1、第2课时半角公式及其应用, )1问题导航(1)如何理解“半角”？(2)利用半角公式求值时，如何确定符号？(3)等式sin 15 成立吗？2例题导读 P125例5.通过此例学习，学会运用二倍角公式推导半角公 式，掌握半角公式 试一试：教材P128习题33 A组T9你会吗？ P127例6，例7.通过此两例学习，学会利用半角公式解决给 值求值问题 试一试：教材P127练习2T1你会吗？ 正弦、余弦和正切的半角公式正弦的半角公式sin_余弦的半角公式cos_正切的半角公式tan _1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)cos.()(2)存在R，使得cos cos .()(3)对于任意R，sin
2、sin 都不成立()(4)若是第一象限角，则tan .()解析：(1)错误只有当2k2k(kZ)，即4k4k(kZ)时，cos.(2)正确当cos 1时，上式成立，但一般情况下不成立(3)错误当2k(kZ)时，上式成立，但一般情况下不成立(4)正确若是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan 成立答案：(1)(2)(3)(4)2已知cos ，270360，那么cos的值为()A. BC. D解析：选D.因为270360，所以135180，所以cos0.故cos.3设3，化简 的结果是()Asin BcosCcos Dsin解析：选C.原式 |cos|，因为3，所以.所以cos0，cos 11
3、0，所以sin 11 ，cos 11 .答案： 对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos 的值及相应的条件，便可求出sin，cos，tan.(3)由于tan及tan不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2，cos2求解给值求值已知为钝角，为锐角，且sin ，sin ，求cos的值(链接教材P127例6，例7)解因为为钝角，为锐角，sin ，sin ，所以cos ，cos
4、，所以cos()cos cos sin sin ，又因为，0，所以0，所以0，所以cos .把本例中的条件“为钝角”改为“为锐角”，求cos的值解：因为为锐角，为锐角，sin ，sin ，所以cos ，cos ，所以cos()cos cos sin sin ，又因为0，0，所以，所以，所以cos .方法归纳利用半角公式求值的思路(1)看角若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解(2)明范围由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围(3)选公式涉及半角公式的正切值时，常用tan，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问
5、题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2，cos2计算(4)下结论结合(2)求值1(1)已知|cos |，且3，则sin，cos，tan的值分别为()A，2 B，2C.，2 D，2(2)若cos ，是第三象限的角，则()A BC2 D2(3)若2，则cos sin _.解析：(1)因为|cos |，3，所以cos ，.由cos 12sin2，得sin.又cos 2cos21，所以cos，所以tan 2.(2)因为是第三象限角，cos ，所以sin ，.(3)tan2.所以cos sin .答案：(1)B(2)A(3)利用半角公式化简求值(1)计算：tan .(2)化简(0)(链接教材P
6、128习题33 A组T1)解(1)法一：tan 21.法二：tan 21.(2)原式.因为0，所以0，所以sin0，所以原式cos .方法归纳(1)利用半角公式进行化简与计算时，应正确选用升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式去根号；当待化简式中含有高次式时，应选用降幂公式减少运算量，注意隐含条件中角的范围(2)半角的正切公式分无理表达式与有理表达式两种形式，前者有正负号选取，其符号由角的范围确定，必要时需要讨论，后者没有符号选取，其结果的符号由sin 确定，应用十分方便2(1)若2 015，则tan 2_.(2)2的化简结果是_(3)化简(tan 5tan 85).解：(1)t
7、an 22 015，故填2 015.(2)原式22|cos 4|22|cos 4|2|sin 4cos 4|.因为4，所以cos 40，sin 4cos 40，所以sin 4cos 40.从而原式2cos 42sin 42cos 42sin 4.故填2sin 4.(3)原式tan 102.证明三角恒等式求证：(1)tan .(2)sin 2.(链接教材P128例5)证明(1)左边右边故等式成立(2)左边cos sincoscos sin sin 2右边方法归纳证明三角恒等式的常用方法(1)直接法：直接从等式的一边开始转化到等式的另一边，一般是按照由繁到简的原则进行，依据是相等关系的传递性(2)
8、综合法：由一个已知的等式(或已有的公式等)恒等变形到所要证明的等式(3)中间量法：通过证明等式左右两边都等于同一个式子完成恒等式的证明3(1)求证：2(1cos )sin24cos4.(2)求证：tantan.证明：(1)左边22cos24cos24sin2cos24cos24cos4右边(2)法一：tantan.法二：tantan.规范解答三角恒等变形的综合应用(本题满分12分)已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为cos x0，所以xk，kZ，所以函数f(x)的定义域为，2分f(x)2sin x(sin xcos x)2
9、sin2xsin 2x1cos 2xsin 2xsin1，4分所以f(x)的最小正周期为T.6分(2)因为x，所以2x，8分当2x，即x时，f(x)的最大值为2；10分当2x，即x时，f(x)的最小值为1.12分规范与警示(1)在处，直接求函数的定义域，若对函数先化简，则导致分母不存在，再求定义域就出错，此为失分点在处，正确地使用降幂公式将函数化为f(x)sin1是解题的关键在处，容易将2x的范围算错或忽略，都将导致f(x)的最值求错造成失分(2)解答此类问题的两个注意点定义域求解时的保原性定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故求解时，应保证函数的原解析式有意义，不可随便化简，如本例不可求
10、f(x)sin1的定义域提高公式的辨析和识记能力sin2x与cos2x的降幂公式非常相似，解题时务必细心，谨防混淆，可采用先写出cos 2x的公式，再对其变形分别记忆，如本例求解中若把sin2x的公式用错，会导致该题基本不得分1已知(，2)，则 等于()Asin BcosCsin Dcos解析：选D.因为(，2)，所以 |cos |cos.2已知是第三象限角，且sin ，则tan等于()A BC. D解析：选D.由为第三象限角，且sin 知cos .所以tan.3已知cos，540720，则sin_.解析：因为540720，所以270360，所以135180，因为cos，所以sin.答案：4已
11、知sin 2，02，则_.解析：.因为sin 2，02，所以cos 2，所以tan ，所以，即.答案：, 学生用书单独成册)A.基础达标1已知cos ，且180270，则tan()A2 B2C. D解析：选B.因为180270，所以90135，所以tan0，所以tan 2.2若sin()且，则sin等于()A BC. D解析：选B.由题意知sin ，所以cos ，因为，所以sincos.故选B.3已知为第二象限角，25sin2sin 240，则cos的值为()A BC. D解析：选B.由25sin2sin 240得sin 或sin 1(因为为第二象限角，故舍去)，所以cos ，且为第一或者第三
12、象限角，所以2cos21，故cos.4化简等于()Acos 1Bcos 1C.cos 1Dcos 1解析：选C.原式cos 1，故选C.5已知450540，则 的值是()Asin BcosCsin Dcos解析：选A.因为450540，所以225270.所以cos 0，sin0.所以原式 |sin|sin.故选A.6设56，cosa，则sin的值等于_解析：因为56，所以0，cos 0.因为sin 2，所以cos 2，所以sin ，cos ，所以tan .答案：9已知sin ，且是第三象限角，求下列各三角函数的值：(1)sin；(2)sin 2；(3)cos；(4)tan.解：因为是第三象限角
13、，所以cos .(1)sinsin coscos sin.(2)sin 22sin cos .(3)因为是第三象限角，所以2k2k.所以kk(kZ)当k2m时，2m2m(mZ)，cos.当k2m1时，2m2m(mZ)，cos .(4)tan.10化简：.解：法一：(半角正切公式)因为tan ，则有.所以tan .1tan tan 11，所以.法二：(切化弦)，1tan tan 1111.所以 .B.能力提升1已知sin()cos cos()sin ，且是第三象限角，则cos的值等于()A BC D解析：选A.由已知，得sin()sin()，得sin .因为在第三象限，所以cos ，为第二、四象
14、限角，所以cos .2设3，cos m，cosn，cosp，则下列各式正确的是()An Bn Cp Dp 解析：选A.因为3，所以，cos，即n，因为，所以，cos ，所以p .故选A.3定义运算adbc，若cos ，0，则sin_.解析：由题意可知，sin cos sin cos sin()，因为0，所以00，所以cos cos 0，cos cos ，又因为在(0，)上，ycos x是减函数，所以，所以0，由原式知2sincos，所以tan，所以，所以.答案：5已知sin ，sin()，与均为锐角，求cos.解：因为0，所以cos .又因为0，0，所以0.若0，因为sin()sin ，所以不可能故.所以cos().所以cos cos()cos()cos sin()sin ，因为0，所以0.故cos.6(选做题)已知函数f()(0)(1)将f()表示成关于cos 的多项式；(2)试求使曲线yacos a与曲线yf()至少有一个交点时a的取值范围解：(1)f()2cos2cos 1.(2)由2cos2cos 1acos a，得(cos 1)(2cos 1)a(cos 1)所以cos ，所以11，即3a1.
