1、第3讲导数的简单应用一、选择题1.(2019山西太原模拟)设函数f(x)=13x3-x+m的极大值为1,则函数f(x)的极小值为()A.-13 B.-1C.13 D.1答案Af (x)=x2-1,由f (x)=0得x1=-1,x2=1,所以f(x)在(-,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以f(x)在x=-1处取得极大值,易知f(-1)=1,得m=13,f(x)在x=1处取得极小值, f(1)=1313-1+13=-13.2.(2019山东泰安模拟)已知f(x)=14x2+sin2+x, f (x)为f(x)的导函数,则y=f (x)的图象大致是()答案A易
2、知f(x)=14x2+cos x,所以f (x)=12x-sin x, f (x)为奇函数,排除B,D;当x=6时, f (x)=12-12f(e)f(3)B. f(3)f(e)f(2)C. f(3)f(2)f(e)D. f(e)f(3)f(2)答案D易知f(x)的定义域是(0,+), f (x)=1-lnxx2,当x(0,e)时, f (x)0;当x(e,+)时, f (x)f(3)f(2).4.(2019四川成都摸底)已知函数f(x)=x3-ax在(-1,1)上单调递减,则实数a的取值范围是()A.(1,+)B.3,+)C.(-,1 D.(-,3答案Bf (x)=3x2-a,又f(x)在(
3、-1,1)上单调递减,3x2-a0恒成立,排除C、D;当a=1时, f (x)=2excos x,x4,2时, f (x)0,所以选A.二、填空题7.(2019湖南长沙调研)已知y=f(x)是奇函数,当x(0,2)时, f(x)=ln x-axa12,当x(-2,0)时, f(x)的最小值为1,则a=.答案1解析由题意知,当x(0,2)时, f(x)的最大值为-1,f (x)=1x-a.令f (x)=0,得x=1a,当0x0;当x1a时, f (x)0.f(x)max=f1a=-ln a-1=-1,解得a=1.8.(2019湖北武汉模拟)若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域的一个子区间(
4、k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是.答案1,32解析f(x)的定义域为(0,+), f (x)=4x-1x,由f (x)=0解得x=12,由k-112k+1,k-10,解得1k0,解得a-3,所以a的取值范围是(-3,0)(0,+).10.(2019江西上饶模拟)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为.答案2解析易知y=x2-ln x的定义域为(0,+),当点P是曲线的切线中与直线y=x-2平行的直线的切点时,点P到直线y=x-2的距离的值最小,如图所示.令y=2x-1x=1,解得x=1,所以P(1,1),所以点P到直线y=x-2的距离
5、的最小值dmin=|1-1-2|2=2.三、解答题11.(2019江西宜春模拟)已知函数f(x)=ln x-ax(aR).(1)当a=12时,求f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.解析(1)当a=12时,f(x)=ln x-12x,定义域为(0,+),f (x)=1x-12=2-x2x,令f (x)=0,得x=2,当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如表所示.x(0,2)2(2,+)f (x)+0-f(x)ln 2-1所以f(x)的极大值为f(2), f(2)=ln 2-1,无极小值.(2)f(x)的定义域为(0,+), f (x)=1x-a=1-axx(x
6、0).若a0,则f (x)0, f(x)在(0,+)上单调递增,此时f(x)无极值点;若a0,则令f (x)=0,得x=1a,当x0,1a时, f (x)0,当x1a,+时, f (x)0时, f(x)有一个极大值点x=1a,无极小值点.12.(2019贵州贵阳模拟)已知函数f(x)=ln x+12x2-ax+a(aR).(1)若函数f(x)在(0,+)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)在x=x1和x=x2处取得极值,且x2ex1(e为自然对数的底数),求f(x2)-f(x1)的最大值.解析(1)f (x)=1x+x-a(x0),又f(x)在(0,+)上单调递增,当x0
7、时,恒有f (x)0,即1x+x-a0在x(0,+)上恒成立,ax+1xmin,x0,又x0时,x+1x2x1x=2,当且仅当x=1时取“=”,a的取值范围是(-,2.(2)f(x)在x=x1和x=x2处取得极值,x1,x2是方程f (x)=0,即x2-ax+1=0的两个不同实根,由根与系数的关系得x1+x2=a,x1x2=1,f(x2)-f(x1)=ln x2x1+12(x22-x12)-a(x2-x1)=ln x2x1-12(x22-x12)=ln x2x1-12(x22-x12) 1x1x2=ln x2x1-12 x2x1-x1x2,设t=x2x1(te),令h(t)=ln t-12t-
8、1t(te),则h(t)=1t-121+1t2=-(t-1)22t20,h(t)在e,+)上是减函数,h(t)h(e)=121-e+ee,f(x2)-f(x1)的最大值为121-e+ee.13.(2019安徽合肥质检节选)已知函数f(x)=excos x-x,求函数f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.解析令g(x)=f (x),则g(x)=ex(cos x-sin x)-1,g(x)=-2exsin x0在0,2上恒成立,且仅在x=0处等号成立,g(x)在0,2上单调递减,g(x)g(0)=0,f (x)0,且仅在x=0处等号成立,f(x)在0,2上单调递减,f(x)max=f(0)=1, f(x)min=f2=-2.
