1、专题提升四圆周运动中的临界问题突破一 水平面内的匀速圆周运动的临界问题1此类问题的解题思路(1)明确研究对象的受力情况(2)抓住合力提供向心力这一关键点2注意临界问题，往往都是被动力的临界问题如：绳子达到最大拉力，恰好达到最大摩擦力等解题的关键是：确定临界状态并找出满足临界状态的条件3典例分析例 1：如图 Z4-1 所示，两绳系一质量为 m0.1 kg 的小球，两绳的另一端分别固定于轴的 A、B 两处，上方的绳长 l2 m，两绳拉直时与轴的夹角分别为 30和 45，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力(取 g10 m/s2)?图 Z4-1解：设两细绳都被拉直时，A、B 绳的拉力分别为 TA、
2、TB，小球的质量为m，A 绳与竖直方向的夹角为30，B 绳与竖直方向的夹角为45，经受力分析，由牛顿第二定律得 当 B 绳中恰无拉力时FAsin m21lAsin FAcos mg 由式解得 1103 rad/s2.4 rad/s当 A 绳中恰无拉力时，FBsin m22lBsin 由式解得2 rad/s3.16 rad/s所以，两绳始终有张力，角速度的范围是 2.4 rad/s Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力(3)不能过最高点的条件：vv临界(实际上球还没到最高点时就脱离了轨道)2轻杆模型甲乙图 Z4-3如图 Z4-3 所示，球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况：(1)当 v0
3、时，FNmg(FN 为支持力)(2)当 0v Rg时，FN 随 v 增大而减小，且 mgFN0，FN 为支持力(3)当 v Rg时，FN0.(4)当 v Rg时，FN 为拉力，FN 随 v 的增大而增大3拱桥模型图 Z4-4如图 Z4-4 所示的小球在轨道的最高点时，如果 v ，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力Rg4典例分析例 2：如图所 Z4-5 示，在电机距轴 O 为 r 处固定一质量为m 的铁块电机启动后，铁块以角速度绕轴 O 匀速转动求电机对地面的最大压力和最小压力之差图 Z4-5解：铁块在竖直面内做匀速圆周运动，其向心力是重力 mg与轮对它的压力 F 的合力由圆周
4、运动的规律可知：当 m 转到 最低点时 F 最大，当 m 转到最高点时 F 最小设铁块在最高点 和最低点时，电机对其用力分别为 F1 和 F2，且都指向轴心，根据牛顿第二定律有在最高点：mgF1m2r在最低点：F2mgm2r电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块 m 位于最低点和最高点，且压力差的大小为FNF2F1 由式可解得FN2m2r思维提升：通过本例说明在竖直平面内物体做圆周运动通过最高点和最低点时向心力的来源，以及在最高点的临界条件的判断和临界问题分析方法突破三 竖直平面内的圆周运动与能量的综合例 3：过山车是游乐场中常见的设施如图 Z4-6 所示是一种过山车的简易模型，它由水平
5、轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与 C、D 间距相等，半径 R12.0 m、R21.4 m一个质量为 m1.0 kg 的小球(可视为质点)，从轨道的左侧 A 点以 v012.0 m/s 的初速度沿轨道向右运动，A、B 间距 L16.0 m小球与水平轨道间的动摩擦因数0.2，圆形轨道是光滑的假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠重力加速度取 g10 m/s2，计算结果保留小数点后一位数字试求：图 Z4-6(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小(2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，则 B、C 间距 L 应是多少(3
6、)在满足(2)的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径 R3 应满足的条件和小球最终停留点与起点 A 的距离解：(1)设小球经过第一圆轨道的最高点时的速度为 v1，根据动能定理小球在最高点受到重力 mg 和轨道对它的作用力 F，根据牛顿第二定律由式解得 F10.0 N mgL12mgR112mv2112mv20 Fmgmv21R1 (2)设小球在第二个圆轨道的最高点的速率为 v2，由题意知由式解得 L12.5 m (3)要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：.轨道半径较小时，小球恰好能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为 v3，应满足由式解得 R30.4 mmg
7、mv22R2 mg(L1L)2mgR212mv2212mv20 mgmv23R3mg(L12L)2mgR312mv2312mv20 .轨道半径较大时，小球上升的最大高度为 R3，根据动能定理有解得 R31.0 m为了保证圆轨道不重叠，R3 最大值应满足(R2R3)2L2(R3R2)2解得 R327.9 mmg(L12L)mgR3012mv20综合、，要使球不脱离轨道，则第三个圆轨道半径需满足 0R30.4 m或 1.0 mR327.9 m当0R30.4 m 时，小球最终停留点与起始点 A 距离为 L，解得 L36.0 m当1.0 mR327.9 m 时，小球最终停留点与起始点 A 的距离为 L，则 LL2(LL12L)26.0 m.则mgL012mv20思维提升：本题侧重考查圆周运动临界条件的应用物体运动从一种物理过程转变到另一物理过程，常出现一种特殊的转变状态，即临界状态通过对物理过程的分析，找出临界状态，确定临界条件，往往是解决问题的关键
