1、8.6.2直线与平面垂直第2课时直线与平面垂直的性质定理课后训练巩固提升1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若直线l(与直线BB1不重合)平面A1C1,则()A.B1BlB.B1BlC.B1B与l异面但不垂直D.B1B与l相交但不垂直答案:B2.已知m,n为异面直线,m平面,n平面,直线l满足lm,ln,l,l,则()A.且lB.且lC.与相交,且交线垂直于lD.与相交,且交线平行于l解析:若,则由m知m,而n,所以mn,与m,n为异面直线矛盾,所以平面与平面相交.由m平面,ml,且l,可知l,同理,l,所以l与两平面的交线平行.故选D.答案:D3.已知直线l平面=点O,Al,Bl,A,
2、B,且OA=AB.若AC平面,垂足为C,BD平面,垂足为D,AC=1,则BD=()A.2B.1C.32D.12解析:因为AC平面,BD平面,所以ACBD.连接OD,所以OAOB=ACBD.因为OA=AB,所以OAOB=12.因为AC=1,所以BD=2.答案:A4.已知地面上有两根相距a m的竖直的旗杆,它们的高度分别是b m和c m(bc),则它们顶端的距离为m.解析:如图,根据题意可知AD=bm,BC=cm,AB=am.由线面垂直的性质定理可得ADBC.过点C向AD作垂线,设垂足为E,则在RtCDE中,CE=am,DE=(b-c)m,所以CD=a2+(b-c)2(m).答案:a2+(b-c)
3、25.如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过点D作平面ABC的垂线DE,其中DPC,则DE与平面PAC的位置关系是.解析:因为DE平面ABC,PA平面ABC,所以DEPA.又DE平面PAC,PA平面PAC,所以DE平面PAC.答案:平行6.一条与平面相交的线段,其长度为10 cm,两端点到平面的距离分别是2 cm,3 cm,则这条线段与平面所成的角是.解析:如图,AB是一条与平面相交的线段,作出AC,BD,则ACBD,AC,BD确定的平面与平面交于CD,且CD与AB相交于点O,AB=10,AC=3,BD=2,则AO=6,BO=4,可得AOC=BOD=30.答案:
4、307.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.(1)求证:BD1平面B1AC;(2)求B到平面B1AC的距离.(1)证明:ABB1C,BC1B1C,B1C平面ABC1D1.又BD1平面ABC1D1,B1CBD1.B1BAC,BDAC,AC平面BB1D1D.又BD1平面BB1D1D,ACBD1.BD1平面B1AC.(2)解:OBD,连接OB1交BD1于点E.又OAC,OB1平面B1AC.BEOE,BE即为所求距离.BEOB=BDBD1,BE=BDBD1OB=2a3a22a=33a.8.如图,PA平面ABD,PC平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EFAC.求证:CFDC=
5、CEBC.证明:PA平面ABD,PC平面BCD,PABD,PCBD,PCEF.又PAPC=P,BD平面PAC.又EFAC,PCAC=C,EF平面PAC,EFBD,CFDC=CEBC.9.如图,ABC是等边三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点,求证:(1)DF平面ABC;(2)AFBD.证明:(1)如图,取AB的中点G,连接FG,CG.因为F为BE的中点,所以FGAE,FG=12AE.因为CD平面ABC,AE平面ABC,所以CDAE.因为CD=12AE,所以FGCD,FG=CD.所以四边形CDFG是平行四边形,所以DFCG.因为CG平面ABC,DF平面ABC,所以DF平面ABC.(2)在RtABE中,AE=2a,AB=2a,F为BE的中点,所以AFBE.因为ABC是等边三角形,所以CGAB,所以DFAB.因为FG平面ABC,所以FGGC,FGDF.因为FGAB=G,所以DF平面ABE.因为AF平面ABE,所以DFAF.因为BEDF=F,所以AF平面BDF.因为BD平面BDF,所以AFBD.
