1、第八节正弦定理和余弦定理的实际应用A组基础题组1.已知A、B两地间的距离为10 km,B、C两地间的距离为20 km,现测得ABC=120,则A,C两地间的距离为()A.10 kmB.103 kmC.105 kmD.107 km答案D如图所示,由余弦定理可得:AC2=100+400-21020cos 120=700,所以AC=107(km).2.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于() A.240(3-1)mB.180(2-1)mC.120(3-1)mD.30(3+1)m答案C如图,ACD=30,ABD=75,AD=6
2、0 m,在RtACD中,CD=ADtanACD=60tan30=603 m,在RtABD中,BD=ADtanABD=60tan75=602+3=60(2-3)m,BC=CD-BD=603-60(2-3)=120(3-1)m.3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么B,C两点间的距离是()A.102 海里B.103 海里C.203 海里D.202 海里答案A如图所示,易知在ABC中,AB=20海里,CAB=30,ACB=45,根据正弦定理得BCs
3、in30=ABsin45,解得BC=102 海里.4.地面上有两座相距120 m的塔,在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为,在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为2,且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为()A.50 m,100 mB.40 m,90 mC.40 m,50 mD.30 m,40 m答案B设高塔高H m,矮塔高h m,在O点望高塔塔顶的仰角为.则tan =H120,tan 2=h120,根据三角函数的倍角公式有H120=2h1201-h1202.因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角,所以在O点望矮塔塔顶的仰角为2-.由tan =H60,tan2-=h60,
4、得H60=60h.联立解得H=90,h=40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.5.如图所示,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得BCD=15,BDC=30,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60,则塔高AB等于()A.56B.153C.52D.156答案D在BCD中,CBD=180-15-30=135.由正弦定理得BCsin30=CDsin135,所以BC=152.在RtABC中,AB=BCtanACB=1523=156.故选D.6.一船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处
5、,则此船航行的速度为海里/小时.答案1762解析如图,由题意知MPN=75+45=120,PNM=45.在PMN中,MNsin120=PMsin45,MN=683222=346 海里.又由M到N所用的时间为14-10=4小时,此船的航行速度v=3464=1762 海里/小时.7.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45和60,而且两条船与炮台底部所连的线成30角,则两条船相距m.答案103解析由题意画示意图,如图,OM=AOtan 45=30(m),ON=AOtan 30=3330=103(m),在MON中,由余弦定理得,MN=9
6、00+300-23010332=300=103(m).8.如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角,在山坡的A处测得DAC=15,沿山坡前进50 m到达B处,又测得DBC=45,根据以上数据可得cos =.答案3-1解析由DAC=15,DBC=45可得BDA=30,DBA=135,BDC=90-(15+)-30=45-,由三角形内角和定理可得DCB=180-(45-)-45=90+,在ABD中,根据正弦定理可得50sin30=DBsin15,即DB=100sin 15=100sin(45-30)=252(3-1),则在BCD中,
7、由正弦定理得25sin45=252(3-1)sin(90+),即25sin45=252(3-1)cos,解得cos =3-1.9.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75,从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,求山高MN.解析由题意得,AC=2BC=1002 m.在MAC中,CMA=180-75-60=45.由正弦定理得ACsin45=AMsin60AM=1003 m.在AMN中,MNAM=sin 60,所以MN=100332=150 m.10.如图,在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一
8、个水声监测点,B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A、C同时接到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.(1)设A到P的距离为x千米,用x表示B、C到P的距离,并求x的值;(2)求P到海防警戒线AC的距离.解析(1)依题意,有PA=PC=x,PB=x-1.58=x-12.在PAB中,AB=20,cosPAB=PA2+AB2-PB22PAAB=x2+202-(x-12)22x20=3x+325x.同理,在PAC中,AC=50,cosPAC=PA2+AC2-PC22PAAC=x2+502-x22x50=25x.因为cosPA
9、B=cosPAC,所以3x+325x=25x,解得x=31.(2)作PDAC于点D(图略).在ADP中,由cosPAD=2531,得sinPAD=1-cos2PAD=42131,所以PD=PAsinPAD=3142131=421.故静止目标P到海防警戒线AC的距离为421千米.B组提升题组1.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min,从D沿DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径的长度为() A.505 mB.507 mC.5011 mD.5019
10、 m答案B设该扇形的半径为r,连接CO.由题意,得CD=150(m),OD=100(m),CDO=60,在CDO中,由余弦定理得,CD2+OD2-CDODcos 60=OC2,即1502+1002-215010012=r2,解得r=507 m.2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方的点A处测得水柱顶端的仰角为45,从点A向北偏东30方向前进100 m到达点B,在B点处测得水柱顶端的仰角为30,则水柱的高度是() A.50 mB.100 mC.120 mD.150 m答案A如图,设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在ABC中,BAC=60,A
11、C=h m,AB=100 m,BC=3h m,根据余弦定理得(3h)2=h2+1002-2h100cos 60,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50(舍负),故水柱的高度是50 m.3.已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)度的150千米处,以v千米/小时沿正西方向快速移动,2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)度的200千米处,若cos =34cos ,则v=.答案100解析示意图如图所示,由余弦定理得(2.5v)2=2002+1502+2200150cos(+),由正弦定理得150sin=200sin,所以sin =43sin .又cos =34
12、cos ,sin2+cos2=1,解得sin =35,故cos =45,sin =45,cos =35,故cos(+)=1225-1225=0,代入解得v=100.4.如图所示,经过村庄A有两条夹角为60的公路AB,AC,根据规划,要在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).记AMN=.(1)将AN,AM用含的关系式表示出来;(2)如何设计(即AN,AM为多长时),使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?解析(1)AMN=,在AMN中,由正弦定理,得MNsin60=ANsin=AMsin(120-),所以AN=433sin ,AM=433sin(120-).(2)AP2=AM2+MP2-2AMMPcosAMP=163sin2(+60)+4-1633sin(+60)cos(+60)=831-cos(2+120)-833sin(2+120)+4=-833sin(2+120)+cos(2+120)+203=203-163sin(2+150),0120(其中利用诱导公式可知sin(120-)=sin(+60),当且仅当2+150=270,即=60时,工厂产生的噪声对居民的影响最小,此时AN=AM=2千米.
