1、平面向量线性运算的应用必备知识基础练1.(多选题)若O是ABC所在平面内一点,且满足|=|-2|,则ABC的形状不可能是()A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案AD解析设点M为BC边的中点,由题意可得|=|,|-2|=|2-2|=2|,据此结合题意可知CB=2AM,由三角形的性质可知:ABC的形状是直角三角形.故选AD.2.已知ABC满足=k(其中k是非零常数),则ABC的形状一定是()A.正三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形答案C解析在ABC中,=k(其中k是非零常数),=k(),+k=k,.又不共线,+k=k+=0,|=|,ABC是等腰三角形.故选
2、C.3.已知两个力F1,F2的夹角为90,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60,则F2的大小为()A.5 NB.5 NC.10 ND.5 N答案A解析由题意可知,对应向量如图,=60,F2的大小为|F合|sin60=10=5(N).故选A.4.河水从东向西流,流速为2 km/h,一艘船以2 km/h垂直于水流方向向北横渡,则船实际航行的速度的大小是 km/h.答案4解析由题意,如图,表示水流速度,表示船在静水中的速度,则表示船的实际速度,则|=2,|=2,AOB=90,|=4.5.ABC所在平面上一点P满足=m(m0,m为常数),若ABP的面积为6,则ABC的面积为.答案12解析取
3、AC的中点O,=m(m0,m为常数),m=2,点C到直线AB的距离等于点P到直线AB的距离的2倍,SABC=2SABP=12.6.在静水中划船速度的大小是每分钟40 m,水流速度的大小是每分钟20 m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,那么小船的行进方向应指向哪里?解如图所示,设向量的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以为邻边作平行四边形OACB,连接OC.依题意OCOA,BC=OA=20,OB=40,BOC=30.故船应向上游(左)与河岸夹角为60的方向行进.关键能力提升练7.已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上共
4、线的三个动点,若动点P满足+(),(0,+),则点P的轨迹一定通过ABC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心答案C解析由题意,得=(),即=(),根据平行四边形法则,知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过ABC的重心.8.已知等边ABC的边长为4,P是ABC内(包括边界)的一动点,且(R),则|的最大值为()A.3B.C.2D.答案B解析以A为原点,以AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.ABC是边长为4的等边三角形,A(0,0),B(4,0),C(2,2).设点P的坐标为(x,y),则0x4,0y2.,(x,y)=(4,0)+(2,2)=,消
5、去可得y=(x-3),点P在直线y=(x-3)上.又由条件得直线BC的方程为:y=-(x-4),由解得此时|最大,且最大值为|=,故选B.9.如图,在长方形ABCD中,M,N分别为线段BC,CD的中点,若=1+2,1,2R,则1+2的值为.答案解析设AB=a,AD=b(a0,b0),以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示坐标系,则A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),M,N,则,即=1+2,则解得1=-,2=,则1+2=.10.如图,在直角梯形ABCD中,ABDC,ADDC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=+,则=,=.答案解析以D为原点
6、,DC边所在直线为x轴,DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系.不妨设AB=1,则D(0,0),C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),=(-2,2),=(-2,1),=(1,2).=+,(-2,2)=(-2,1)+(1,2),解得11.在ABC中,点D和E分别在BC,AC上,且,AD与BE交于点R,证明:.证明由A,D,R三点共线,可得=+(1-)+(1-).由B、E、R三点共线,可得=+(1-)=(1-).,=.学科素养创新练12.如图所示,O,A,B三点不共线,=2=3,BC,AD交于点E,设=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)设线段AB,OE,CD的中点分别为L,M,N,试证明L,M,N三点共线.(1)解B,E,C三点共线,令=x+(1-x)=2xa+(1-x)b,同理,A,E,D三点共线,可令=ya+3(1-y)b,比较,得解得a+b.(2)证明)=,=6,L,M,N三点共线.
