1、高考资源网（） 您身边的高考专家北京京市密云区2019-2020第一学期期末试题高三数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合的并运算，即可容易求得.【详解】因为，故可得.故选：C.【点睛】本题考查集合并集的求解，属基础题.2.双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由方程求得，即可由离心率计算公式求得结果.【详解】因为双曲线的方程是，故可得，故离心率.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.3.若函数
2、满足：对任意正整数，都有，且函数的图象经过点，则在下列选项中，函数通过的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数经过的点，以及，即可容易递推得到结果.【详解】因为过点，且，故可得，故过点.故选：B【点睛】本题考查函数值的求解，属基础题.4.若函数（）的相邻两个极小值点之间的距离为，最大值与最小值之差为2，且为奇函数，则函数的值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质，即可容易求得函数解析式，再求函数值即可.【详解】因为相邻两个极小值点之间的距离为，故可得，则；又因为最大值与最小值之差为2，故可得，则；又因为
3、是奇函数，故可得；故.故选：C.【点睛】本题考查由正弦型三角函数的性质求解析式，属综合基础题.5.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解正弦方程，结合题意即可容易判断【详解】因为，故可得或，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及三角方程的求解，属综合基础题.6.下列函数中，既是偶函数，又是上的增函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式，求得函数单调性和奇偶性即可容易判断.【详解】对，其定义域为，不关于原点对称，故其不是偶函数，故错
4、误；对，其在是减函数，故错误；对，其是偶函数，且在上为增函数，故正确；对，其是奇函数，故错误.故选：C.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及指数函数，对数函数，幂函数的性质，属综合基础题.7.如图所示，四个边长为1的正方形拼成一个大正方形，是其中一个小正方形的一条边，是小正方形其余的顶点，则集合中元素的个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】根据向量的数量积运算，即可容易判断.【详解】根据数量积的定义，元素的个数取决于在向量方向的投影的结果的个数.结合已知条件，由图可知：与，与，与在向量方向的投影相同，故集合中有3个元素.故选：A.【点睛】本题考查数量积
5、的定义，属基础题.8.阶段测试后，甲、乙、丙、丁、戊五位同学排成一排按序走上领奖台领奖，其中甲和乙都在丙的前面走，则不同的排序方法种数共有（ ）A. 20B. 40C. 60D. 80【答案】B【解析】【分析】先求出甲乙丙顺序确定时的所有方法，再考虑甲乙内部的排列即可.【详解】根据题意，若甲乙丙顺序确定，则所有排法有种，再考虑甲和乙的顺序，则所有排法有种.故选：B.【点睛】本题考查部分元素定序问题的排列，属基础题.9.已知函数若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将问题转化为方程有根的问题，进而根据二次方程根的分布即可求解.【详解】根
6、据题意，不妨设，则问题转化为方程有正根，则只需且，解得.故选：A.【点睛】本题考查一元二次方程根的分布问题，属中档题；其中问题的转化是关键.10.设非零向量的夹角为，定义运算“*”：下列命题若，则/；设中，则；（为任意非零向量）；若，则.其中正确命题的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据新运算的定义，对选项进行逐一分析即可求得.【详解】，解得或，故/，则正确；由的定义可知，其结果表示以为一组邻边的平行四边形的面积，故，则正确；不妨取，故可得，而，显然不相等，故错误；若，则，故正确.故选：D.【点睛】本题考查向量新定义问题，属中档题.二、填空题:本大题共6小题，每小
7、题5分，共30分.11.复数对应点在第_象限，复数的实部是_【答案】 (1). 四 (2). 【解析】【分析】根据复数的运算法则化简复数，再求对应点的坐标，以及实部即可.【详解】因为，故其对应的点为位于第四象限，其实部为.故答案为：四；.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属综合基础题.12.抛物线的焦点坐标是_，准线方程是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据抛物线的焦点坐标为，准线方程为，可得本题答案.【详解】因为抛物线的标准方程为，得，所以其焦点左边为，准线方程为.故答案为：；【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标和准线方程，属于基础题.13.若数列是由正数组成的等
8、比数列，且，则公比_，其前项和=_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】根据等比数列的基本量求得公比和前项和即可.【详解】因为是等比数列，且各项均为正数，故；又，故可得.故答案为：；.【点睛】本题考查等比数列的基本量求解，涉及前项和的求解，属基础题.14.在中，分别是角的对边，且，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据余弦定理求得；再根据正弦定理求得即可.【详解】因为，故可得；根据正弦定理可得，又因为则，故可得. 故答案为：；.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属基础题.15.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_【答案】2【解析】【分
9、析】根据三视图还原几何体，再利用棱锥的体积公式即可求得.【详解】根据三视图还原几何体如下所示：则容易知，.故答案为：2.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及棱锥体积的计算，属基础题.16.密云某商场举办春节优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠劵一张，并且每天购物只能用一张优惠券一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%如果顾客需要先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你
10、建议他购买的商品的标价可以是_元【答案】201【解析】【分析】根据题意，构造函数，由函数的值域即可容易求得.【详解】设标价为，则当时，优惠金额；当时，优惠券2的优惠金额，优惠券3的优惠金额.故当标价在之间，只能用优惠券1，故不满足题意；当标价超过100时，若满足题意，且，解得.则答案不唯一，只需在区间内任取一个元素即可.本题中选取标价为.故答案为：.【点睛】本题考查实际问题中函数模型的应用，属中档题.三、解答题: 本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.17.已知角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，角的终边与角的终边关于直线对称（）若为第三象限角，点的纵坐标为，（
11、i）求和的值；（ii）求的值（）求函数的最小值.【答案】（）（i），.（ii）（）【解析】【分析】（）（i）根据三角函数的定义，以及同角三角函数关系，即可容易求得；（ii）由角度终边的对称性，求得，再用正弦的和角公式即可求得；（）利用余弦的倍角公式，将函数转化为关于的二次函数，求其值域即可.【详解】（）（i）因为角的终边与单位圆交于点，的纵坐标为，所以，又因为为第三象限角，所以 因此. （ii）因为角的终边与角的终边关于直线对称，所以，. .（）.由， 所以当时，有最小值.【点睛】本题考查三角函数的定义，同角三角函数关系，诱导公式，以及二次型三角函数的最值，属综合基础题.18.甲、乙两位运动员
12、一起参加赛前培训现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：86 85 79 86 84 84 85 91（）请你运用茎叶图表示这两组数据；（）若用甲8次成绩中高于85分的频率估计概率，对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于85分的次数为，求的分布列及数学期望；（）现要从中选派一人参加正式比赛，依据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位选手参加较为合适？并说明理由【答案】（）茎叶图见解析（）分布列见解析，（）派乙比较合适，理由见解析【解析】【分析】（）根据茎叶图的绘制方法，结合数据绘制即可；（）先计算
13、高于分的概率，再求得的取值，由二项分布的概率求解即可求得其分布列；（）求出两组数据的平均数和方差，据此判断即可.【详解】（）作出茎叶图如下：（）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于85分”为事件A， 随机变量的可能取值为0，1，2，3，且所以，所以变量的分布列为0123P（）派乙参赛比较合适理由如下：， ，因为 ，说明乙的成绩较稳定，更容易发挥队员水平，所以派乙参赛比较合适【点睛】本题考查茎叶图的绘制，以及平均数和方差的计算，以及二项分布的分布列求解，属综合中档题.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为线段的中点. （）求直线与平面所成角的余弦值；（）求二面角的大小；（）若在段上，且直线与平
14、面相交，求的取值范围.【答案】（）（）（）【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系：（）求得直线的方向向量和平面的法向量，通过向量的夹角求得线面角的夹角；（）求出平面的法向量，利用向量法求二面角的大小；（）设出点坐标，根据的方向向量和法向量不垂直，即可求得范围.【详解】（） 因为，所以；又因为，所以，因此.以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 则，. 所以，.设平面的法向量，由得： 令，则 设直线与平面所成角为，则有=所以 即：直线与平面所成角的余弦值为. （）同理可得：平面的法向量， 则有 因为二面角平面角为钝角，所以二面角的大小为. （）设，由得：.则， 又因为直线与平面相交，所
15、以.即: , 解得： 所以的取值范围是.【点睛】本题考查利用向量法求线面角，二面角，以及由线面不平行推证线段比例关系，属综合中档题.20.已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）证明：函数在区间上存在唯一的极大值点；（）证明：函数有且仅有一个零点.【答案】（）（）证明见解析（）证明见解析【解析】【分析】（）求导，从而解得切线的切率，根据点斜式即可求得结果；（）根据的单调性，即可容易求证；（）根据的正负，判断函数的单调性，即可容易证明.【详解】（）因为，所以，又因为， 所以切线方程为，即：. （）证明：因为和在上单调递减，所以在上单调递减， 且又， 所以在内有且仅有一个实数，使得=0，并且当时，
16、当时，所以在区间上有唯一的极大值点. （）证明：当时，此时. 当时，此时. 当时，因为，所以在内单调递增. 因为，所以在上有且仅有一个零点. 综上所述，函数有且仅有一个零点.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点个数和零点个数，以及用导数的几何意义求切线的斜率.21.已知椭圆：的长轴长为4，离心率为直线交于点，倾斜角互补，且直线与椭圆的交点分别为（点在点的右侧）.（）求椭圆的方程；（）证明：直线的斜率为定值；（）在椭圆上是否存在一点，恰好使得四边形为平行四边形，若存在，分别指出此时点和的坐标；若不存在，简述理由.【答案】（）（）证明见解析（）存在，【解析】【分析】（）根据长轴长和离心率即可容易
17、求得，则椭圆方程可得；（）由点在椭圆上，结合的斜率互为相反数，结合韦达定理，即可容易求得两点的坐标，即可求证斜率为定值；（）根据题意，即可容易求得对应点的坐标.【详解】（）根据题意得解得 所以椭圆的方程为 （）易知点在椭圆上. 设直线 ，即 令 消去得设，则所以 因为直线和的倾斜角互补，所以直线设，同理可得 所以 即直线的斜率为定值 （）存在符合已知条件，且使得四边形为平行四边形【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中定值问题的证明，属综合中档题.22.设数组，数称为数组的元素对于数组，规定：数组中所有元素的和为；变换，将数组变换成数组，其中表示不超过的最大整数；若数组，则当且仅当时，如果对
18、数组中任意个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组具有性质（）已知数组，计算，并写出数组是否具有性质；（）已知数组具有性质，证明：也具有性质；（）证明：数组具有性质的充要条件是【答案】（）数组是具有性质，数组不具有性质（）证明见解析（）证明见解析【解析】【分析】（）根据题意，即可容易得，则可判断；（）对都为奇数和都为偶数，结合性质的定义，即可证明；（）从充分性和必要性上，结合（）中所求，即可证明.【详解】（），； 数组是具有性质，数组不具有性质 （）证明：当元素均为奇数时，因为，所以对中任意个元素，不妨设为因为数组具有性质，所以对于，存在一种分法：将
19、其分为两组，每组个素，使得各组内所有元素之和相等如果用替换上述分法中的（），就可以得到对于的一种分法：将其分为两组，每组个元素，显然各组内所有元素之和相等所以此时也具有性质 当元素均为偶数时，因为，所以对中任意个元素，不妨设为因为数组具有性质，所以对于，存在一种分法：将其分为两组，每组个元素，使得各组内所有元素之和相等如果用替换上述分法中的（），就可以得到对于的一种分法：将其分两组，每组个元素，显然各组内所有元素之和相等所以此时也具有性质 综上所述，由数组具有性质可得也具有性质（）证明：（1）充分性：显然成立 （2）必要性：因为数组具有性质，所以对于数组中任意个元素，存在一种分法：将个元素平均分成2组，并且各组内所有元素之和等于同一个正整数，所以均为偶数，从而元素的奇偶性相同由（）可知，如果数组具有性质，那么仍具有性质又因为，当为奇数时，当且仅当时等号成立，当为偶数时，由此得到的充要条件是 易知，当且仅当时等号成立即，当且仅当时等号成立令，假设对于任意的，有，则，又，得，即得 ，所以，且单调递减又因为，矛盾所以存在，有又由结论1，得此时上述过程倒推回去，因为数组均具有性质，即数组中元素的奇偶性相同，可得数组中的所有元素都相同，所以，数组中的元素均相同，即【点睛】本题考查集合新定义问题，属综合困难题.- 20 - 版权所有高考资源网
