4在ABC中，已知(abc)(bca)(2)bc，则角A等于 ()A30 B60C120 D150解析：选A(bc)2a2b2c22bca2(2)bc，b2c2a2bc，cos A，A30.5(多选)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cos A，且bc，则 ()Ab2 Bb2CB60 DB30解析：选AD由a2b2c22bccos A，得4b2126bb26b80(b2)(b4)0，由bc，得b2.又a2，cos A，所以BA30，故选A、D.6已知a，b，c为ABC的三边，B120，则a2c2acb2_.解析：b2a2c22a
3、ccos Ba2c22accos 120a2c2ac，a2c2acb20.答案：07边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是_解析：设中间角为，则为锐角，cos ，60，18060120为所求答案：1208(1)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C，a2，b2，求c；(2)在ABC中，acos Abcos Bccos C，试判断三角形的形状解：(1)sin C，且0C，C或.当C时，cos C，此时c2a2b22abcos C4，c2.当C时，cos C，此时c2a2b22abcos C28，c2.综上所述，c的值为2或2.(2)由余弦定理知cos A，cos
4、 B，cos C，代入已知条件，得abc0，通分得a2(b2c2a2)b2(c2a2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形层级(二)能力提升练1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Aacos Bc2，ab2，则ABC的周长为()A7.5 B7C6 D5解析：选Dbcos Aacos Bc2，由余弦定理可得bac2，整理可得2c22c3，解得c1，则ABC的周长为abc2215.2在锐角ABC中，b1，c2，则a的取值范围是()A1a3 B1a5C.a0，即a25，ac2，
5、即a23，a，故a.故选C.3在ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2ac，则B的取值范围是_解析：cos B.0B，B.答案：4在ABC中，a3，bc2，cos B.(1)求b，c的值；(2)求sin(BC)的值解：(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b232c223c.因为bc2，所以(c2)232c223c，解得c5，所以b7.(2)因为cos A，所以sin A.在ABC中，BCA，所以sin(BC)sin A.5.如图所示，在ABC中，sin，AB2，点D在线段AC上，且AD2DC，BD，求cosACB的值解：因为sin，所以cosABC12sin212212.
6、在ABC中，设BCa，AC3b，由余弦定理可得9b2a24a.在ABD和DBC中，由余弦定理可得cosADB，cosBDC.因为cosADBcosBDC，所以，所以3b2a26.由可得a3，b1，则BC3，AC3，所以cosACB.层级(三)素养培优练1.2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国，作为主要战场的武汉，仅用了十 余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院，再次体现了中国速度随着疫情发展，某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院，其占地是一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400 m的等腰三角形组成的图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为()A. BC.
7、D.解析：选D设顶角为，由三角形的面积公式可得4个等腰三角形的面积和为4400400sin ，由余弦定理可得正方形边长为400，故正方形面积为160 000(22cos )320 000(1cos )，所以所求占地面积为320 000(1cos sin )320 000，故当，即时，占地面积最大，此时底角为.2已知ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.(1)求证：acos Bbcos Ac；(2)在，ccos A2bcos Aacos C，2a，这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答，若a7，b5，_，求ABC的周长解：(1)证明：根据余弦定理：acos Bbcos Aa
8、bc，所以acos Bbcos Ac.(2)选：因为，所以2ccos Abcos Aacos B，所以由(1)中所证结论可知，2ccos Ac，即cos A，因为A(0，)，所以A；选：因为ccos A2bcos Aacos C，所以2bcos Aacos Cccos A，由(1)中的证明过程同理可得，acos Cccos Ab，所以2bcos Ab，即cos A，因为A(0，)，所以A；选：因为2abc，所以2acos Abcos Cccos B，由(1)中的证明过程同理可得，bcos Cccos Ba，所以2acos Aa，即cos A，因为A(0，)，所以A.选或选或选中的任一条件，都可得A.在ABC中，由余弦定理知，a2b2c22bccos A25c210c49，即c25c240，解得c8或c3(舍去)，所以abc75820，即ABC的周长为20.
