1、河北2013年高考二轮专题复习教案机械能 一、功和功率1功功是力的空间积累效应。它和位移相对应（也和时间相对应）。计算功有以下方法：按照定义求功。即：W=Fscos。 在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。当时F做正功，当时F不做功，当时F做负功。这种方法也可以表述为：功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积。用动能定理W=Ek或功能关系求功。当F为变力时，高中阶段只能用这种方法求功。这里求得的功是该过程中外力对物体做的总功（或者说是合外力对物体做的功）。利用F-s图象或p-V图象曲线下的面积求功。利用W=Pt计算。mLF例1如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。在下列三种情
2、况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成角的位置。在此过程中，拉力F做的功各是多少？用F缓慢地拉；F为恒力；若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。可供选择的答案有A B C D解：若用F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解。F做的功等于该过程克服重力做的功。选D若F为恒力，则可以直接按定义求功。选B若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。选B、D。在第三种情况下，由=，可以得到，可见在摆角为/2时小球的速度最大。实际上，因为F与mg的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，可以把这样的装置叫做“
3、歪摆”。2一对作用力和反作用力做功的特点一对作用力和反作用力总是大小相等方向相反的。但在同一个过程中，它们所作用的物体的位移可能是相等的，也可能是不等的。因此：一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正、可能为负、也可能为零。特殊地，一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正。3功率功率是描述做功快慢的物理量。功率的定义式：，所求出的功率是时间t内的平均功率。功率的计算式：P=Fvcos，其中是力与速度间的夹角。该公式有两种用法：求某一时刻的瞬时功率。这时F为该时刻的作用力大小，v为瞬时速度，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；当v为某段位
4、移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时间）内F必须为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。重力的功率可表示为PG=mgvy，不论物体做什么运动，也不论物体还受什么力作用，重力的瞬时功率总等于重力和物体在该时刻的竖直分速度的乘积。vafF汽车的两种加速问题。当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，无论哪种，分析时使用的基本公式都是P=Fv和F-f =ma。恒定功率的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，随着v的增大，F必将减小，a也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程
5、发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因为F为变力）。恒定牵引力的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率Pm，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为。此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速过程中功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=Fs计算，不能用W=Pt计算（因为P为变功率）。要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。例2质量为2t的农用汽车，发动机额定功率为30kW，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h。若汽车以额定
6、功率从静止开始加速，当其速度达到v=36km/h时的瞬时加速度是多大？ 解：汽车在水平路面行驶达到最大速度时牵引力F等于阻力f，即Pm=fvm，而速度为v时的牵引力F=Pm/v，再利用F-f=ma，可以求得这时的a=0.50m/s2。v0例3如图所示，一辆汽车以速度v0沿水平公路匀速行驶，所受阻力是车重的0.1倍。后来汽车保持原来的功率开上一个倾角为的较长的上坡路段（已知sin=0.1），设汽车受到的阻力大小没有发生变化。开上斜坡后，下列说法中正确的是A汽车的速率仍保持是v0B牵引力大小未变，但汽车受的合外力沿斜面向下，做匀减速运动C汽车在该坡上减速行驶一定距离后会达到一个稳定速度，其大小为v
7、0/2D汽车开始做匀减速运动直到速度减小为零解 ：汽车上坡瞬间速率未变，牵引力大小也未变，但在沿斜面方向除了牵引力和阻力外，增加了一个沿斜面向下的重力的下滑分力Gsin（由已知得该分力大小和阻力大小相等），因此合力沿斜面向下，开始做减速运动；由P=Fv知，发动机功率不变，速度减小，牵引力F逐渐增大；由Gsin+f- F = ma，加速度将逐渐减小到零。这时牵引力增加到原来的2倍，因此速率减小为v0/2，以后将保持匀速运动。答案选C。二、动能定理1动能定理的表述合外力做的功等于物体动能的变化。（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。表达式为W=Ek（必须是末动能减初动能）动能定理也
8、可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时，后一种表述比较好操作。特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功按代数和加起来，就可以得到总功。动能定理建立起过程量（功）和状态量（动能）间的联系。这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了两个可供选择的途径。2应用动能定理解题的步骤确定研究对象和研究过程。动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。（否则系统内所有内力做的总功可能不为零）。对研究对象进行受力分析。（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）写出该过程中合外力做的功，或分别写出
9、各个力做的功（注意功的正负）的代数和。按照动能定理列式求解。AOBD例4如图所示，DO是水平面，AB是斜面。初速为v0的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A速度刚好为零。如果斜面改为AC（C点在OD之间，图中未画出。已知物体与斜面和水平面之间的动摩擦因数处处相同且不为零），让物体从D点出发沿DCA滑动到A且速度刚好为零，则物体具有的初速度 A一定等于v0 B一定大于v0 C一定小于v0 D决定于斜面的倾角大小解：不妨假设物体经过的水平面长为l1，斜面长为l2，斜面倾角为，动摩擦因数为。则物体由D到A克服摩擦阻力做的功W=mgl1+mgl2cos=mg(l1+l2cos)，不难发现括号内两项之和就
10、是OD的长度。因此物体由D到A克服摩擦阻力做的功跟转折点（B或C）的位置无关。对物体从D到A的全过程用动能定理，两次克服重力做的功和克服摩擦阻力做的功都是相同的，因此两次的动能变化也相同。本题选A。hH例5质量为m的小球从沙坑上方高H处自由下落，停止运动时陷入沙坑深度为h。则在陷入沙坑过程中，求：沙对小球的平均阻力大小。解：从动能定理的角度分析，自由下落过程重力做功等于动能增加，即末动能Ek；陷入沙坑过程合外力做功使动能减小Ek，即mgH=(F-mg)h。如果注意到全过程的始、末状态动能为零，取全过程用动能定理，则直接可得到：mg(H+h)=Fh。可以看出以上各种解法的结论都是一样的，其中全过
11、程用动能定理解是最简洁的。vv02v0Ot02t03t04t05t0t例6质量相等的A、B两物体放在同一水平面上，分别受到水平拉力F1、F2的作用而从静止开始做匀加速运动。经过时间t0和4t0速度分别达到2v0和v0 时，撤去F1和F2。以后物体继续做匀减速运动直至停止。两物体的速度图象如图所示。若在该过程中F1和F2所做的功分别为W1和W2，试比较W1和W2的大小之比。解：撤去拉力后两物体的速度图线平行，可知两个物体受到的摩擦力大小相等。每个物体运动的全过程始、末速度都是零，由动能定理，对每个物体都有拉力做的功等于克服摩擦力做的功，只要比较全过程物体的位移大小即可。分别以两个物体为对象，在它
12、们各自运动的全过程用动能定理，WF=Wffs，位移由速度图线下的面积求出：s1s2=65，所以W1W2=65。三、机械能守恒定律1机械能守恒定律的两种表述在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。对机械能守恒定律的理解：机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球动能表达式中的v，也是相对于地面的速度。既然系统一定含地球，在表达中一般就不再提地球，而是习惯地说成“
13、小球机械能守恒”了。当研究对象只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。（其含义是：在力学问题中，只要没有内能和其它能参与转化，机械能就应该守恒。）“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。2机械能守恒定律的各种表达形式，即Ep+Ek=Ep+Ek；Ep+Ek=0；E1+E2=0；E增=E减用时，需要规定重力势能的参考平面。用时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面
14、的选取没有关系。尤其是用E增=E减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。3解题步骤确定研究对象和研究过程。判断机械能是否守恒。选定一种表达式，列式求解。4应用举例例7如图所示，物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？解：以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒。又由于物块对斜面的压力是斜向左下方的，斜面将向左加速运动，即斜面的机械能将增大，因此物块的机械能一定将减少。Ns有些同学一看到“光滑斜面”，就认为物块本身机械能守恒。这里要提醒两条：由于斜面本身要向左滑动，所以斜面
15、对物块的弹力N和物块的实际位移s的方向已经不再垂直，弹力要对物块做负功，对物块来说已经不再满足“只有重力做功”的条件。由于斜面由静止向左加速，其动能的增加也只能是由物块的机械能转移而来，所以物块的机械能必然减少。ABCv0R例8如图所示，半径R=0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A。一质量m=0.10kg的小球，以初速度v0=7.0m/s在水平地面上向左作加速度a=3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点。求A、C间的距离（取重力加速度g=10m/s2）。解：小球向A匀减速运动过程用运动学公式：v02-vA2
16、=2as，得vA=5.0m/s；由A到B过程用机械能守恒：，得vB=3.0m/s，小球刚好能到达B点的条件是，得v=2m/s，vBv，因此是合理的；小球确实由B点平抛，s=vBt，可得s=1.2mABO例9如图所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根轻质直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：当A到达最低点时，A小球的速度大小v； B球能上升的最大高度h。解：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。过程中A的
17、重力势能减少， A、B的动能和B的重力势能增加，A的瞬时速度总是B的2倍。，解得v1v1/2BAOOABB球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了角。2mg2Lcos=3mgL(1+sin)，解此三角方程可得sin=0.28，因此h=1.28L。 K例10如图所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）解：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到
18、右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2，重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m，则，得。本题在应用机械能守恒定律时选用E增=E减建立方程，在计算系统重力势能变化时用了等效方法。需要注意的是：研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的。四、功能关系做功的过程是能量转化的过程，功是能的转化的量度。能量转化和守恒定律是自然界最基本的定律之一。在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色。本章的主要定理、定律都是由这个基本原理出发而得到的。需要强调的是：功是一种过程量，它和一段位移（一段时间
19、）相对应；而能是一种状态量，它个一个时刻相对应。两者的单位是相同的（都是J），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。本章要求掌握的一个重要内容就是功和能的关系，尤其是功和机械能的关系。要突出“功是能量转化的量度”这一基本规律。物体动能的增量由外力做的总功来量度：W外=Ek，这就是动能定理。物体重力势能的增量由重力做的功来量度：WG= -EP，这就是势能定理。物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W其=E机，（W其表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能定理。当W其=0时，只有重力做功，所以系统的机械能守恒。一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减
20、小的机械能，也就是系统增加的内能。f d=Q（d为这两个物体间相对移动的路程）。vaFG从更广义的角度看，如果我们确定了以某一个系统为研究对象，那么该系统以外的物体对系统内物体做的总功等于系统内总能量的增量。例11质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个过程中，下列说法中正确的有A物体的重力势能增加了(F-mg)H B物体的动能减少了FHC物体的机械能增加了FH D物体重力势能的增加小于动能的减少解：由以上三个定理不难得出正确答案是C。ABCD例12 如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小
21、球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中错误的是A在B位置小球动能最大B在C位置小球动能最大C从AC位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加D从AD位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加解：小球动能的增加用合外力做功来量度，AC小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；CD小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B正确。从AC小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C正确。A、D两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D正确。只有A是错误的，选A。本题是非常重要的一种模型，必须熟练掌握。s1s2d例13如图所示
22、，水平放置的传送带以v=2.0m/s匀速运转，皮带和传送轮间不打滑。将一个质量为m=0.40kg的物体轻轻地放在传送带左端，经过一段时间，该物体和传送带具有了同样的速度。与不放物体相比，电机在这段时间内多做的功是多少？解：电机多做的功除了增加物体的动能以外，还增加了物体和皮带间摩擦产生的内能。设物体加速过程的位移为s1，传送带的位移为s2，相对滑行的距离为d，由于s1= t，s2=v0t，d=s2- s1= s1，而fs1= mv02，Q=fd，所以W=mv02=1.6J。v0212ABC例14如图，带电物体由足够长的固定绝缘斜面底端的A点，以100J的初动能沿斜面向上滑行，以斜面底端为重力势
23、能和电势能的参考平面。空间有水平方向的匀强电场。由AB物体的动能减小了60J，机械能减小了24J，电势能增加了18J。那么在物体上滑又滑回到底端的全过程中，重力势能的最大值是_J；电势能的最大值是_J；回到底端时的动能是_J。解：物体上滑过程动能变化等于合外力做功，因此Ek=F合ss；重力势能变化等于重力做功的负值，因此EP=mghhs；机械能变化等于重力以外的其他力做功，因此E机=F其scoss；电势能变化等于电场力做功的负值，因此E电=Eqscoss；摩擦生热等于克服摩擦力做功，因此Q=fss。可见以上这些能量变化都和s成正比。可将各阶段各种能量的增减情况列表如下：ABBCAC动能Ek-6
24、0J-40J-100J重力势能Ep+36J+24J+60J机械能E机-24J-16J-40J电势能E电+18J+12J+30J内能E内+6J+4J+10J当动能减小到零时，动能减小为100J，机械能减小为40J，重力势能增加最大为60J，电势能增加最大为30J，摩擦生热为10J。上滑、下滑全过程，重力势能和电势能的变化都为零，而摩擦生热为20J，因此末动能为80J。例15“神舟五号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行。运行中需要多次进行 “轨道维持”。即通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的
25、摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是A动能、重力势能和机械能都逐渐减小B重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变C重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变D重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小H上游水库下游水面d解：由于阻力很小，轨道高度的变化很慢，卫星运行的每一圈仍可认为是匀速圆周运动。由于摩擦阻力做负功，根据机械能定理，卫星的机械能减小；由于重力做正功，根据势能定理，卫星的重力势能减小；由可知，卫星动能将增大。这也说明该过程中重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的总功为正。答案选D例16抽水蓄能电站的工作原理是，在用电低谷时（如
26、深夜），电站利用电网多余电能把水抽到高处蓄水池中，到用电高峰时，再利用蓄水池中的水发电。如图，蓄水池（上游水库）可视为长方体，有效总库容量（可用于发电）为V，蓄水后水位高出下游水面H，发电过程中上游水库水位最大落差为d。统计资料表明，该电站年抽水用电为2.4108kWh，年发电量为1.8108kWh。则下列计算结果正确的是（水的密度为，重力加速度为 g，涉及重力势能的计算均以下游水面为零势能面） A 用于发电的水的最大重力势能EP=VgHB能用于发电的水的最大重力势能C电站的总效率是100% D该电站平均每天所发电能可供给一个大城市居民用电（电功率以105kW计）约10hH水库水位下游水位S解
27、：重力势能的减少相当于水库中的水的重心由上游水库中心下降到下游水面，因此能用于发电的水的最大重力势能；电站的总效率应该等于年发电量和年抽水用电量之比，即=1.8108/2.4108kWh =75%；每天提供电能约为年发电量的1/360=5105 kWh，仅能提供该大城市居民用电5h。选B。*注意这种水力发电跟三峡水力发电的区别。三峡水库的水位可以认为是不变的。如右图所示，右端入水口的水在内外压强差的作用下向左运动，通过发电机。压力差做功的过程机械能向电能转化，设入水口横截面积为S，时间t内进入入水口的水柱长为l，则Pt=pSl=gHSl=(Sl)gH= mgH。可见发电过程可等效为水库最高层的
28、水下降到下游江面。重心的下落高度就是坝内外水面高度差。潮汐发电跟抽水蓄能电站是类似的。ABm1m2k例17如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地面时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。解：两次初状态弹簧压缩量x1都满足k
29、x1=m1g，末状态弹簧伸长量x2都满足kx2=m2g，因此从释放到B刚离地面，弹簧弹性势能的变化相同；物体A的重力势能增加量相同；第二次悬挂物重力势能减少比第一次多了m1g(x1+ x2)，因此第二次系统动能的增加量比第一次多了m1g(x1+ x2)。因此末状态系统的总动能为m1g(x1+ x2)。由，解得：。教材和大纲都不要求掌握弹性势能公式，但要求知道弹性势能由弹簧的形变量大小决定（形变量可以是伸长量也可以是压缩量）。往往利用形变量相同时弹性势能相同来解题。五、小结本章介绍了动能定理、机械能守恒定律、功能关系这三种解题方法。在解决每个具体问题时究竟用哪种方法好呢？用功能关系，可以解决任何
30、问题，但不一定是最简单的思路。遇到一道题，可以按以下思路梳理：凡是没有摩擦和介质阻力的情况，用机械能守恒定律解题最简单（因为只需要考虑始、末状态的机械能）；如果不符合机械能守恒的条件，就只能选用动能定理或功能关系了。如果研究对象是单个物体，最好采用动能定理；如果研究对象由多个质点组成，最好采用功能关系。选用不同方法解题，一定要在文字表达中把研究对象、研究过程和所用的定理、定律交代清楚。在列方程时要注意格式：机械能守恒往往用E增=E减列式；动能定理要把各力做的总功写在等号左边，把物体动能变化写在等号右边；功能关系要把外界对系统做的功写在左边，把系统能量的变化写在右边。（动能变化和能量变化都必须用末状态减初状态）
