1、专题能力训练17椭圆、双曲线、抛物线专题能力训练第40页一、能力突破训练1.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1答案:B解析:由题意得ba=52,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为x24-y25=1.2.已知F是抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,过点R(2,1)的直线l与抛物线C相交于A,B两点,R为线段AB的中点.若|FA|+|FB|=5,则直线l的斜率为()A.3B.1
2、C.2D.12答案:B解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).因为R(2,1)为线段AB的中点,所以x1+x2=22=4.根据抛物线的定义可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=22+p=5,解得p=1.所以抛物线方程为y2=2x.所以y12=2x1,y22=2x2,两式相减并化简得y2-y1x2-x1=2y1+y2=221=1,即直线l的斜率为1,故选B.3.(2018全国,理5)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x答案:A解析:e=ca=3,c2a2=b2+a2a2=ba2+1=3.ba=2.
3、双曲线焦点在x轴上,渐近线方程为y=bax,渐近线方程为y=2x.4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y29=1D.x29-y23=1答案:C解析:由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=bax.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EFCD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=12(d1+d2)=3.又因为点F(c,0)到y=bax的距离为
4、|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因为e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为x23-y29=1.故选C.5.(2019全国,理8)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案:D解析:y2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(3p-p,0),3p-p=p24,解得p=8,故选D.6.如图,圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状,则该椭圆的离心率为.答案:32解析:如图,由题意可知椭圆的短轴长为圆柱的直径AC,椭圆的长轴长为AB,且ABC=30.所以AC=2b,AB
5、=2a,且AB=2AC.所以a=2b,所以c=a2-b2=3b.所以e=ca=32.7.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为.答案:233解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,MAN=60,|AP|=32b,|OP|=|OA|2-|PA|2=a2-34b2.设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为,则tan =|AP|OP|=32ba2-34b2.又tan =ba,32ba2-34b2=ba,解得a2=3b2,e=1+b2a2=1+13=2
6、33.8.如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解:(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0)
7、,由题意知:点B,O关于直线PD对称,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.因此,点B的坐标为2t1+t2,2t21+t2.(2)由(1)知|AP|=t1+t2和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=t21+t2.设PAB的面积为S(t),所以S(t)=12|AP|d=t32.9.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|0,而当1或-1为方程的根时
8、,m的值为-1或1.结合题设(m0)可知,m0,且m1.设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),则xQ,xR为方程的两根,因为|PQ|PR|,所以|xQ|1,且1+3m22,所以11+221+3m2-13,且1+221+3m2-153,所以1|PR|PQ|=xRxQ3,且|PR|PQ|=xRxQ53.综上所述,|PR|PQ|的取值范围是1,5353,3.10.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|MA+MB|=OM(OA+OB)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2x00,b0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作
9、C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为()A.5B.2C.3D.2答案:C解析:由题意画图,如图所示,可知|PF2|=b,|OP|=a.由题意,得|PF1|=6a.设双曲线渐近线的倾斜角为.在OPF1中,由余弦定理知cos(180-)=a2+c2-(6a)22ac=c2-5a22ac=-cos .又cos =ac,c2-5a22ac=-ac,解得c2=3a2.e=3.13.已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,C为圆(x+1)2+(y-2)2=1的圆心,则|MF|+|MC|的最小值为.答案:3解析:设抛物线x2=4y的准线方程为l:y=-1.因为点C为圆
10、(x+1)2+(y-2)2=1的圆心,所以点C的坐标为(-1,2).过点M作l的垂线,垂足为点E,根据抛物线的定义可知|MF|=|ME|,所以|MF|+|MC|的最小值,即为|MC|+|ME|的最小值.由平面几何的知识可知,当C,M,E在一条直线上时,此时CEl,|MC|+|ME|有最小值,最小值为CE=2-(-1)=3.14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案:y=22x解析:抛物线x2=2py的焦点F0,p2,准线方程为y=-p2.设
11、A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4p2=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.所以该双曲线的渐近线方程为y=22x.15.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M0,15,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求
12、MPQ面积的最大值.解:(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=252=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=25,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为x25+y24=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2.联立方程组y=2tx-t2,x25+y24=1,消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有=80(4+20t2-t4)0,x1+x2=20t34+20t2,x1x2=5t4-204+20t2.而|PQ|=1+4t2|x1-x2|=1+4t280(4+20t2-t4)4+20t2,点M到PQ的高
13、为h=15+t21+4t2,由SMPQ=12|PQ|h代入化简,得SMPQ=510-(t2-10)2+104510104=1305,当且仅当t2=10时,SMPQ可取最大值1305.16.已知动点C是椭圆:x2a+y2=1(a1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=94的一条直径(A,B是端点),CACB的最大值是314.(1)求椭圆的方程;(2)已知椭圆的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设点C的坐
14、标为(x,y),则x2a+y2=1.连接CG,由CA=CG+GA,CB=CG+GB=CG-GA,又G(0,2),CG=(-x,2-y),可得CACB=CG2-GA2=x2+(y-2)2-94=a(1-y2)+(y-2)2-94=-(a-1)y2-4y+a+74,其中y-1,1.因为a1,所以当y=42(1-a)-1,即1-1,即a3时,CACB的最大值是4(1-a)a+74-164(1-a),由条件得4(1-a)a+74-164(1-a)=314,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆的方程是x25+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点
15、坐标为(x0,y0),则满足x125+y12=1,x225+y22=1,两式相减,整理,得y2-y1x2-x1=-x2+x15(y2+y1)=-x05y0,从而直线PQ的方程为y-y0=-x05y0(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-x05y0(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-x02=5y020,从而0x02.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0m2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=5y0x0(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=5y0x0(m-x0),得m=45x0,从而m0,85.
