1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(二)高一必修4本节目标 1掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式2会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明1已知|a|2，|b|1，a 与 b 之间的夹角为 60，那么向量a4b 的模为()A2 B2 3C6 D12B解析|a4b|2a28ab16b222821cos 60161212，|a4b|2 3.前置学习 2已知|a|1，|b|2，且(ab)与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是()A60 B30 C135 D45解析(ab)aa2ab0，aba21，cosa，b ab|a|b|11 2 22.a，b135.C前置学习 3设|a|3，|b|
2、2，|c|5，向量 a 与 b 的夹角为6，向量 b与 c 的夹角为3，则|(ab)c|_；|a(bc)|_.15 315前置学习 1向量的数量积(内积)_叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 ab.即 ab_叫做向量 a 在 b 方向上的投影，_叫做向量 b 在 a 方向上的投影2向量数量积的性质设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量(1)aeea_；(2)abab_且 ab_ab；|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b|a|cos|b|cos|a|cosa，b00前置学习(3)aa_或|a|_；(4)cosa，b_；(5)|ab|_|a|b|.3向量数量积
3、的运算律(1)ab_(交换律)；(2)(a)b_(结合律)；(3)(ab)c_(分配律).a2ab|a|b|ba(ab)a(b)acbc|a|2前置学习 探究点一 向量数量积运算律的提出问题 1 类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律abba结合律(ab)ca(bc)分配律(ab)cacbc消去律abbc(b0)acabba正确(ab)ca(bc)错误(ab)cacbc正确abbc(b0)ac错误问题 2 在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反例说明答(ab)ca(bc)不成
4、立，因为(ab)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(bc)表示一个与 a 共线的向量，c 与 a 不一定共线，所以(ab)ca(bc)，一般情况下不会成立abbc(b0)ac 不成立，如图所示显然 abbc，且 ac.探究点二 向量数量积的运算律已知向量 a，b，c 和实数，向量的数量积满足下列运算律：abba(交换律)；(a)b(ab)a(b)(数乘结合律)；(ab)cacbc(分配律)问题 1 证明 abba.答 ab|a|b|cosa，b，ba|b|a|cosb，a，a，bb，a，cosa，bcosb，a，abba.问题 2 证明(a)b(ab)a(b)(提示：分 0，0，0 时，(
5、a)b|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b，a(b)|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b，(ab)|a|b|cosa，b；0 时，cosa，bcosa，bcosa，b，(a)b(ab)a(b)当 0 时，(a)b|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b，(ab)|a|b|cosa，b，a(b)|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b，0 时，cosa，bcosa，bcosa，b，(a)b(ab)a(b)综上所述，(a)b(ab)a(b)问题 3 下面是证明分配律(ab)cacbc 的过程，请你补充完整证明：当 ab 与向量 c 夹角为直角时，如图(1)所示，向量 ab
6、在向量 c 方向上的投影|ab|cosab，c；向量 a 在向量 c 方向上的投影为|a|cosa，c，向量 b 在向量 c 方向上的投影为|b|cosb，c，易知 OA1 与 OB1 互为相反数，即 OA1OB10.所以|ab|cosab，c图(1)0OA1OB1|a|cosa，c|b|cosb，c两边乘以|c|得：|ab|c|cosab，c，acbc(ab)c，即(ab)cacbc.当 ab 与向量 c 夹角为锐角时，如图(2)所示，向量 ab 在向量 c 方向上的投影为|ab|cosab，c；向量 a 在向量 c 方向上的投影为|a|cosa，c，向量 b 在 c 方向上的投影为|b|c
7、osb，c，OC1OA1A1C1，A1C1OB1，图(2)|a|c|cosa，c|b|c|cosb，cOC1OA1OB1OC1OA1OB1|ab|cosab，c|a|cosa，c|b|cosb，c两边同乘以|c|得：|ab|c|cosab，c|a|c|cosa，c|b|c|cosb，c，即(ab)cacbc.当 ab 与向量 c 夹角为钝角时，如图(3)所示，同理可证得(ab)cacbc.图(3)探究点三 平面向量数量积的运算性质实数中，某些多项式乘法公式“移植”到平面向量的数量积运算中仍然成立，请你根据下面多项式乘法中的一些乘法公式类比相应的向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(ab)
8、2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)(ab)a2b2(abc)2a2b2c22ab2bc2ca(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)(ab)a2b2(abc)2a2b2c22ab2bc2ca表中的结论可以用作公式使用：例如，若向量 a、b、c 满足 abc0 且|a|3，|b|1，|c|4，则 abbcca_.解析 方法一 由已知得|c|a|b|，cab，可知向量 a与 b 同向，而向量 c 与它们反向有 abbcca3cos 04cos 18012cos 180341213.方法二(abc)2a2b2c22(abbcca)，abbccaabc2a2b2c2203
9、21242213.13【典型例题】例 1 给出下列结论：若 a0，ab0，则 b0；若 abbc，则 ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0，其中正确结论的序号是_解析 因为两个非零向量 a、b 垂直时，ab0，故不正确；当 a0，bc 时，abbc0，但不能得出 ac，故不正确；向量(ab)c 与 c 共线，a(bc)与 a 共线，故不正确；ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正确小结 向量的数量积 ab 与实数 a、b 的乘积 ab 有联系，同时有许多不同之处例如，由 ab0 并不能得出 a0 或 b0.特 别 是 向 量 的 数 量 积 不 满 足
10、结 合 律，即 一 般 情 况 下(ab)ca(bc)强化训练 跟踪训练 1 设 a，b，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：acbc(ab)c；(bc)a(ca)b 不与 c 垂直；|a|b|ab|；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的序号是_解析 根据向量积的分配律知正确；因为(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，(bc)a(ca)b 与 c 垂直，错误；因为 a，b 不共线，所以|a|、|b|、|ab|组成三角形三边，|a|b|0 且 a 与 b 不同向共线；ab 夹角为钝角的等价条件是 ab0，k0但当k1 时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去综上，k 的取值范围为 k0 且 k1.作业布置 在线完成2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（二）随堂检测完成后点击提交.同学们要认真答题哦！本课小结 作业布置 在线完成 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(二)课后作业.再见
