1、计算题专练(1)1.长传突破是足球运动中运用远距离空中过顶传球突破对方防线的战术方法。如图所示,防守队员甲在本方球门前某位置M抢截得球,将球停在地面上,利用对方压上进攻后来不及回防的时机,瞬间给予球一个速度v,使球斜飞入空中,最后落在对方禁区附近地面上P点处。在队员甲踢球的同时,突前的同伴队员乙由球场中的N点向P点做直线运动,队员乙在N点的初速度v1=2 m/s,队员乙在NP间先匀加速运动,加速度a=4 m/s2,速度达到v2=8 m/s后匀速运动。经过一段时间后,队员乙恰好在球落在P点时与球相遇,已知MP的长度s=60 m,NP的长度L=11.5 m,将球员和球视为质点,忽略球在空中运动时的
2、空气阻力,重力加速度取g=10 m/s2。(1)求足球在空中的运动时间;(2)求队员甲在M点给予足球的速度v的大小。答案(1)2 s(2)1010 m/s解析(1)足球在空中的运动时间与队员乙的直线运动时间相同v2=v1+at1得到t1=1.5 sv22-v12=2aL1,L-L1=v2t2得到t2=0.5 s足球在空中的运动时间t=t1+t2=2 s(2)足球在空中做抛体运动,水平方向有v0=st得到v0=30 m/s竖直方向有vy=gt2得到vy=10 m/s则有v=v02+vy2得到v=1010 m/s2.(2019山东青岛二模)如图所示为某自动控制系统的装置示意图,装置中间有一个以v0
3、=3 m/s的速度逆时针匀速转动的水平传送带,传送带左端点M与光滑水平面相切,水平面左侧与一倾角=37的光滑斜面平滑连接。靠近斜面底端的P点处安装有自动控制系统,当小物块b每次向右经过P点时都会被系统瞬时锁定从而保持静止。传送带N端与半径r=0.2 m的光滑四分之一圆弧相切,小物块a从圆弧最高点由静止下滑后滑过传送带,经过M点后控制系统会使静止在P点的小物块b自动解锁,之后两物块发生第一次弹性碰撞。PM足够长,每次物块a向左运动经过M点前物块b已回到P点。已知两物块的质量mb=2ma=2 kg,两物块均可视为质点,物块与传送带间的动摩擦因数=0.25,MN间的距离L=1.2 m,g=10 m/
4、s2,sin 37=0.6,cos 37=0.8,求:(1)物块a运动到N点时受到的支持力大小;(2)物块b第一次沿斜面上滑的时间;(3)两物块在第n次碰撞后到第n+1次碰撞前,物块a在传送带上运动产生的摩擦热。答案(1)30 N(2)13 s(3)23n-2 J解析(1)对物块a沿圆弧从最高点由静止下滑到N点,运用动能定理可得magr=12mav12解得v1=2gr=2 m/s对物块a运动到N点时,由牛顿第二定律可得FN-mag=mav12r解得FN=30 N(2)物块a在传送带上运动的加速度大小a1=magma=2.5 m/s2设物块a加速到3 m/s前进的距离为x则x=v02-v122a
5、1=1 mL故物块a到达M点的速度为v2=3 m/s,设两物块第一次碰撞后获得的速度为va1、vb1,因碰撞是弹性碰撞,则mav2=mava1+mbvb1,12mav22=12mava12+12mbvb12解得va1=ma-mbma+mbv2=-13v2=-1 m/svb1=2mama+mbv2=23v2=2 m/s设物块b第一次沿斜面上滑的初速度为vb1,且沿斜面向上为正方向,则vb1=2 m/s,对物块b第一次沿斜面上滑,应用动量定理可得-(mbg sin )tb1=0-mbvb1解得tb1=13 s(3)物块a第一次在传送带上向右减速运动通过的位移大小xa1=va122a1=0.2 mL物块速度为0后以加速度a1向左运动xa1距离回到M点,速度大小为va1。因为PM足够长,每次物块a向左运动经过M点前物块b已回到P点被锁定保持静止,物块a以va1大小的速度经过M点后(物块b解锁),与静止的b物块发生第2次碰撞。碰后a的速度大小va2=ma-mbma+mb2v2依此类推,经过n次碰撞后物块a获得的速度大小van=ma-mbma+mbnv2=13n-1 m/s两物块从第n次碰撞后到第n+1次碰撞前,物块a与传送带间的相对位移x=v0tan+van2tan+v0tan-van2tan=2v0vana1故摩擦产生的热量Q=magx=2mav0van=23n-2 J
