1、圆锥曲线的定值问题圆锥曲线中的定点定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点。解这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积等，这些不受变量说影响的一个值就是定值。具体要求就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量得到定值。下面就以今年的几道高考真题为例，揭示一般做题方法。例1 （2013年山东卷理）椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.()求椭圆的方程; ()点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交 的长轴于点,求的取值范围;()在()的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有
2、一个公共点,设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值. 分析 ()根据离心率以及通径公式联立即可求解。()角平分线通常可以选择直线夹角或者向量夹角两种处理方式，就本题而言，向量夹角的处理方式较为优越。()关键在于读懂只有一个公共点的含义，并求得k的表达式。解析 ()由于,将代入椭圆方程，得。 由题意知,即 。 又 所以 。 所以椭圆方程为。()由题意可知:=,=,设其中,将向量坐标代入并化简得:m(,因为, 所以,而,所以 ()由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为 ,所以,而,代入中得 为定值. 点评 本题思维强度不大，运算强度也不大。数学里也有一些需要
3、记忆的结论，角平分线如何在解析几何里代数化，椭圆上任意一点的切线斜率，熟知结论将驾轻就熟。例2（2013年安徽卷理）设椭圆的焦点在轴上()若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;()设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上.分析 ()利用椭圆的几何性质，列算式即可解决。()由于本题中关键的两点P、Q并不是同一直线与圆锥曲线的两个交点，不能较好地体现韦达定理设而不求的优势，故而舍去。鉴于题目中Q点比较好设，选取直接设点的方式，转化题目所给条件。证明点P是否在定直线上的问题就变成了消去等式中变量a的过程。解析 (). 因为，所以。所以椭圆方程为
4、。() . 由. 所以动点P过定直线. 点评 设点时应注意参数取值范围，解题过程中有清晰的目标即消去变量a，得到一个关于x，y的等式。例3（2013年陕西卷理）已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. () 求动圆圆心的轨迹C的方程; () 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点. 分析 ()直接设圆心坐标，利用两种方式描述的半径相等构建等式。()本题中角平分线的特殊性，可以考虑直接套用直线斜率构建等式。难点在于利用已得到的等式，逐步消元。解析 () ，设圆心，线段MN的重点为E。由几何图像知() 点B(-1,0), 设，由题知直线PQ方程为: 所以,直线PQ过定点(1,0) 点评 证明直线过定点，首先就要表示出这条直线，根据之前得到的等式，逐步削减未知元，寻求使得不等式恒成立的定值点。圆锥曲线的定值问题，考查的是运算的基本功，考验的是化简消元的耐心及目标意识。同学们平时的复习当中，应当多总结概括一些常见的限制条件的处理方式，减少考试时的思维量，提高解题效率。版权所有：中华资源库
