1、第二讲圆的方程及直线、圆的位置关系题组1圆的方程1.2015新课标全国,7,5分理过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.26 B.8 C.46D.102.2016天津,12,5分已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为.3.2016浙江,10,6分已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.4.2015新课标全国,14,5分理一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.5.2015
2、江苏,10,5分理在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.6.2017全国卷,20,12分理已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.题组2直线与圆的位置关系7.2015山东,9,5分理一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或-35 B.-32或-23 C.-54或-45 D.-43或-3
3、48.2015重庆,8,5分理已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A (-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2 B.42 C.6 D.2109.2014浙江,5,5分已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2 B.-4 C.-6 D.-810.2016全国卷,15,5分设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为.11.2016全国卷,16,5分理已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A
4、,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|=.12.2015重庆,12,5分若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.13.2014重庆,13,5分理已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且ABC为等边三角形,则实数a=.14.2016江苏,18,16分理如图9-2-1,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l
5、与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.图9-2-115.2015新课标全国,20,12分已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OMON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.题组3圆与圆的位置关系16.2016山东,7,5分已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离17.2014
6、湖南,6,5分若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-1118.2013重庆,7,5分理已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.52-4B.17-1C.6-22D.1719.2013新课标全国,20,12分理已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.()求C的方程;()l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,
7、B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.A组基础题1.2017陕西省高三质量检测,5圆:x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是()A.1+2 B.2 C.1+22 D.2+222.2017宁夏银川市教学质量检测,3已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+y2+6x-8y+16=0,则圆C1与圆C2的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切3.2017辽宁省高三第一次质量监测,5已知直线l:y=k(x+3)和圆C:x2+(y-1)2=1,若直线l与圆C相切,则k=()A.0 B.3C.33或0 D.3或04.2017长春市高三二检,4圆(x-2)2+y2=4关
8、于直线y=33x对称的圆的方程是()A.(x-3)2+(y-1)2=4B.(x-2)2+(y-2)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-3)2=45.2017武汉市四月模拟,10已知圆C:(x-1)2+(y-4)2=10和点M(5,t),若圆C上存在两点A,B,使得MAMB,则实数t的取值范围为()A.-2,6 B.-3,5 C.2,6 D.3,56.2017云南11校调考,15已知动圆C过A(4,0),B(0,-2)两点,圆心C关于直线 x+y=0的对称点为M,过点M的直线交圆C于E,F两点,当圆C的面积最小时,|EF|的最小值为.7.2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五
9、市联考,16设圆C满足:截y轴所得弦长为2;被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为31;圆心到直线l:x-2y=0的距离为d.当d最小时,圆C的面积为.B组提升题8.2018洛阳市高三第一次统一考试,7已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r0).设条件p:0r0),则圆心到直线2x-y=0的距离d=|2a-0|4+1=455,得a=2,半径r=(a-0)2+(0-5)2=3,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.3.(-2,-4)5由题意可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,表示圆,故圆心为(-2,-4),半径为5.当a=2时,方程不表示圆.4
10、.(x-32)2+y2=254由题意知,圆过椭圆的三个顶点(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0),其中a0,由4-a=a2+4,解得a=32,所以该圆的标准方程为(x-32)2+y2=254.5.(x-1)2+y2=2因为直线mx-y-2m-1=0(mR)恒过点(2,-1),所以当点(2,-1)为切点时,半径最大,此时半径r=2,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.6.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=y122,x2=y222,故x1x2=(y1y2)24=4.因
11、此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1y2x2=-44=-1,所以OAOB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=(m2+2)2+m2.由于圆M过点P(4,-2),所以APBP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆
12、M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-12时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为(94,-12),圆M的半径为854,圆M的方程为(x-94)2+(y+12)2=8516.7.D圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为(-3,2),半径r=1.作出点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3).由题意可知,反射光线的反向延长线一定经过点(2,-3).设反射光线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y-(-3)=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切可得|k(-3)-2-2k-3|1+k2=1,即|5k+5|=1+k2,整理得12k2+25k+12=0
13、,即(3k+4)(4k+3)=0,解得k=-43或k=-34.故选D.8.C由题意得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,所以圆C的圆心为(2,1),半径为2.因为直线l为圆C的对称轴,所以圆心在直线l上,则2+a-1=0,解得a=-1,所以|AB|2=|AC|2-|BC|2=(-4-2)2+(-1-1)2-4=36,所以|AB|=6,故选C.9.B圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,圆心C(-1,1),半径r满足r2=2-a,则圆心C到直线x+y+2=0的距离d=21+1=2,所以r2=4+2=2-a,解得a=-4.故选B.10.4圆C的方程可化为x2+(y-a)2=
14、a2+2,可得圆心的坐标为C(0,a),半径r=a2+2,所以圆心到直线x-y+2a=0的距离为|-a+2a|2=|a|2,所以(|a|2)2+(3)2=(a2+2)2,解得a2=2,所以圆C的半径为2,所以圆C的面积为4.11.4设圆心到直线l:mx+y+3m-3=0的距离为d,则弦长|AB|=212-d2=23,解得d=3,即|3m-3|m2+1=3,解得m=-33,则直线l:x-3y+6=0,数形结合可得|CD|=|AB|cos 30=4.12.x+2y-5=0由题意,得kOP=2-01-0=2,则该圆在点P处的切线方程的斜率为-12,所以所求切线方程为y-2=-12(x-1),即x+2
15、y-5=0.13.415依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离等于322=3,于是有|1a+a-2|a2+1=3,即a2-8a+1=0,解得a=415.14.圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心为M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y07,圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线lOA,所以直线l的斜率为4-02-0=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线
16、l的距离d=|26-7+m|5=|m+5|5.因为BC=OA=22+42=25,而MC2=d2+(BC2)2,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ,所以x2=x1+2-t,y2=y1+4.因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.将代入,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆x-(t+4)2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆x-(t+4)
17、2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5(t+4)-62+(3-7)25+5,解得2-221t2+221.因此,实数t的取值范围是2-221,2+221.15.(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为直线l与圆C交于两点,所以|2k-3+1|1+k21.解得4-73k4+73.所以k的取值范围为(4-73,4+73).(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入圆C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2.OMON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(
18、x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.由题设可得4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆C的圆心(2,3)在l上,所以|MN|=2.16.B由题意知圆M:x2+(y-a)2=a2,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=a2,所以2a2-a22=22,解得a=2.圆M、圆N的圆心距|MN|=2,两圆半径之差为1,故两圆相交.故选B.17.C圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=25-m,由两圆外切,得|C1C2|=r1+r2=1+25-m=5,所以m=9.故选C.18.
19、A两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作点C1 关于x 轴的对称点C1(2,-3),则(|PC1|+|PC2|)min=|C1C2|=52,所以(|PM|+|PN|)min=52-(1+3)=52-4. 故选A.19.由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径长r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径长r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.()因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为x24+y23=
20、1(x-2).()对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|AB|=23.若l的倾斜角不为90,由r1R知,l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则|QP|QM|=Rr1,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切,得|3k|1+k2=1,解得k=24.当k=24时,将y=24x+2代入x24+y23=1,整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=-4627.所以|AB|=1+k2|x2-x1|
21、=187.当k=-24时,由图形的对称性可知|AB|=187.综上,|AB|=23或|AB|=187.A组基础题1.A将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,即圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d=|1-1-2|2=2,故圆上的点到直线x-y=2距离的最大值为1+d=1+2,故选A.2.B易知圆C2的标准方程为(x+3)2+(y-4)2=9,则圆C1与C2的圆心的距离为32+42=5,又两圆半径之和为2+3=5,所以圆C1与圆C2外切,故选B.3.D因为直线l与圆C相切,所以圆心C到直线l的距离d=|-1+3k|1+k2=1,即|-1+3k|=1+k2,解得k=
22、0或k=3,故选D.4.D解法一圆与圆关于直线对称,则圆的半径相同,只需圆心关于直线对称即可.设所求圆的圆心坐标为(a,b),则b-0a-233=-1,b+02=33a+22,解得a=1,b=3.所以圆(x-2)2+y2=4的圆心关于直线y=33x对称的点的坐标为(1,3),从而所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=4,选D.解法二由于两圆关于直线对称,因此两圆心的连线必与该直线垂直,则两圆心连线的斜率为-3,备选项中只有选项D中的圆心与已知圆的圆心连线的斜率为-3,选D.5.C当MA,MB与圆相切时,|CM|=(5-1)2+(t-4)2=20,由题意,圆C上存在两点使MAMB,则|CM|
23、=(5-1)2+(t-4)220,解得2t6,故选C.6.23依题意知,动圆C的半径不小于12|AB|=5,即当圆C的面积最小时,AB是圆C的一条直径,此时点C是线段AB的中点,即点C(2,-1),点M的坐标为(1,-2),且|CM|=(2-1)2+(-1+2)2=25,所以点M位于圆C内,当点M为线段EF的中点(过定圆内一定点作圆的弦,以该定点为中点的弦最短)时,|EF|最小,其最小值等于2(5)2-(2)2=23.7.2设圆C的圆心为C(a,b),半径为r,则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|,|a|.由题设知圆C截x轴所得劣弧所对的圆心角为90,圆C截x轴所得的弦长为2r,故r2=2b2
24、,又圆C截y轴所得的弦长为2,所以r2=a2+1,从而得2b2-a2=1.又点C(a,b)到直线x-2y=0的距离d=|a-2b|5,所以5d2=(a-2b)2=a2+4b2-4aba2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当a=b,2b2-a2=1,即a2=b2=1时等号成立,此时d取得最小值,r2=2,圆C的面积为2.B组提升题8. C圆C:(x-1)2+y2=r2的圆心(1,0)到直线x-3y+3=0的距离d=|1-30+3|12+(3)2=2.当0r1时,直线在圆外,圆上没有点到直线的距离为1;当r=1时,直线在圆外,圆上只有1个点到直线的距离为1;当1r2时,直线在圆外
25、,此时圆上有2个点到直线的距离为1;当r=2时,直线与圆相切,此时圆上有2个点到直线的距离为1;当2r3时,直线与圆相交,此时圆上有2个点到直线的距离为1.综上,当0r3时,圆C上至多有2个点到直线x-3y+3=0的距离为1,由圆C上至多有2个点到直线x-3y+3=0的距离为1可得0r2),则y02=2x0,Q(0,a),R(0,b),则kPQ=y0-ax0,所以直线PQ的方程为y=y0-ax0x+a,即(y0-a)x-x0y+ax0=0.因为直线PQ与圆N相切,所以|y0-a+ax0|(y0-a)2+x02=1,即(x0-2)a2+2y0a-x0=0.同理,由直线PR与圆N相切,得(x0-2)b2+2y0b-x0=0,所以a,b是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两根,其判别式=4y02+4x0(x0-2)=4x020,a+b=-2y0x0-2,ab=-x0x0-2,则|QR|=|a-b|=(a+b)2-4ab=2x0x0-2,S=12|QR|x0=x02x0-2=(x0-2+2)2x0-2=x0-2+4x0-2+48,当且仅当x0=4时,Smin=8.
