1、习题课 古典概型与几何概型 课后篇巩固提升1.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.B.C.D.解析从 4 张卡片中取 2 张共有 6 种取法,其中一奇一偶的取法共 4 种,故 P=.答案 C2.将一个面积为 24 cm2的正方形分成 A,B,C,D 四等份,再随机地向这个正方形投一粒沙子,并且沙子落在正方形内每一点都是等可能的,则该粒沙子落在 A 或 B 内的概率为()A.B.C.D.解析沙子落入 A,B,C,D 内的概率都是 ,且“沙子落入 A”与“沙子落入 B”互斥,P=.答案 B3.已知 A=
2、-1,0,1,点 P 的坐标为(x,y),其中 xA,yA,记点落在第一象限为事件 M,则 P(M)等于()A.B.C.D.解析点 P 的坐标可能为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,0),(0,1),(0,-1),(1,-1),(1,1),(1,0),共 9 种,其中落在第一象限的点为(1,1).则 P(M)=.答案 C4.在集合 A=2,3中随机取一个元素 m,在集合 B=1,2,3中随机取一个元素 n,得到点 P(m,n),则点 P在圆 x2+y2=9 内部的概率为()A.B.C.D.解析点 P(m,n)的情况为(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(
3、3,3),共 6 种,只有(2,1),(2,2)这两个点在圆 x2+y2=9的内部,所求概率为 .答案 B5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们六个面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6),骰子朝上的点数分别为X,Y,则 log2XY=1 的概率为()A.B.C.D.解析设“log2XY=1”为事件 A,则 A 包含的基本事件有 3 个,(1,2),(2,4),(3,6),故 P(A)=.答案 C6.如图所示的茎叶图是甲、乙两人在 4 次模拟测试中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 .解析依题意,记题中被污损的数字为 x,若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩,则
4、有(8+9+2+1)-(5+3+x+5)0,x7,即此时 x 的可能取值是 7,8,9,因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P=0.3.答案 0.37.假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是 .解析设 A=黄豆落在阴影内,因为黄豆落在图中每一个位置是等可能的,因此 P(A)=圆,因为 ABC 为等腰直角三角形,设O 的半径为 r,则 AC=BC=r,所以 S ABC=ACBC=r2,SO=r2,所以 P(A)=.答案 8.九章算术是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题:“今有勾五步,股十二步.问勾中容方几何?”其意思为:“已知直
5、角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步,问其内接正方形边长为多少步?”现若向此三角形内投豆子,则豆子落在其内接正方形内的概率是 .解析如图,设 Rt ABC 的两直角边长分别为 a,b,其内接正方形 CEDF 的边长为 x,则由 ADF ABC,得 ,即-,解得 x=.从而内接正方形 CEDF 的面积为 S 正方形 CEDF=(),又 Rt ABC 的面积为 S ABC=,所以所求概率 P=().答案 9.在区间0,4上随机地选择一个数 p,则方程 x2-px+3p-8=0 有两个正根的概率为 .解析因为方程 x2-px+3p-8=0 有两个正根,所以 -解得 p8 或 p4.又 p0,
6、4,所以所求概率 P=-.答案 10.全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播 2017 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.组号 分组 频数 1 4,5)2 2 5,6)8 3 6,7)7 4 7,8 3(1)现从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研,求至少有 1 家的融合指数在7,8内的概率;(2)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.解法一(1)融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”
7、记为 A1,A2,A3;融合指数在4,5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1,B2,从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,共 10 个.其中,至少有 1 家融合指数在7,8内的基本事件是:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,共 9 个.故所求概率P=.(2)这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 4.5 +5.5 +6.5 +7.5 =6.05.解
8、法二(1)融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为 A1,A2,A3;融合指数在4,5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1,B2.从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有的基本事件是:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,共 10 个.其中,没有 1 家融合指数在7,8内的基本事件是:B1,B2,共 1 个.故所求概率 P=1-.(2)同解法一.11.一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A 轿车B 轿车C 舒适
9、型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆.(1)求 z 的值;(2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这 8 辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.解(1)设该厂这个月共生产轿车 n 辆,由题意得
10、 ,所以 n=2 000.则 z=2 000-(100+300)-(150+450)-600=400.(2)设所抽样本中有 a 辆舒适型轿车,由题意 ,得 a=2.因此抽取的容量为 5 的样本中,有 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车.用 A1,A2表示 2 辆舒适型轿车,用 B1,B2,B3表示 3 辆标准型轿车,用 E 表示事件“在该样本中任取 2辆,其中至少有 1 辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共 10 个.事件 E 包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共 7 个.故 P(E)=,即所求概率为 .(3)样本平均数 (9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.设 D 表示事件“从样本中任取一数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5”,则基本事件空间中有 8 个基本事件,事件 D 包括的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0 共 6 个,所以 P(D)=,即所求概率为 .
