1、 9.10圆锥曲线综合问题A组基础题组 1.(2018金华十校第二期调研)已知抛物线C:y=x2,点P(0,2),A,B是抛物线上两个动点,点P到直线AB的距离为1.(1)若直线AB的倾斜角为3,求直线AB的方程;(2)求|AB|的最小值.解析(1)设直线AB的方程为y=3x+m,则|m-2|1+(3)2=1,所以m=0或4,所以直线AB的方程为y=3x或y=3x+4.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,则|m-2|1+k2=1,所以k2+1=(m-2)2.由y=x2,y=kx+m 得x2-kx-m=0,所以x1+x2=k,x1x2=-m,所以|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1
2、x2=(1+k2)(k2+4m)=(m-2)2(m2+3),记f(m)=(m-2)2(m2+3),所以f (m)=2(m-2)(2m2-2m+3),又k2+1=(m-2)21,所以m1或m3,当m(-,1时, f (m)0, f(m)单调递增,此时f(m)min=f(3)=12,所以|AB|min2=4,即|AB|min=2.2.(2018宁波模拟)已知椭圆方程为x24+y2=1,圆C:(x-1)2+y2=r2.(1)求椭圆上动点P与圆心C距离的最小值;(2)如图,直线l与椭圆相交于A,B两点,且与圆C相切于点M,若满足M为线段AB中点的直线l有4条,求圆C的半径r的取值范围.解析(1)设动点
3、P(x,y),则|PC|=(x-1)2+y2=34x2-2x+2=34x-432+23,又因为-2x2,所以当x=43时,|PC|min=63.(2)当直线AB的斜率不存在且直线AB与圆C相切时,M在x轴上,此时满足条件的直线有两条,不满足题意;当直线AB的斜率存在时,连接MC,设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x124+y12=1,x224+y22=1,两式相减,得y1-y2x1-x2=-14x1+x2y1+y2,所以kAB=-x04y0.又因为kMC=y0x0-1,kMCkAB=-1,所以-y0x0-1x04y0=-1,解得x0=43.因为点M在椭圆内部,所以x02
4、4+y021,解得y0259.又因为r2=(x0-1)2+y02=19+y02,所以19r223,所以13r1),过直线l:x=2上一点P作椭圆的切线,切点为A,当P点在x轴上时,切线PA的斜率为22.(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,求POA面积的最小值.解析(1)当P点在x轴上时,P(2,0),PA:y=22(x-2),由y=22(x-2),x2a2+y2=1得1a2+12x2-2x+1=0,由=0得a2=2,故椭圆方程为x22+y2=1.(2)设切线方程为y=kx+m,由y=kx+m,x2+2y2-2=0得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,由=0得m2=2k2+1,设
5、P(2,y0),A(x1,y1),则x1=-2km1+2k2,y1=m1+2k2,y0=2k+m,|PO|=y02+4,直线PO的方程为y=y02x,A点到直线PO的距离d=|y0x1-2y1|y02+4,SPOA=12|PO|d=12|y0x1-2y1|=12(2k+m)-2km1+2k2-2m1+2k2=1+2k2+km1+2k2m=|k+m|=|k1+2k2|=|1+2k2k|,1+2k2|k|,S=SPOA=1+2k2k.(Sk)2=1+2k2,即关于k的方程k22Sk-S2+1=0有解,=8S2-40,得S22,当且仅当k=22时,取等号.故当k=22时,POA面积取得最小值,且最小
6、值为22.4.(2016课标全国,20,12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.解析(1)证明:因为|AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|
7、EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24+y23=1(y0).(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).由y=k(x-1),x24+y23=1得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3.所以|MN|=1+k2|x1-x2|=12(k2+1)4k2+3.过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-1k(x-1),A到m的距离为2k2+1,所以|PQ|=242-2k2+12=44k2+3k2+1.故四边形MPNQ
8、的面积S=12|MN|PQ|=121+14k2+3.可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为12,83).5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,点P(0,1)和点A(m,n)(m0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得OQM=ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理
9、由.解析(1)由题意得b=1,ca=22,a2=b2+c2,解得a2=2.故椭圆C的方程为x22+y2=1.设M(xM,0).因为m0,所以-1nb0)的长轴长为4,焦距为23,以A为圆心的圆(x-2)2+y2=r2(r0)与椭圆相交于B、C两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)求ABAC的取值范围;(3)设P是椭圆上异于B、C的任意一点,直线PB、PC与x轴分别交于点M、N,求SPOMSPON的最大值.解析(1)椭圆的标准方程为x24+y2=1.(2)设B(x0,y0),则C(x0,-y0),且x024+y02=1,ABAC=(x0-2)2-y02=(x0-2)2-1-x024=54x02-4
10、x0+3=54x0-852-15.因为-2x0b0),点F,B分别是椭圆的右焦点与上顶点,O为坐标原点,记OBF的周长与面积分别为C和S.(1)求CS的最小值;(2)如图,过点F的直线l交椭圆于P,Q两点,过点F作l的垂线,交直线x=3b于点R,当CS取最小值时,求|FR|PQ|的最小值.解析(1)易知OBF的周长C=b2+c2+b+c,OBF的面积S=12bc.则CS=b2+c2+b+c12bc=2b2+c2+b+cbc22bc+2bcbc=2+22,当且仅当b=c时,CS取得最小值,为2+22.(2)由(1)知,当且仅当b=c时,CS取得最小值,此时椭圆方程可化为x22c2+y2c2=1.
11、依题意可得,过点F的直线l的斜率不能为0,故设直线l的方程为x=my+c.联立x=my+c,x2+2y2=2c2,整理得(2+m2)y2+2mcy-c2=0,则y1+y2=-2mc2+m2,y1y2=-c22+m2,|PQ|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=1+m28c2(m2+1)2+m2=22cm2+1m2+2.当m=0时,PQ垂直于横轴, FR与横轴重合,此时|PQ|=2c,|FR|=3b-c=2c,|FR|PQ|=2c2c=2.当m0时,设直线FR:y=-m(x-c),令x=3c,得R(3c,-2mc),此时|FR|=2cm2+1,|FR|PQ|=2cm2+1m2+222c(m2
12、+1)=m2+22m2+1=22m2+1+1m2+1222=2.综上所述,当且仅当m=0时,|FR|PQ|取得最小值,为2.2.(2018杭州第一次检测)设点A,B分别是x,y轴上的两个动点,AB=1.若AC=BA(0).(1)求点C的轨迹的方程;(2)过点D作轨迹的两条切线,切点分别为P,Q,过点D作直线m交轨迹于不同的两点E,F,交PQ于点K,是否存在实数t,使得1|DE|+1|DF|=t|DK|恒成立?并说明理由.解析(1)设A(a,0),B(0,c),C(x,y),则BA=(a,-c),AC=(x-a,y).所以x-a=a,y=-c,因为AB=1,所以a2+c2=1,所以点C的轨迹的方
13、程为x2(+1)2+y22=1.(2)设点E,F,K的横坐标分别为xE,xF,xK,设点D(s,t),则直线PQ的方程为s(+1)2x+t2y=1.当m的斜率存在时,设直线m的方程为y=kx+b,所以t=ks+b.计算得xK=1-t2bs(+1)2+t2k.将y=kx+b代入椭圆方程,得k22+1(+1)2x2+2kb2x+b22-1=0,所以xE+xF=-2kb2(+1)2+k2,xExF=b2-22(+1)2+k2,所以|DK|DE|+|DK|DF|=|xD-xK|xD-xE|+|xD-xK|xD-xF|=s-1-t2bs(+1)2+t2k|2xD-(xF+xE)|xD2-xD(xF+xE
14、)+xFxE|=2.易知当m的斜率不存在时也成立.故存在实数t=2,使得1|DE|+1|DF|=t|DK|恒成立.3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,且椭圆C上的点到其焦点的距离的最小值为1.(1)求a,b的值;(2)过点P(3,0)作直线l交C于A,B两点,求AOB面积S的最大值;设Q为线段AB上的点,且满足|AP|PB|=|AQ|QB|,证明:点Q的横坐标xQ为定值.解析(1)由题意知ca=12,a-c=1,所以a=2,c=1,所以b=22-12=3,故a=2,b=3.(2)显然直线l的斜率存在且不为0,故可设l:y=k(x-3)(k0),联立y=k(x-3),
15、x24+y23=1,消去y,并整理得(3+4k2)x2-24k2x+36k2-12=0,其中=48(3-5k2)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=24k23+4k2,x1x2=36k2-123+4k2.原点O到直线l的距离d=|3k|k2+1,|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k248(3-5k2)3+4k2,所以SAOB=12|AB|d=63|k|3-5k23+4k2=63k2(3-5k2)(3+4k2)2.设t=13+4k2,则k2=141t-3,其中t527,13,则S=6314t21t-33-541t-3=32(9-27t)(27t-5)329-27t+27t-52=3.当且仅当9-27t=27t-5,即t=727时,取等号.故AOB面积S的最大值为3.证明:设|AP|PB|=|AQ|QB|=,则AP=-PB,AQ=QB,所以3-x1=-(x2-3),xQ-x1=(x2-xQ),消去得xQ=3(x1+x2)-2x1x26-(x1+x2)=324k23+4k2-236k2-123+4k26-24k23+4k2=43,故点Q的横坐标xQ为定值43.
