1、阶段质量检测（三）推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的该过程体现了()A归纳推理B类比推理C没有推理 D演绎推理答案：B2数列3,5,9,17,33，的一个通项公式是()Aan2n Ban2n1Can2n1 Dan2n1答案：B3在ABC中，sin Asin Ccos Acos C，则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D
2、等腰三角形解析：选C由sin Asin C0，即cos B0，则f(a)f(b)的值一定()A大于零 B等于零C小于零 D正负都有可能解析：选A因f(x)x3x是增函数且是奇函数，由ab0，ab，f(a)f(b)，f(a)f(b)0.7甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的
3、成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.8命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”过程应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用 D间接证明法解析：选B从证明的过程来看，符合综合法的证明特点9观察下列各等式：2，2，2，2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.2B.2C.2D.2解析：选A观察分子中26537110(2)8.10用减函数
4、的定义证明函数f(x)x3在R上是减函数的小前提可以是()A减函数的定义B对R上的任意x1x2，都有f(x1)f(x2)C对R上的任意x1x2，都有f(x1)f(x2)D对R上的任意x1f(x2)解析：选D小前提可以是“对R上的任意x1f(x2)”或“对R上的任意x1x2，都有f(x1)0，y0，函数f(x)满足f(x)yf(xy)”的是()A指数函数 B对数函数C一次函数 D余弦函数解析：选A当函数f(x)ax(a0，a1)时，对任意的x0，y0，有f(x)y(ax)yaxyf(xy)，即指数函数f(x)ax(a0，a1)满足f(x)yf(xy)，可以检验，B，C，D选项均不满足要求12六个
5、面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体如图甲，在平行四边形ABCD中，有AC2BD22(AB2AD2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ACBDCADB等于()A2(AB2AD2AA) B3(AB2AD2AA)C4(AB2AD2AA) D4(AB2AD2)解析：选CACBDCADB(ACCA)(BDDB)2(AAAC2)2(BBBD2)4AA2(AC2BD2)4AA4AB24AD2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13用三段论证明f(x)x3xcos x为奇函数的大前提是_答案：若yf(x)满足f(x)f(x)，则yf(
6、x)为奇函数14用反证法证明命题“若a，b是实数，且|a1|b1|0，则ab1”时，应作的假设是_解析：结论“ab1”的含义是a1且b1，故其否定应为“a1或b1”答案：假设a1或b115在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_解析：类比“面积比等于边长比的平方”可得正四面体的体积比等于棱长比的立方，即18.答案：1816.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；，依此类推设BAa1
7、 ，AA1a2 , A1A2a3 ， A5A6a7 ，则 a7_.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC2，所以ABACa12，AA1a2，A1A2a31，A5A6a7a16.法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC2，所以ABACa12，AA1a2，An1Anan1sinanan2n，故a726.答案： 三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，an有如下性质：(m，n，p，qN)通项anam(nm)d；若mnpq，则amanapaq；若mn2p，则aman2
8、ap；Sn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列类比上述性质，在等比数列bn 中，写出相类似的性质解：在等比数列bn中，公比为(0)，前n项和为Sn，bn有如下性质：(m，n，p，qN)通项bnbmnm；若mnpq，则bmbnbpbq；若mn2p，则bmbnb；Sn，S2nSn，S3nS2n(Sn 0)构成等比数列18(本小题满分12分)设数列an的前n项和为Sn，且满足an2Sn(nN)(1)求a1，a2，a3，a4的值并写出其通项公式；(2)根据(1)的结论用三段论证明数列an是等比数列解：(1)由an2Sn，得a11；a2；a3；a4，猜想ann1(nN)(2)对于数列an，若p，p是非
9、零常数，则an是等比数列， 大前提因为数列an的通项公式ann1，且， 小前提所以通项公式为ann1的数列an是等比数列 结论19(本小题满分12分)如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，E，F分别是AB，BD的中点求证：(1)直线EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.证明：(1)因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF是ABD的中位线，所以EFAD，又EF平面ACD，AD平面ACD，所以直线EF平面ACD.(2)因为ADBD，EFAD，所以EFBD，因为CBCD，F是BD的中点，所以CFBD，又EFCFF，所以BD平面EFC.因为BD平面BCD，所以平面EFC平面BCD.20
10、(本小题满分12分)已知ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B为锐角证明：法一(分析法)：要证明B为锐角，因为B为三角形的内角，则只需证cos B0.又cos B，只需证明a2c2b20.即证a2c2b2.a2c22ac，只需证明2acb2.由已知，即2acb(ac)，只需证明b(ac)b2，即证acb成立，在ABC中，最后一个不等式显然成立B为锐角法二(综合法)由题意：，则b，b(ac)2acb2(acb)cos B0，又ycos x在(0，)上单调递减，0B，即B为锐角21(本小题满分12分)在同一平面内，若P，A，B三点共线，则对于平面上任意一点O，有，且1
11、.对这个命题证明如下：证明：因为P，A，B三点共线，所以m，即m()，整理得(1m) m，因为(1m)m1，所以1.请把上述结论和证明过程类比到空间向量解：类比到空间向量所得结论为：在空间中，若P，A，B，C四点共面，则对于空间中任意一点O，有xyz，且xyz1.对这个命题证明如下：证明：因为P，A，B，C四点共面，所以，即()()，整理得(1) ，因为(1)1，所以xyz1.22(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin
12、18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)法一：三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30 cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.法二：三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2
