1、22最大值、最小值问题第1课时函数的最值与导数1函数yf(x)在闭区间a，b上的最值、最值点函数yf(x)在区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)，把f(x0)叫作yf(x)在a，b上的最大值函数yf(x)在区间a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f(x0)，把f(x0)叫作yf(x)在a，b上的最小值2求连续函数在闭区间上最值的方法最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)
2、的值即为函数的最大(小)值函数的最大值和最小值统称为最值3求连续函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的最值一定是极值，而极值不一定是最值()(2)函数的最大值一定大于最小值，函数的极大值一定大于极小值()(3)单调函数在闭区间上一定有最值，一定无极值()(4)若函数存在最大(小)值，则最大(小)值唯一()答案：(1)(2)(3)(4) 当函数f(x)x2cos x在区间上取得最大值时
3、，x的值为()A0BCD解析：选Bf(x)12(sin x)，令f(x)0，解得sin x.因为0x，所以x.当0x时，f(x)0，函数是增加的；当x时，f(x)0，函数是减少的，所以当x时，函数取得极大值，也是最大值 函数f(x)12xx3在区间3，3上的最小值是_解析：f(x)123x23(4x2)，令f(x)0得x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x3(3，2)2(2，2)2(2，3)3f(x)00f(x)9极小值极大值9f(x)极小f(2)16，f(x)极大f(2)16，又f(3)9，f(3)9，故f(x)在3，3上的最小值为16答案：16 函数yx(x0)的极小值为
4、_，极大值为_；此函数_最值(填“有”或“无”)解析：y1，令y0得x1函数yx在(0，1)上y0，当x1时，y极小2，函数yx在(，1)上y0，在(1，0)上y0，当x1时，y极大2，函数的值域为(，22，)，所以此函数没有最值答案：22无1函数最大(小)值的概念已知函数yf(x)的定义域为I(1)若存在x0I，使对任意xI，都有f(x)f(x0)，我们把x0叫作函数yf(x)的最大值点，把f(x0)叫作函数yf(x)的最大值(2)若存在x0I，使对任意xI，都有f(x)f(x0)，我们把x0叫作函数yf(x)的最小值点，把f(x0)叫作函数yf(x)的最小值2函数的最值与极值的区别和联系(
5、1)函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数既没有极大值也没有极小值(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值 求函数在闭区间上的最值求下列各函数的最值(1)f(x)2x36x23，x2，4；(2)f(x)ex(3x2)，x2，5解(1)f(
6、x)6x212x6x(x2)令f(x)0，得x0或x2当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2，0)0(0，2)2(2，4)4f(x)00f(x)37极大值3极小值535所以当x4时，f(x)取得最大值35当x2时，f(x)取得最小值37(2)因为f(x)3exexx2，所以f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)因为在区间2，5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2，5上是递减的，所以x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5求一个函数在闭区间a，b上的最值，一般是先求出f(x
7、)在(a，b)内所有极值和两个端点值f(a)，f(b)，再比较各极值与端点值即可得到函数在a，b上的最值 1.求下列各函数的最值(1)f(x)x33x，x，3；(2)f(x)x2(x1)，求f(x)在闭区间0，2a上的最小值解记g(a)为f(x)在闭区间0，2a上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0，得x11，x2a由于a1，当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x0(0，1)1(1，a)a(a，2a)2af(x)00f(x)0极大值3a1极小值a2(3a)4a3比较f(0)0和f(a)a2(3a)的大小可得，g(a)若把本例中的“a1”改为“|a|1
8、”如何求f(x)在0，2|a|上的最小值解：记g(a)为f(x)在闭区间0，2|a|上的最小值，f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)，当a1时，同本例解析综上所述，f(x)在闭区间0，2|a|上的最小值为g(a)求含参数函数最值的基本方法是：先求导，令导数等于0，求得方程的根，方程的根含有参数时，对参数进行分类讨论 2.设函数f(x)aexb(a0)，求f(x)在0，)内的最小值解：f(x)aex，令f(x)0，得xln a当xln a时，f(x)0，f(x)在(ln a，)上是增加的；当xln a时，f(x)0，f(x)在(，ln a)上是减少的当0a0，所以f(x)在(0，ln
9、 a)上是减少的，在(ln a，)上是增加的，从而f(x)在0，)内的最小值为f(ln a)2b；当a1时，ln a0，所以f(x)在0，)上是增加的，从而f(x)在0，)内的最小值为f(0)ab综上所述，当0a0，区间Ix|f(x)0(1)求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0，1)，当1ka1k时，求I长度的最小值解(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x10，x2，故f(x)0的解集为x|x1xx2因此区间I，I的长度为(2)设d(a)，则d(a)令d(a)0，得a1.由于0k1，故当1ka0，d(a)是增加的；当1a1k时，d(a)0，d(a)是减
10、少的所以当1ka1k时，d(a)的最小值必定在a1k或a1k处取得而1，故d(1k)d(1k)因此当a1k时，d(a)在区间1k，1k上取得最小值本题是利用函数思想构造出区间长度关于参数a为自变量的函数，确定其定义域，再利用函数、导数法求其最值，这是求解涉及两个参数最值问题的常用方法1函数f(x)x33x在1，2上的最小值为()A2B2C0D4解析：选Bf(x)3x233(x21)，令f(x)0得x1，在(1，1)上f(x)0，所以f(x)极小f(1)2，又f(1)2，f(2)2，所以f(x)最小22函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为()A1eB1CeD0解析：选Bf(x)1，令
11、f(x)0得x1，在(0，1)上，f(x)0，在(1，e)上f(x)0，所以f(x)极大f(1)1，又f(e)1e1.所以f(x)在(0，e上最大值为13设M，m分别是函数f(x)在a，b上的最大值和最小值，若Mm，则f(x)_解析：因为f(x)在a，b上的最大值与最小值相等，所以f(x)在a，b上为常函数，f(x)0答案：04函数f(x)x3x22x5，若对于任意x1，2，都有f(x)m，则实数m的取值范围是_解析：f(x)3x2x2，令f(x)0，得x或x1可求得f(x)maxf(2)7，所以对于任意x1，2，f(x)m恒成立时，m7答案：m7 A基础达标1函数f(x)x在区间0，)上()
12、A有最大值，无最小值B有最大值，有最小值C无最大值，无最小值D无最大值，有最小值解析：选A由已知得f(x)的定义域为0，)，f(x)，令f(x)0，得f(x)的单调增区间为0，1)；令f(x)0，得f(x)的单调减区间为(1，)所以f(x)在区间0，)上有最大值，无最小值2函数f(x)在x2，4上的最小值为()A0BCD解析：选Cf(x)，当x2，4时，f(x)0，即函数f(x)在x2，4上是减少的，故当x4时，函数f(x)有最小值3函数f(x)x33axa在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为()A0a1B0a1C1a1D0a解析：选B因为f(x)3x23a，令f(x)0，可得ax2，所以
13、x，又因为x(0，1)，所以00，b0，所以f(x)ax3bx2x在1，1上是增加的，故f(x)在0，1上的最大值f(1)ab24，ab2，f(x)在1，0上的最小值f(1)(ab)2125已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1，1，则f(m)f(n)的最小值为()A13B15C10D15解析：选Af(x)3x22ax，由题意f(2)124a0，所以a3.所以f(x)3x26x，其对称轴x1，开口向下，当n1，1时，f(n)最小f(1)9，令f(x)3x(x2)0，则x0或x2，当x(1，0)时，f(x)0，所以当m1，1时，f(m)最小f(0)4，故f(m)f(n)的最小值
14、为136函数y的最大值为_解析：函数的定义域为(0，)，y，令y0，得xe，当xe时，y0；当0xe时，y0，所以xe是函数的极大值点，也是最大值点，故ymax答案：7若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是_解析：因为2x(xa)1，所以ax令f(x)x，所以f(x)12xln 20，所以f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)f(0)011，所以a的取值范围为(1，)答案：(1，)8若函数f(x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为_解析：f(x)令f(x)0，解得x或x(舍去)当x时，f(x)0；当0x0；当a1时，f(x)maxf()，1，不合题意当0a0，故f(x)在
15、(，2)上是增加的；当x(2，2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上是增加的由此可知f(x)在x12处取得极大值f(2)16c，f(x)在x22处取得极小值f(2)c16，由题设条件知16c28，得c12，此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)c164，因此f(x)在3，3上的最小值为f(2)410已知函数f(x)x3axb(a，bR)在x2处取得极小值(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)m2m在4，3上恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)x2a，由f(2)0，得a4；再由f(2)，得b4所以f(x)x34x4，f(x)x24令f(x)x240，得x2或x2所以
16、f(x)的单调递增区间为(，2)，(2，)(2)因为f(4)，f(2)，f(2)，f(3)1，所以函数f(x)在4，3上的最大值为要使f(x)m2m在4，3上恒成立，只需m2m，解得m2或m3B能力提升11已知函数f(x)x3x2a，函数g(x)x23x，它们的定义域为1，)，并且函数f(x)的图像始终在函数g(x)图像的上方，那么a的取值范围是()A(0，)B(，0)CD解析：选A设h(x)f(x)g(x)x3x2ax23x，则h(x)x24x3(x3)(x1)，所以当x(1，3)时，h(x)单调递减；当x(3，)时，h(x)单调递增当x3时，函数h(x)取得最小值因为f(x)的图像始终在g
17、(x)的图像上方，则有h(x)min0，即h(3)a0，所以a的取值范围是(0，)12函数f(x)xe2x在定义域内的最小值为_解析：函数的定义域为R，f(x)(xe2x)x(e2)xe2xx(e2)xe2xx(e2)xln e2e2x2xe2xe2x(12x)，令f(x)0得x，当x时，f(x)0所以f(x)最小f(x)极小fe1答案：13已知函数f(x)axsin x(aR)在上的最大值为，求函数f(x)的解析式解：由已知得f(x)a(sin xxcos x)，对任意x，有sin xxcos x0，当a0时，f(x)，不合题意当a0，x时，f(x)0，x时，f(x)0，从而f(x)在内是增
18、加的，又f(x)在上的图像是连续不断的，故f(x)在上的最大值为f，即a，解得a1综上所述，f(x)xsin x14(选做题)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上是递增的若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0所以f(x)在上是递增的，在上是递减的(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；当a0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为fln aln aa1因此f2a2等价于ln aa10令g(a)ln aa1，g(a)10，则g(a)在(0，)上是递增的，又g(1)0，于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0因此，a的取值范围是(0，1)
