1、2.8函数模型及函数的综合应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数模型及函数的综合应用了解指数函数、对数函数、幂函数增长特征,体会直线增长、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义;了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用2016四川,5,5分函数的实际应用问题对数运算2014湖南,8,5分函数的实际应用问题2017山东,15,5分函数的综合应用函数单调性2017浙江,17,5分函数的综合应用函数的单调性及最值分析解读为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题一般涉及的
2、知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为5分左右,通常在如下方面考查:1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式(组)求参数范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等.破考点【考点集训】考点函数模型及函数的综合应用1.(2017福建质检,5)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不
3、足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是() A.8 B.9 C.10D.11答案C2.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,12)定义在实数集R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x-1,1时, f(x)=x,则下列四个命题:f(2 018)=0;函数f(x)的最小正周期为2;当x-2 018,2 018时,方程f(x)=12有2 018个根;方程f(x)=log5|x|有5个根.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C3.(2018福建闽侯第六中学模拟
4、,15)已知f(x)是R上的减函数,A(3,-1),B(0,1)是其图象上的两个点,则不等式|f(1+ln x)|q.(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间0,6上的最大值M(a).解析(1)由于a3,故.当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)0,当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a.(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax
5、+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=0,3a2+2,-a2+4a-2,a2+2.(ii)当0x2时,F(x)f(x)maxf(0), f(2)=2=F(2),当2x6时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)=34-8a,3a4,2,a4.教师专用题组1.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(
6、) A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案D2.(2014湖南,10,5分)已知函数f(x)=x2+ex-12(x0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A.-,1eB.(-,e)C.-1e,eD.-e,1e答案B3.(2014辽宁,12,5分)已知定义在0,1上的函数f(x)满足:f(0)=f(1)=0;对所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)|1
7、2|x-y|.若对所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|g(x)恒成立,则实数b的取值范围是.答案(210,+)7.(2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+)上的函数,且f(x)0,对任意a0,b0,若经过点(a, f(a),(b,-f(b)的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x0)时,可得Mf(a,b)=c=a+b2,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)=(x0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)=(x0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数2aba+b.(
8、以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案(1)x(2)x8.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0,a1,b1).(1)设a=2,b=12.求方程f(x)=2的根;若对于任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0a1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.解析(1)因为a=2,b=12,所以f(x)=2x+2-x.方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-22x+1=0,所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x)2
9、-2.因为f(2x)mf(x)-6对于xR恒成立,且f(x)0,所以m(f(x)2+4f(x)对于xR恒成立.而(f(x)2+4f(x)=f(x)+4f(x)2f(x)4f(x)=4,且(f(0)2+4f(0)=4,所以m4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g(x)=axln a+bxln b,又由0a1知ln a0,所以g(x)=0有唯一解x0=logba-lnalnb.令h(x)=g(x),则h(x)=(axln a+bxln b)=ax(ln a)2+bx(ln b)
10、2,从而对任意xR,h(x)0,所以g(x)=h(x)是(-,+)上的单调增函数.于是当x(-,x0)时,g(x)g(x0)=0.因而函数g(x)在(-,x0)上是单调减函数,在(x0,+)上是单调增函数.下证x0=0.若x00,则x0x020,于是gx02aloga2-2=0,且函数g(x)在以x02和loga2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在x02和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0a1,所以loga20.又x020,所以x10,同理可得,在x02和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.于是-lnalnb=1,故ln a+ln b=0,所以ab=
11、1.9.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=ax2+b(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域
12、;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=ax2+b,得a25+b=40,a400+b=2.5,解得a=1 000,b=0.(2)由(1)知,y=1 000x2(5x20),则点P的坐标为t,1 000t2,设在点P处的切线l交x轴,y轴分别于A,B点,易知y=-2 000x3,则l的方程为y-1 000t2=-2 000t3(x-t),由此得A3t2,0,B0,3 000t2.故f(t)=3t22+3 000t22=32t2+4106t4,t5,20.设g(t)=t2+4106t4,则g(t)=2t
13、-16106t5.令g(t)=0,解得t=102.当t(5,102)时,g(t)0,g(t)是增函数;从而,当t=102时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,则f(t)min=153.答:当t=102时,公路l的长度最短,最短长度为153千米.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2019届湖北武汉示范高中高三联考,5)如图,点P在边长为1的正方形边上运动,M是CD的中点,当点P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与APM的面积y的函数y=f(x)的图象的形状大致是()答案A2.(2017山西名校联考,12)设函数f(x)=-4x+2x+1-1,g
14、(x)=lg(ax2-4x+1),若对任意x1R,都存在x2R,使f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为() A.(0,4B.(-,4C.(-4,0D.4,+)答案B3.(2018河北石家庄一模,12)已知M是函数f(x)=|2x-3|-8sin x(xR)的所有零点之和,则M的值为()A.3B.6C.9D.12答案D4.(2018河南郑州高中毕业班第二次质量预测,12)函数f(x)=|x|ex,方程f(x)2-(m+1)f(x)+1-m=0有4个不相等的实根,则m的取值范围是()A.e2-ee2+e,1B.e2-e+1e2+e,+C.e2-e+1e2+e,1D.e2-ee2+e,+答案
15、C二、填空题(共5分)5.(2019届吉林高三第一次调研测试,16)某工厂投资100万元开发新产品,第一年获利10万元,从第二年开始每年获利比上一年增加20%,从第n年开始,前n年获利总和超过投入的100万元,则n=.(参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)答案7三、解答题(共25分)6.(2019届湖北、山东部分重点中学高三第一次联考,20)某地空气中出现污染,需喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算,每喷洒1个单位的去污剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的函数关系式近似为y=8-x2,0x4,36x+2,4x10.若多次喷洒,则某一时
16、刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时,它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒1个单位的去污剂,则去污时间可达几天?(2)若第一次喷洒1个单位的去污剂,6天后再喷洒a个单位的去污剂,要使接下来的4天中能够持续有效去污,试求a的最小值.(精确到0.1)解析(1)依题意,令y4,则0x4,8-x24或4x10,36x+24,解得0x4或4x7,0x7,一次喷洒1个单位的去污剂,去污时间可达7天.(2)设从第一次喷洒起,经x(6x10)天空气中的去污剂浓度为f(x),则f(x)=36x+2+a8-x-62=36x+2-
17、a2x+11a(6x10),依题意f(x)4对一切x(6,10恒成立,f(x)min4.易知f(x)在(6,10上单调递减,f(x)min=f(10)=3+6a,3+6a4,a160.2,故a的最小值为0.2.方法总结解决应用问题的基本步骤:审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系,恰当选择函数模型;建模:将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言,利用数学知识建立相应的函数模型,将实际问题转化为数学问题;求解:求解数学问题,得出数学结论;还原:将利用数学知识和方法得出的结论还原为实际问题的答案.7.(2018湖北荆州一模,19)某市环保研究所对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现
18、一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)=2xx2+42xx2+4-a+34,x0,24,其中a是与气象有关的参数,且a0,12.(1)令t(x)=2xx2+4,x0,24,求t(x)的最值;(2)若用每天的f(x)的最大值作为当天的综合污染指数,市政府规定:每天的综合污染指数不得超过2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标?解析(1)由t(x)=2xx2+4,x0,24,得t(x)=2(x2+4)-2x2x(x2+4)2=-2(x+2)(x-2)(x2+4)2,x0,24,令t(x)0,得(x+2)(x-2)0,则0x2,令t(x)0,则2x24,t(x)在0,2上递增,
19、在(2,24上递减,又t(0)=0,t(2)=12,t(24)=12145,t(x)min=t(0)=0;t(x)max=t(2)=12.(2)令t=2xx2+4,则由x0,24,得t0,12,令g(t)=f(x)=t|t-a|+34,t0,12,则g(t)=-t2+at+34,0ta,t2-at+34,at12,易知g(t)在0,a2和a,12上递增,在a2,a上递减,且ga2=34+a24,g12=1-a2,ga2-g12=a24+a2-14,令a24+a2-140,得2-1a12;令a24+a2-140,得0a2-1,f(x)max=1-12a,0a2-1,34+a24,2-1a12,f(x)max1,目前市中心的综合污染指数没有超标.
