1、数学试题汇编专题训练解答题（2）【2010泰安一模】17(本小题满分12分) 已知函数 ()求的值；()当时，求g的最大值和最小值。18(本小题满分12分) 某校举行了“环保知识竞赛”，为了解本次竞赛成 频率分布表分组频数频率50,60)50.0560,70)0.2070,80)3580,90)300.3090,100)100.10合计1.00绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分100分)，进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：()求的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率；()按成绩分层抽样抽取20人参加社区志愿者活动，并从中指派2名学生担任负责人，记
2、这2名学生中“成绩低于70分”的人数为，求的分布列及期望。19(本小题满分12分) 设等差数列的前项和为，公比是正数的等比数列的前项和为，已知。 ()求的通项公式；()若数列满足对任意都成立；求证：数列是等比数列。20(本小题满分12分) 如图，已知平面是正三角形，。 ()在线段上是否存在一点，使平面? ()求证：平面平面；()求二面角的正切值。21（本小题满分12分) 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与构成正三角形。 ()求椭圆的方程；()若过点的直线与椭圆交于不同两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值?若存在，求出的坐标及定值；若不存在，请说明理由。22(本小题
3、满分14分) 已知函数，其中 ()讨论的单调性；()求证：对，都有。【2010泰安一模】答案17解：（） 4分 6分 () 8分 10分 当时， 当时12分18解：() 由频率分布表可得成绩不低予分的概率为： 4分（)由频率分布表可知，“成绩低予分”的概率为按成绩分层抽样抽取人时“成绩低于分”的应抽取人6分的取值为 的分布列为 9分 12分19解：()设数列的公差为，数列的公比为 由题意得 2分 解得 5分()由 知 两式相减：8分 10分 当时，适合上式 即是等比数列12分20解：()当为的中点时，平面1分证明：取的中点、的中点，连结 B是平行四边形3分平面4分() 平面平面6分平面平面平面
4、7分 () 平面 过作，连结，则 则为二面角的平面角9分 设，则 在中， 又由得11分 面角的正切值12分21解：()由题意知抛物线的焦点1分 又椭圆的短轴的两个端点与构成正三角形 椭圆的方程为3分 ()当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为： 5分 则 7分 9分当 即时为定值10分当直线的斜率不存在时，由可得综上所述当时，为定值12分22解：() 1分由可得可得可得在上单调递减，在上单调递增4分()由()知在单调递减，在在单调递增当时取得最小值6分又设在上单调递增又在上，的最大值为9分对，都有 又即对，都有11分 设则 在上单调递增， 综上所述，对，都有14分【2010日照一模】(17
5、)(本小题满分12分)若函数的图象与直线相切，相邻切点之间的距离为。()求的值；()若点是图象的对称中心，且，求点的坐标。(18)(本小题满分12分) 2010年亚冠联赛，山东鲁能、广岛三箭、阿德莱德联、浦项制铁分在同一组进行循环赛，已知规则为每轮胜得3分，平得1分，负得0分。第一轮在2月24日的比赛中，山东鲁能客场l:0战胜广岛三箭；第二轮主场对阵阿德莱德联；第三轮客场对阵浦项制铁。若山东鲁能主场胜的概率为，负的概率为，客场胜、平、负是等可能的。假定各场比赛相互之间不受影响。在前三轮中求：()山东鲁能两胜一平的概率；()山东鲁能积分的数学期望。(19)(本小题满分12分)直四棱柱中，底面为菱
6、形，且为延长线上的一点，面。 ()求二面角的大小； ()在上是否存在一点，使面?若存在，求的值，不存在，说明理由。(20)(本小题满分12分) 已知数列的前项和为且。 ()求证数列是等比数列，并求； ()已知集合问是否存在实数，使得对于任意的都有?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。(21)(本小题满分12分) 已知抛物线的方程是圆的方程是直线是的公切线，是的焦点 ()求与的值；()设是抛物线上的一动点，以为切点作的切线交轴于点，若，则点在一定直线上，试证明之。(22)(本小题满分14分) 己知。 ()若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围； ()当时，证明函数只有一个零点； ()
7、的图象与轴交于两点中点为，求证：。【2010日照一模】答案(17)解：() ， 3分由题意知，为的最大值或最小值，所以或 6分()由题设知，函数的周期为 8分令，得，由，得或因此点的坐标为或 12分(18)解：()记山东鲁能两胜一平的事件为，由于第一轮已经取胜，则事件包含第二轮主场胜，第三轮客场平：或第二轮主场平，第三轮客场胜，从而 5分所以山东鲁能两胜一平的概率为 6分()(法一)记山东鲁能在第二轮得分为随机变量，则的取值为由已知得的分布列为：9分第三轮得分为随机变量，因胜、负、平概率相等，故11分所以前二三轮山东鲁能积分的数学期望为 12分(法二)记山东鲁能在第二轮和第三轮得分为随饥变量，
8、则的取值为所以的分布列为：所以前三轮山东鲁能积分的数学期望为(19)解：()设与交于，如图所示建立空间直角坐标系，设爿，则设则平面即 3分设平面的法向量为5分则由 得 令平面的一个法向量为又平面的法向量为二面角大小为7分()设得 10分面存在点使面此时12分(20)解：()当时， 1分时，由得，变形得：4分故是以为首项，公比为的等比数列，6分()(1)当时，只有时不适合题意 7分(2)时，即当时，不存在满足条件的实数9分(3)当时，而因此对任意的要使只需 解得11分综上得实数的范围是 12分(21)解：()由己知，圆的圆心为，半径由题设圆心到直的距离即解得（舍去）3分设与抛物线相切的切点为又得
9、代入直线方程，得6分所以()由()知抛物线的方程为焦点设，由()知以为切点的切线方程为8分令得点的坐标为所以 10分，因设即点在定直线上 12分(22)解：()依题意：在上递增，对恒成立即对恒成立，只需 2分 当且仅当时取，的取值范围为 4分()当时，其定义域是6分时，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减当时，函数取得最大值，其值为当时，即函数只有一个零点 9分()由已知得 两式相减，得 11分由及，得12分令且在上递减， 14分【2010青岛一模】17（本小题满分12分）已知向量，设函数.()若，且，求实数的值;()在中,分别是角的对边,若,且的面积为,实数,求边长的值.18（本小题
10、满分12分）某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从种服装商品, 种家电商品, 种日用商品中,选出种商品进行促销活动.()试求选出的种商品中至多有一种是家电商品的概率;()商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高元,同时,若顾客购买该商品,则允许有次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是,若使促销方案对商场有利，则最少为多少元？19.(本题满分共12分) 下图分别为三棱锥的直观图与三视图，在直观图中，分别为的中点.（）求证：;（）求二面角的余弦值.正视图侧视图俯视图20.(本题满分共12分)
11、 已知各项均为正数的数列满足,且,其中.()求数列的通项公式;()设数列的前项和为,令,其中,试比较与的大小,并加以证明.21.(本题满分12分) 已知定义在正实数集上的函数,（其中为常数，）,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同.()求实数的值;()当时,恒成立,求实数的取值范围.22.(本题满分14分) 已知椭圆的左右两焦点分别为，是椭圆上的一点，且在轴的上方，是上一点，若，（其中为坐标原点）.()求椭圆离心率的最大值;()如果离心率取()中求得的最大值, 已知，点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求直线的方程.【2010青岛一模】答案17（本小题满分12分）解
12、: ()由题意得3分所以6分()由()知由题意得所以8分因为，所以解得因为的面积为,所以,即10分由余弦定理得12分18（本小题满分12分）解: ()选出种商品一共有种选法, 2分选出的种商品中至多有一种是家电商品有种. 4分所以至多有一种是家电商品的概率为.5分 ()奖券总额是一随机变量,设为,可能值为, ,.6分 7分 8分 9分 10分0所以.所以,因此要使促销方案对商场有利，则最少为元. 12分19.(本题满分12分) 解: 由题意知: ，侧面底面，底面为正三角形2分 () 取的中点,连结. 因为, 所以. 所以平面.所以 4分() 如图所示建立空间直角坐标系,则.6分设为平面的一个法
13、向量,则，取,得.所以8分又由上可得设为平面的法向量,由,得,令，则10分所以所以二面角的余弦值为. 12分20.(本题满分12分) 解:()因为,即又,所以有,所以所以数列是公比为的等比数列2分由得,解得故数列的通项公式为4分 () 因，所以即数列是首项为,公比是的等比数列所以6分则又猜想：8分当时，,上面不等式显然成立；假设当时，不等式成立9分当时，综上对任意的均有11分又所以对任意的均有12分21.(本题满分12分) 解:(),1分设函数与的图象有公共点为由题意得3分解得: 5分()由()知,所以即当时，当时，且等号不能同时成立，所以,则由(1)式可得在上恒成立7分设,又9分令得：又所以，当时，；当时，；所以，在上为减函数，在上为增函数11分又故所以实数的取值范围是12分22.(本题满分14分) 解:()由题意知则有与相似所以2分设,则有,解得所以根据椭圆的定义得: 4分,即所以6分显然在上是单调减函数当时,取最大值所以椭圆离心率的最大值是8分()由()知,解得所以此时椭圆的方程为10分由题意知直线的斜率存在,故设其斜率为,则其方程为设,由于,所以有12分又是椭圆上的一点,则解得所以直线的方程为或14分
