1、第一章测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.若数列 的第 k 项等于 3,则第 3k 项等于()A.3B.5C.7D.9解析:依题意 =3,所以 k=4,因此第 3k 项即第 12 项等于 =5.答案:B2.等差数列an中,若 a3+a4+a5=12,则an的前 7 项和 S7=()A.22B.24C.26D.28解析:由等差数列的性质得 a3+a4+a5=3a4=12,a4=4,则 S7=7a4=28.答案:D3.等比数列an中,a2,a6是方程 x2-34x+64=0 的两根,则 a4等于()A.8B.-8C.8D.
2、以上都不对解析:由已知得 所以 a20,a60,从而 a40,且 =a2a6=64,故 a4=8.答案:A4.等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S3=8,S6=9,则 a7+a8+a9等于()A.-B.C.D.解析:由于 S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,又 S3=8,S6=9,所以 8,1,a7+a8+a9成等比数列,故 a7+a8+a9=.答案:B5.若数列an的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+a10=()A.15B.12C.-12D.-15解析:an=(-1)n(3n-2),a1+a2+a10=-1+4-7+10-25+28=(-1+4)+(-7+
3、10)+(-25+28)=35=15.答案:A6.定义:在数列an中,若满足 =d(nN+,d 为常数),称an为“等差比数列”.已知在“等差比数列”an中,a1=a2=1,a3=3,则 =()A.42 0172-1B.42 0182-1C.42 0152-1D.42 0162-1解析:因为 a1=a2=1,a3=3,所以 =2,所以数列 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,所以 =2n-1.所以 =(22 016-1)(22 015-1)=42 0152-1,故选 C.答案:C7.已知数列an中,an=n+,其前 n 项和为 Sn,则数列 的前 8 项和为()A.B.C.D.解析:因为
4、an=n+,所以an是等差数列.从而 Sn=(),于是 =2(-),所以前 8 项和 T8=2(-).答案:B8.在函数 y=f(x)的图像上有点列(xn,yn),若数列xn是等差数列,数列yn是等比数列,则函数 y=f(x)的解析:式可能为()A.f(x)=2x+1B.f(x)=4x2C.f(x)=log3xD.f(x)=()解析:对于函数 f(x)=()图像上的点列(xn,yn),有 yn=(),因为xn是等差数列,所以 xn+1-xn=d.因此 ()()()-(),这是一个与 n 无关的常数,故yn是等比数列,故选 D.答案:D9.-+-的值为()A.B.C.()D.解析:-(-),-+
5、-=(-)=(-)().答案:C10.已知数列an满足 a1=0,且 an+1=an-2,则an的通项公式是()A.an=()-B.an=()-C.an=()-3D.an=()-3解析:由 an+1=an-2,得 an+1+3=(an+3),所以an+3是首项为 0+3=3,公比为 的等比数列,于是 an+3=3()-,故 an=3()-3,即an=()-3.答案:D11.已知等比数列an满足 an0,n=1 2 且 a5a2n-5=22n(n3 则当 n1 时,log2a1+log2a3+log2a2n-1等于()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2解析:设公比为 q,
6、则 a5a2n-5=(a1q4)(a1q2n-6)=q2n-2=22n,所以 a1qn-1=2n,即 an=2n,所以原式=log2(a1a3a2n-1)=log221+3+2n-1=log2 =n2.答案:C12.导学号 33194031 已知等差数列an的通项公式 an=-,设An=|an+an+1+an+12|(nN+),则当 An取最小值时,n 的取值为()A.16B.14C.12D.10解析:由 an=-0 得 n16 且 a16=0,所以 a16-i+a16+i=0(iN+),An中共 13 项的和,因此取 n=10,则an+an+1+an+12=0,即 An=0 最小,故选 D.
7、答案:D二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3成等差数列,则an的公比为 .解析:S1,2S2,3S3成等差数列,4S2=S1+3S3,4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),a2=3a3,q=.答案:14.(2017 江苏高考)等比数列an的各项均为实数,其前 n 项和为 Sn.已知 S3=,S6=,则a8=.解析:设该等比数列的公比为 q,则 S6-S3=14,即 a4+a5+a6=14.S3=,a1+a2+a3=.由得(a1+a2+a3)q3=14,q3=8,即 q=2.a1+2a1+4a
8、1=,a1=,a8=a1q7=27=32.答案:3215.(2017 全国 2 高考)等差数列an的前 n 项和为 Sn,a3=3,S4=10,则 =.解析:设等差数列的首项为 a1,公差为 d,由题意可知 解得 所以 Sn=na1+-d=.所以 =2(-).所以 =2(-)(-)(-)=2(-).答案:16.导学号 33194032 设数列an满足 a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3(n4 则 a2 015=.解析:由 an=an-1+an-2-an-3,得 an+1=an+an-1-an-2,两式相加,得 an+1=2an-1-an-3,即 an+1+an-3
9、=2an-1(n4 所以数列an的奇数项和偶数项均构成等差数列.因为 a1=1,a3=9,所以奇数项的公差为 8,所以 a2 015=1+8(1 008-1)=8 057.答案:8 057三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)已知数列an中,a1=2,且 an=2an-1-n+2(n2 nN+).(1)求 a2,a3,并证明an-n是等比数列;(2)求 an的通项公式.解(1)由已知 an=2an-1-n+2(n2 nN+),得 a2=4,a3=7.an-n=2an-1-2n+2=2an-1-(n-1),-=2.又 a1-1=1,an-n是首项为 1,公比
10、为 2 的等比数列.(2)由(1)知 an-n=12n-1,an=2n-1+n.18.(本小题满分 12 分)已知等差数列an,Sn为其前 n 项和,a5=10,S7=56.(1)求数列an的通项公式;(2)若 bn=an+(,求数列bn的前 n 项和 Tn.解(1)由 S7=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=56,得 a4=8,所以公差 d=a5-a4=2,an=a5+(n-5)d=2n,即 an=2n.(2)将 an=2n 代入得 bn=2n+3n,所以 Tn=(2+31)+(4+32)+(6+33)+(2n+3n)=(2+4+2n)+(3+32+3n)=-=n2+n+-.
11、19.(本小题满分 12 分)已知等差数列an的公差 d0 它的前 n 项和为 Sn,若 S5=70,且 a2,a7,a22成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列 的前 n 项和为 Tn,求证:Tn .(1)解由已知,S5=5a3,a3=14,又 a2,a7,a22成等比数列,由(a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d),且 d0 可解得 a1=d,a1=6,d=4,故数列an的通项公式为 an=4n+2,nN+.(2)证明由(1)知 Sn=2n2+4n,(-),Tn=(-)=().显然,Tn0,对于任意的正整数都成立,Sn+1Sn,即前 n 项和 Sn组成的新数列Sn为递增
12、数列.21.(本小题满分 12 分)各项均为正数的数列an满足 a1=1,=2(nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)求数列 的前 n 项和 Sn.解(1)因为 =2,所以数列 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,所以 =1+(n-1)2=2n-1.因为 an0,所以 an=-(nN+).(2)由(1)知,an=-,所以 -.所以 Sn=+-,则 Sn=+-,-得 Sn=+-=+2()-=+2 (-)-=.所以 Sn=3-.22.导学号 33194033(本小题满分 12 分)(2016 全国甲高考)等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通项公式;(2)设 bn=an,求数列bn的前 10 项和,其中x表示不超过 x 的最大整数,如0.9=0,2.6=2.解(1)设数列an的公差为 d,由题意有 2a1+5d=4,a1+5d=3,解得 a1=1,d=.所以an的通项公式为an=.(2)由(1)知,bn=.当 n=1,2,3 时 1 2,bn=1;当 n=4,5 时 2 3,bn=2;当 n=6,7,8 时 3 4,bn=3;当 n=9,10 时 4 5,bn=4.所以数列bn的前 10 项和为 13+22+33+42=24.
