1、第三章检测(A)(时间:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 下列命题正确的是()A.若 acbc,则 abB.若 a2b2,则 abC.若 ,则 abD.若 ,则 ab解析 A 中,若 c0,则不等式不成立;B 中,若 a,b 均小于 0 或 a0,bNB.MNC.M0,所以 MN.答案 A3 不等式 x2-2x-52x 的解集是()A.x|x5 或 x-1 B.x|x5 或 x-1C.x|-1x0,所以(x-5)(x+1)0,解得 x5.答案 B4 若实数 x,y 满足不等式组-
2、则该约束条件所围成的平面区域的面积是()A.3B.C.2D.2 解析因为直线 x-y=-1 与 x+y=1 互相垂直,所以如图阴影部分所示的可行域为直角三角形,易得 A(0,1),B(1,0),C(2,3),故|AB|=,|AC|=2,故所求面积 S=2 =2.答案 C5 若集合 A=x|-12x+13,B=|-,则 AB=()A.x|-1x0B.x|0 x1C.x|0 x2D.x|0 x1解析由于 A=x|-12x+13=x|-1x1,B=-=x|0 x2,故 AB=x|-1x1x|0 x2=x|00 的解集是 -,则 a+b 的值等于()A.-10B.-14C.10D.14解析由题意,知-
3、是方程 ax2+bx+2=0 的两根,由根与系数的关系,得-解得 a=-12,b=-2,所以 a+b=-14.答案 B7 已知关于 x 的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40 对一切 xR 恒成立,则实数 a 的取值范围是()A.(-,2)B.-2,2C.(-2,2D.(-,-2)解析当 a=2 时,不等式即-40 显然成立,当 a-20 时,需要满足 a-20,且=4(a-2)2+16(a-2)0-2a2,所以-20,N0,MN81,所以 M+N2 2 =18,当且仅当 M=N=9 时,等号成立.答案 B9 已知当变量 x,y 满足约束条件 时,z=x-3y 的最大值为 8,则实数 m
4、 的值是()A.-4B.-3C.-2D.-1解析作出可行域,平移直线 x-3y=0,可知当目标函数经过直线 y=x 与 x=m 的交点(m,m)时,取得最大值,由 m-3m=8,得 m=-4.答案 A10 若 f(x)是偶函数,且当 x0,+)时,f(x)=x-1,则 f(x-1)0 的解集是()A.x|-1x0B.x|x0 或 1x2C.x|0 x2D.x|1x2解析由题意可画出偶函数 f(x)的图象,如图所示,由 f(x-1)0,数形结合法可得-1x-11,故 0 x0,y0,且 x+2y=1,则 的最小值为 .解析 ()(x+2y)=3+3+2,当且仅当 ,且 x+2y=1,即 y=-,
5、x=-1 时,等号成立.答案 3+2 12 给定区域 D:令点集 T=(x0,y0)D|x0,y0Z,(x0,y0)是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点,则 T 中的点共确定 条不同的直线.解析由区域 D:画出可行域如图阴影部分所示.满足条件的(x0,y0)有(0,1),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),故 T 中的点共确定 6 条不同的直线.答案 613 已知 f(x)=则不等式 xf(x)+x2 的解集是 .解析分类讨论:当 x0 时,f(x)=1,则不等式变为 x+x2,所以 x1,所以 0 x1;当 x0 时,f(x)=0,则不等式变为 x0+x2
6、,所以 x2,所以 x0.综上所述,不等式的解集为x|x1.答案x|x114 要挖一个底面积为 432 m2的长方体鱼池,周围两侧分别留出宽分别为 3 m(宽的两端),4 m(长的两端)的堤堰,要想使占地总面积最小,此时鱼池的长为 ,宽为 .解析设长方体鱼池的底面长为 x m,则宽为 m,则占地总面积 y=(x+8)()+6x+480768,当且仅当 =6x,即 x=24 时取得最小值.则宽为 =18(m).答案 24 m 18 m15 在 R 上定义运算:xy=(1-x)y,若关于 x 的不等式(x+a)(x-a)1 对任意实数 x 都成立,则 a的取值范围是 .解析由题意,可得(x+a)(
7、x-a)=(1-x-a)(x-a)0 恒成立,故 1-4(-a2+a+1)0,解得-a .答案(-)三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分 8 分)已知集合 A=()-,B=x|log4(x+a)1,若 AB=,求实数 a 的取值范围.分析首先根据条件解出两个集合中的不等式,然后把集合对应的区间在数轴上表示出来,可以根据数轴判断 a 满足的条件.解由()-0,x3 或 x3 或 x-2.由 log4(x+a)1,得 0 x+a4,B=x|-ax4-a.AB=,-1a2.17(本小题满分 8 分)某商店预备在一个月内分批购入
8、每张价值为 20 元的书桌共 36 张,每批都购入 x 张(x 是正整数),且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 张,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x);(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.解(1)设题中比例系数为 k,若每批购入 x 张,则共需分 批,每批价值为 20 x 元,由题意得 f(x)=4+k20 x.当 x=4 时,f(x)=52,得 k=.f(x)=+4x(0
9、 x36,xN+).(2)能.理由:由(1)知 f(x)=+4x(0 x36,xN+),f(x)2 =48(元).当且仅当 =4x,即 x=6 时,上式等号成立.故只需每批购入 6 张书桌,就可以使资金够用.18(本小题满分 9 分)解关于 x 的不等式 56x2+ax-a20.解原不等式可化为(7x+a)(8x-a)0,即()(-)0 时,-x ;当-,即 a=0 时,原不等式的解集为;当-,即 a0 时,x0 时,原不等式的解集为|-;当 a=0 时,原不等式的解集为;当 a2x 的解集为(1,3).(1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等实根,求 f(x)的解析式;(2)若函数 f(
10、x)的最大值不小于 8,求实数 a 的取值范围.解设 f(x)=ax2+bx+c,则 f(x)2xax2+(b-2)x+c0.已知其解集为(1,3),-f(x)=ax2+(2-4a)x+3a.(1)若 f(x)+6a=0 有两个相等实根,即 ax2-(4a-2)x+9a=0 有两个相等实根,则=4+16a2-16a-36a2=0,解得 a=-1(不合题意 舍去),f(x)=-x2+6x-3.(2)由题意可知 f(x)=a(-)-,a0,f(x)max=-8,得 a2-4a+1-8aa2+4a+10.解得 a-2+或 a-2-.又 a0,a 的取值范围是(-,-2-2+,0).20(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(-1)=0,是否存在常数 a,b,c,使不等式xf(x)(x2+1)对一切实数 x 都成立.解由 f(-1)=0,得 a-b+c=0,因为对 xR,不等式 xf(x)(x2+1)成立,取 x=1,有 1f(1)1,所以 f(1)=1,故 a+b+c=1,由联立,可得 b=,c=-a,将其代入 xf(x)(x2+1),得 xax2+x+-a (x2+1)对 xR 恒成立,即 -(-)-由得 a=.由得-a=.综上所述,存在常数 a=,b=,c=满足题意.
