1、第五章 数列知识点一数列的定义、分类与通项公式 1数列的定义(1)数列：按照一定顺序排列的一列数(2)数列的项：数列中的每一个数2数列的分类3.数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)一个数列中的数是不可以重复的()(3)所有数列的第n项都能使用公式表达()(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个()解析：(1)数列：1,2,3和数列：3,2,1是不同的数列(2)数列中的数是可以重复的(3)不是所有的数列都有通项公式2
2、已知数列，下列各数中是此数列中的项的是(B)A. B.C. D.3(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an5n4.解析：由a11514，a26524，a311534，归纳an5n4.知识点二数列的递推公式 如果已知数列an的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即anf(an1)或anf(an1，an2)，那么这个式子叫做数列an的递推公式4(必修5P31例3改编)在数列an中，a11，an1(n2)，则a4(B)A. B.C. D.解析：由题意知，a11，a22，a3，a4.5已知数列an
3、满足a11，an1a2an1(nN*)，则a2 0180.解析：a11，a2(a11)20，a3(a21)21，a4(a31)20，可知数列an是以2为周期的数列，a2 018a20.知识点三数列的前n项和与通项的关系 数列的前n项和通常用Sn表示，记作Sna1a2an，则通项an.若当n2时求出的an也适合n1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示6设数列an的前n项和Snn2，则a7a8的值为28.解析：a7a8S8S6826228.7若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an(2)n1.解析：当n1时，a11；当n2时，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.当
4、n1时，也符合an(2)n1.综上，an(2)n1.1数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性2若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an3三种必会方法(1)叠加法：对于an1anf(n)型，若f(1)f(2)f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an.(2)叠乘法：对于f(n)型，若f(1)f(2)f(n)的积是可求的，可用多式相乘法求得an.(3)构造法：对an1panq型，构造等比数列，求得an.4在数列an中，若an最大，则若an最小，则考向一归纳数列的通项公式 【例1】(1)数列1，4,9，16,25，的一个通项公式是()A
5、ann2 Ban(1)nn2Can(1)n1n2 Dan(1)n(n1)2(2)(2019山西太原五中调考)把1,3,6,10,15，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)则第7个三角形数是()A27 B28C29 D30【解析】(1)解法1：该数列中第n项的绝对值是n2，正负交替的符号是(1)n1，故选C.解法2：将n2代入各选项，排除A，B，D，故选C.(2)观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即anan1n(n2)所以根据这个规律计算可知，第7个三角形数是a7a67a567156728.故选B.【答案】(1)C(
6、2)B由数列的前几项归纳数列通项公式的常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式.(1)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是(C)Aan(1)n11 BanCan2sin Dancos(n1)1(2)(2019郑州模拟)意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，即F(1)F(2)1，F(n)F(n1)F(n2)
7、(n3，nN*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列bn，则b2 0181.解析：(1)对n1,2,3,4进行验证，an2sin不合题意(2)由题意得，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，.此数列被3整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，构成以8为周期的周期数列，所以b2 018b21.考向二由Sn与an的关系求an，Sn 【例2】(1)设数列an的前n项和为Sn，且Sn2(an1)(nN*)，则an()A2n B2n1C2n
8、D2n1(2)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.【解析】(1)当n1时，a1S12(a11)，可得a12，当n2时，anSnSn12an2an1，an2an1，数列an为首项为2，公比为2的等比数列，所以an2n.(2)an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)(1)n，Sn.【答案】(1)C(2)Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解(2)利用SnSn1an(n2)转化为只
9、含an，an1的关系式，再求解(1)已知数列an的前n项和Sn2an1，则满足2的正整数n的集合为(B)A1,2 B1,2,3,4C1,2,3 D1,2,4(2)(2019西安八校联考)数列an中，Sn为数列an的前n项和，且a11，an(n2)，则Sn.解析：(1)因为Sn2an1，所以当n2时，Sn12an11，两式相减得an2an2an1，整理得an2an1，所以数列an是公比为2的等比数列又因为a12a11，解得a11，所以数列an的通项公式为an2n1.因为2，即2n12n，所以所有满足的正整数n的值为1,2,3,4.故选B.(2)当n2时，将anSnSn1代入an，得SnSn1，化
10、简整理，得SnSn12Sn1Sn，两边同除以Sn1Sn，得2(n2)，又1，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(n1)2n1，所以Sn.考向三由递推关系求通项公式 【例3】设数列an中，a12，an1ann1，则an_.【解析】由条件知an1ann1，则an(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2.【答案】1若将“an1ann1”改为“an1an”，如何求解？解：an1an，.ana1，2.2若将“an1ann1”改为“an12an3”，如何求解？解：设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.故an132(an
11、3)令bnan3，则b1a135，且2.所以bn是以5为首项，2为公比的等比数列所以bn52n1，故an52n13.3若将“an1ann1”改为“an1”，如何求解？解：an1，a12，an0，即，又a12，则，是以为首项，为公差的等差数列(n1).an.4若将本例条件换为“a11，an1an2n”，如何求解？解：an1an2n，an2an12n2，故an2an2.即数列an是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列当n为偶数时，a21，故ana22n1.当n为奇数时，an1an2n，an1n(n1为偶数)，故ann.综上所述，ann1，nN*.由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且an
12、an1f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1且f(n)，可用“累乘法”求an.(3)已知a1且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列ank(4)形如an1(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解(5)形如an1anf(n)的数列，可将原递推关系改写成an2an1f(n1)，两式相减即得an2anf(n1)f(n)，然后按奇偶分类讨论即可考向四数列的函数性质 方向1数列的单调性【例4】(1)已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an1.若对任意正整数n都有Sn1Sn0恒成立，则实数的取值范围为()A(，1) B.C.
13、 D.(2)已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_【解析】(1)当n1时，a12a11a11.当n2时，anSnSn12an2an12数列an是等比数列，Sn2n1(2n11)(2n1)0.最小值为，0)，求导得f(x)1.令f(x)0，解得x；令f(x)0，解得0x.f(x)x1在(，)上是递增的，在(0，)上是递减的，nN*，当n5或n6时，f(n)取得最小值又，的最小值为.【答案】(1)C(2)方向2数列的周期性【例5】(2019河北五名校联考)已知数列an满足：an1anan1(n2，nN*)，a11，a22，Sn为数列an的前n项和，则S2 018()A3 B2C1
14、 D0【解析】an1anan1，a11，a22，a31，a41，a52，a61，a71，a82，故数列an是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2 0183360a2 017a2 018a1a23.故选A.【答案】A1.应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断.2.解决数列周期性问题的方法,先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.1(方向2)已知数列an的首项为2，且数列an满足an1，数列an的前n项的和为Sn，则S2 016等于(C)A504
15、 B588C588 D504解析：a12，an1，a2，a3，a43，a52，数列an的周期为4，且a1a2a3a4，2 0164504，S2 016504588，故选C.2(方向1)已知数列an的通项公式an(n1)n，则数列的最大项为a9a10109.解析：解法1：an1an(n2)n1(n1)nn，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an10恒成立，即当nN*时4n2恒成立因为(4n2)max4126，所以6.由递推关系求通项公式的几种扩展类型类型1an1panqn(其中p，q均为常数，且pq(p1)(q1)0)一般要先在原递推公式两边同
16、除以qn1，得，引入辅助数列bn(其中bn)，得bn1bn，接下来用待定系数法构造等比数列类型2an2pan1qan(其中p，q均为常数)先把原递推公式转化为an2san1t(an1san)，其中s，t满足转化为一个新等比数列来求类型3an1pa(p0，an0)，这种类型一般是等式两边取对数后整理转化为an1panq.类型4an1，这种类型一般是等式两边取倒数后转化为类型an1panq.另外也要掌握一些恒等变形的技巧，毕竟由递推公式求通项公式的题目不是直截了当能对号入座上述类型，大多数必须经过一定的恒等变形才能找到突破口，而这种变形又不同于代数式的恒等变形，因为其中最大不同点也是难点就是变形后
17、要有“递推关系”隐含其中，否则就无法做下去典例1数列中，a16，an2an1n1(n2)，则此数列的通项公式an_.【解析】已知条件呈现给我们的是“犹抱琵琶半遮面”的状态，不容易看出朝哪个方向变形，最好办法先去分母，静观其变，由已知得nan(2n2)an1n(n1)(n2)，所以21.令t2(t)，展开比较得t1，所以12(1)(很多时候数据简单，观察便得)，所以数列1是以4为首项，2为公比的等比数列，易求得an(n1)(2n11)(nN*)【答案】(n1)(2n11)(nN*)典例2已知数列满足：a12，a23,2an13anan1(n2)求数列的通项公式an.【解】观察系数2、3、1就知道
18、将3an拆项，故有2(an1an)anan1(n2)，则数列anan1是以a2a11为首项，为公比的等比数列，所以anan1()n2，由累加法得，an4()n2.当然也可转化为类型2来解，自己不妨一试典例3给定两个数列xn，yn满足x0y01，xn(n1)，yn(n1)，求数列xn，yn的通项公式【解】由已知得到：1，12(1)，所以数列1是以4为首项、2为公比的等比数列，因此12n1，即xn.而对yn(n1)取倒数后思维受阻，并且发现各项次数有差别，所以要另找出路，yn1，再与已知相除，得()2,1(1)2，两边取对数得，ln(1)2ln(1)，而ln(1)ln2，所以ln(1)是以2ln2为首项，2为公比的等比数列，所以ln(1)2nln2ln22n，即yn的通项公式为yn.已知数列an中，a11，a2，且an1(n2,3,4，)求数列an的通项公式解：由已知，对n2有，两边同除以n，得，即()，由累加法求得an，n2.又n1时也成立，故an，nN*.
